第一学期上海市高二册12.7抛物线学案

第一学期上海市高二册12.7抛物线学案

【学习要点】

1.定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹为抛物线.

其中定点F 称作抛物线的焦点，定直线l 称作抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程：

（1）顶点在原点，焦点在x 轴正半轴，其方程为)0(22>=p px y ，焦点)0,2

(p F ， 准线2P x -=，设),(00y x M ，焦半径20p x MF +=.

（2）顶点在原点，焦点在x 轴负半轴，其方程为)0(22>-=p px y ，焦点)0,2

(p F -，

准线2P x =，设),(00y x M ，焦半径20p x MF +-=. （3）顶点在原点，焦点在y 轴正半轴，其方程为)0(22>=p py x ，焦点)2

,0(p F ， 准线2P

y -=，设),(00y x M ，焦半径2

0p y MF +=. （4）顶点在原点，焦点在y 轴负半轴，其方程为)0(22>-=p py x ，焦点)2

,0(p F -，

准线2P y =，设),(00y x M ，焦半径20p y MF +-=. 3.抛物线的性质：

（1）过焦点且垂直于对称轴的相交弦p d 2=；

（2）已知过抛物线)0(22>=x px y 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，设

),(11y x A 、),(22y x B ，则：

p x x AB ++=21或α

2sin 2p AB =（α为直线AB 的倾斜角）； 4.对于抛物线)0(22>=p px y ，若),(11y x A 、),(22y x B 且OB OA ⊥，则直线AB

过

定点)0,2(p ，AB 中点轨迹方程)2(2p x p y -=，O 在AB 上投影方程为2)(p x -+

【例题讲解与训练】

例1.动点P 到直线40x +=的距离减去它到点(2,0)M 的距离为2，则点P 的轨

迹方程是 .

〖变式训练1〗

1.已知抛物线的焦点坐标是(0,2)-，则抛物线的标准方程是___________.

2.焦点在直线3260x y --=上的抛物线的标准方程是__________ .

3.与y 轴相切，且与圆0422=-+x y x 相外切的圆心轨迹方程是 .

例2.抛物线3

2x y =的焦点坐标是 ，准线方程为 . 〖变式训练2〗

1.抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则=a .

2.抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 .

3.抛物线240x y -

=上一点P 到焦点的距离为3，那么P 点的纵坐标为_________.

例3.已知F 是抛物线x y 42=的焦点，)2,3(A 是一个定点，P 是抛物线上的动点，

则PF PA +的最小值是_________.

〖变式训练3〗

1.已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点)2,0(A 的距离与点P 到

该抛物线准线的距离之和的最小值为_________.

2.抛物线x y 22=上两点B A ,到焦点的距离之和为5，则线段AB 中点的横坐标是

3.抛物线22(0)y px p =>上的一点(4,)M y 到焦点F 的距离为5，则△OFM 的面积是____________.

例4.已知过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，点A 、B 在此抛

物线准线上的射影分别为1A 、1B ，求证：ο9011=∠FB A .

〖变式训练4〗

1.抛物线22(0)y px p =>的任意过焦点的弦PM ,以PM 为直径的圆，与

准线l 的关系是（ ）

（A ） 相离

（B ）相交 （C ）相切 （D ）以上情况都有可能

2.过抛物线的焦点且垂直于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交于A 、B 两点，抛物线的准线与抛物线的对称轴相交于M 点，则AMB ∠一定是（ ）

（A ）锐角 （B ）钝角 （C ）直角 （D ）无法

确定

3.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐

标之和等于6，则这样的直线（ ）

（A ）有且只有一条 （B ）有且仅有两条

（C ）有无穷多条 （D ）不存在

例5.已知抛物线28y x =-,过点0(1,1)P -引一条弦,使此弦在0P 点被平分,

求弦所在的直线方程.

〖变式训练5〗

1.已知直线2x y -=与抛物线24y x =相交于A 、B 两点,那么线段AB 中点坐标是 .

2.过(0,2)-的直线与抛物线28y x =交于A,B 两点,若线段AB 中点的横坐标为2.则||AB 为 .

3.斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长.

例6.求过点)1,0(且与抛物线x y 22=有且仅有一个公共点的直线方程. 〖变式训练6〗

1.设P 使抛物线2y x =

上的点,若点P 到直线240x y --=的距离最小,求点P 的

坐标.

2.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线2y x =上移动，求AB 的中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 的中点M 的坐标.

3.给定22y x =

,设(,0)(0)A a a >,P 是抛物线上一点且||PA d =,试求d 的最

小值. 答案

例1. x y 82=；

〖变式训练1〗 1.y x 82-=； 2.y x 122-=或x y 82=；

3.)0(82>=x x y 或)0(0<=x y

例2. )43,0(，43-=y ；

〖变式训练2〗 1.8

1-； 2.5； 3.2.

例3. 4

〖变式训练3〗 1.217； 2.2； 3.2 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。例4. 略 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐