人教新课标版数学高一人教A必修1试题 .2对数的运算

第二章 2.2 2.2.1 第二课时
基础巩固
一、选择题
1．下列式子中正确的个数是( )
①log a (b 2－c 2)＝2log a b －2log a c ；
②(log a 3)2＝log a 32；
③log a (bc )＝(log a b )·(log a c )；
④log a x 2＝2log a x .
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 [答案] A
2．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( )
A ．a ＋2b －3c
B ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2
c 3 D.2ab 3c [答案] C
[解析] lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2
c 3， ∴x ＝ab 2c 3，故选C. 3．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( )
A ．3
B ．9
C ．18
D ．27 [答案] D
[解析] 原式可化为：log 8m ＝2log 34，∴13log 2m ＝2log 43，∴m 13
＝3，m ＝27，故选D. 4．(2015·福建省晋江市季延中学高一上学期期末考试数学试题)计算(12
log 64＋log 63)(log 312－2log 32)＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
[答案] B
[解析] 12
log 64＋log 63＝log 6412 ＋log 63＝log 62＋log 63＝log 66＝1，log 312－2log 32＝log 312－log 34＝log 33＝1，∴选B.
5．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( )
A ．a －2
B ．5a －2
C ．3a －(1＋a )2
D ．3a －a 2－1 [答案] A
[解析] 由log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.
6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b
)2的值等于( ) A ．2
B.12 C ．4
D.14 [答案] A
[解析] 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12
， ∴(lg a b )2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12
＝2，故选A. 二、填空题
7．(2015·河北孟村回民中学月考试题)化简
log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3)＝________.
[答案] 32
[解析] log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3)
＝log 2[(1＋2)2－32]＝log 222＝log 2232＝32
. 8．若lg x －lg y ＝a ，则lg(x 2)3－lg(y 2
)3＝________. [答案] 3a
[解析] ∵lg x －lg y ＝a ，
∴lg(x 2)3－lg(y 2)3＝3(lg x 2－lg y 2
)＝3(lg x －lg y )＝3a . 三、解答题
9．计算：(1)(log 3312 )2＋log 0.2514
＋9log 55－log 31； (2)lg25＋23
lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2； (3)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8.
[分析] 直接利用对数的运算性质进行计算，注意对真数进行适当的拆分与组合．
[解析] (1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log 31＝(12)2＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234
. (2)原式＝lg25＋lg823＋lg 102
·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.
(3)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝2lg2＋lg31＋12lg0.62＋13
lg23 ＝2lg2＋lg31＋lg0.6＋lg2＝2lg2＋lg3
1＋(lg6－lg10)＋lg2 ＝2lg2＋lg3lg6＋lg2＝2lg2＋lg3(lg2＋lg3)＋lg2＝2lg2＋lg32lg2＋lg3
＝1. [点评] 在解题中，对于常用对数要注意要10＝2×5,2＝10÷5,5＝10÷2的拆解与公式的灵活运用．
10．(1)计算：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )×log 9n 32；
(2)设lg2＝a ，lg3＝b ，求log 512.
[解析] (1)原式＝(log 23＋2log 232log 22＋3log 233log 22＋…＋n log 23n log 22
)×log 9n 32＝(log 23＋log 23＋log 23＋…＋log 23)×log 9n 32＝n ×log 23×5n ×12log 32＝52
. (2)log 512＝lg12lg5＝lg3＋lg4lg 102
＝lg3＋lg221－lg2＝lg3＋2lg21－lg2. 因为lg2＝a ，lg3＝b ，所以log 512＝b 1－a ＋2a 1－a ＝2a ＋b 1－a
. 能力提升
一、选择题
1．(2015·河北衡水中学期中)若x log 34＝1，则4x ＋4－
x 的值为( )
A.83
B.103 C ．2
D ．1 [答案] B
[解析] 由x log 34＝1得x ＝log 43，所以4x ＋4－x ＝3＋13＝103
，故选B. 2．lg8＋3lg5的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
[答案] D
[解析] lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3(lg2＋lg5)＝3lg10＝3，故选D.
3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b
＝2，则m ＝( ) A.10
B ． 10
C ．20
D ．100 [答案] A
[解析] a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m
＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.∴m ＝10，故选A.
4．已知方程x 2＋x log 26＋log 23＝0的两个实数根为α、β，则(14)α·(14
)β等于( ) A.136
B ．36
C ．－6
D ．6 [答案] B
[解析] 由题意知：α＋β＝－log 26，(14)α·(14)β＝(14)α＋β＝(14
)－log 26＝4log 26＝22log 26＝36，故选B.
二、填空题
5．(2015·全国高考安徽卷文科，11题)lg 52＋2lg2－(12
)－1＝________. [答案] －1
[解析] lg 52＋2lg2－(12)－1＝lg 52
＋lg4－2＝－1. 6．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log (abc )x ＝________.
[答案] 1
[解析] ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13. ∴log abc x ＝1log x (abc )＝1log x a ＋log x b ＋log x c
＝1. 三、解答题
7．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．
[分析] 用换元法把对数方程转化为一元二次方程，由根与系数的关系求出a 与b 的关系式，可得结果．
[解析] 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，
则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0.
所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12
. 由已知a ，b 是原方程的两个实根，
则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，所以lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12
. 所以lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )(lg b lg a ＋lg a lg b )＝(lg a ＋lg b )[(lg b )2＋(lg a )2]lg a lg b
＝(lg a ＋lg b )·
(lg b ＋lg a )2－2lg a lg b
lg a lg b ＝2×22－2×1212＝12. 8．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，且2x ＝py .
(1)求p 的值；
(2)求证：z z －1x ＝12y
. [解析] (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k ＞0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .
由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3k log 34
. ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.
(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k
＝log k 6－log k 3＝log k 2， 又∵12y ＝12log k 4＝log k 2，∴1z －1x ＝12y
.。