2020版新设计一轮复习数学(文)江苏专版讲义:第四章 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 含答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_
1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系: sin 2α+cos 2α=1; (2)商数关系: tan α=
sin α
cos α
. 2.诱导公式
-tan
[小题体验]
1.已知sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=3
5,α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则sin(π+α)=______. 答案:-4
5
2.若sin θcos θ=1
2,则tan θ+cos θsin θ的值为________.
答案:2
1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐.
特别注意函数名称和符号的确定.
2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. [小题纠偏]
1.(2019·盐城期中)已知tan(π-α)=3
4,α是第四象限角,则sin α=________.
解析:因为tan(π-α)=34,所以tan α=-3
4,
因为sin 2 α+cos 2α=1,α是第四象限角, 所以sin α=-3
5.
答案:-3
5
2.化简:1-2sin (π+2)cos (π+2)=________.
解析:原式=1-2sin 2cos 2=|sin 2-cos 2|,因为sin 2>0,cos 2<0,所以原式=sin 2-cos 2. 答案:sin 2-cos 2
考点一 三角函数的诱导公式 (基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1.(2019·启东调研)sin
4π3·cos 5π
6
·tan ⎝⎛⎭⎫-4π3的值是________. 解析:原式=sin ⎝⎛⎭⎫π+π3·cos ⎝⎛⎭⎫π-π6·tan ⎝⎛⎭⎫-π-π3=-sin π3·⎝⎛⎭⎫-cos π6·⎝⎛⎭⎫-tan π3=-32×⎝⎛⎭⎫-32×(-3)=-334. 答案:-33
4
2.(2018·镇江中学测试)求值:sin 26π
3
+cos ⎝⎛⎭⎫-17π4=________. 解析:sin 26π3+cos ⎝⎛⎭⎫-17π4=sin ⎝⎛⎭⎫9π-π3+cos ⎝⎛⎭⎫4π+π4=sin ⎝⎛⎭⎫π-π3+cos π4=sin π3+ cos π4=3+22
. 答案:
3+2
2
3.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6-α=3
3,则tan ⎝⎛⎭
⎫5π6+α=________. 解析:tan ⎝⎛⎭⎫5π6+α=tan ⎝⎛⎭⎫π-π6+α=tan ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫π6-α=-tan ⎝⎛⎭⎫π6-α=-33. 答案:-
33
4.(易错题)设f (α)=
2sin (π+α)cos (π-α)-cos (π+α)1+sin 2α+cos ⎝⎛⎭⎫3π2+α-sin 2⎝⎛⎭
⎫π2+α⎝⎛⎭⎫sin α≠-12,则f ⎝⎛⎭⎫
-
23π6=________. 解析:因为f (α)=
(-2sin α)(-cos α)+cos α
1+sin 2α+sin α-cos 2α
=2sin αcos α+cos α
2sin 2α+sin α
=cos α(1+2sin α)
sin α(1+2sin α)
=
1
tan α
, 所以f ⎝⎛⎭⎫
-23π6=
1tan ⎝⎛⎭⎫-23π6
=
1
tan ⎝⎛⎭⎫-4π+π6=
1
tan π6
= 3.
答案: 3
[谨记通法]
1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是:“负化正,大化小,化到锐角就好了.” 2.利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形;
(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. 考点二 同角三角函数的基本关系 (重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
1.(2019·昆山一模)已知α∈⎝⎛⎭⎫0,π
2,tan α=3,则sin 2α+2sin αcos α=________. 解析:∵α∈⎝⎛⎭⎫0,π
2,tan α=3, ∴sin 2
α+2sin αcos α=sin 2α+2sin αcos α
sin 2α+cos 2α
=tan 2α+2tan αtan 2α+1=9+69+1=32.
答案:32
2.若sin θ,cos θ是方程4x 2+2mx +m =0的两个根,则m =________. 解析:由题意得sin θ+cos θ=-m 2,sin θ·cos θ=m
4,
又(sin θ+cos θ)2
=1+2sin θ·cos θ,所以m 24=1+m
2
,
解得m =1±5,
又Δ=4m 2-16m ≥0,解得m ≤0或m ≥4,所以m =1- 5.
答案:1- 5
[由题悟法]
同角三角函数基本关系式的应用技巧
[即时应用]
1.若sin α=-5
13,且α为第四象限角,则tan α=________.
解析:法一:因为α为第四象限的角,故cos α=1-sin 2α= 1-⎝⎛⎭⎫-5132=12
13
, 所以tan α=sin αcos α=-
5131213
=-5
12
.
法二:因为α是第四象限角,且sin α=-513,所以可在α的终边上取一点P (12,-5),则tan α=y x =-5
12
. 答案:-5
12
2.(2019·苏州调研)已知sin θ+cos θ=1
5,θ∈(0,π),则tan θ的值为________.
解析:∵sin θ+cos θ=1
5,
①
两边平方,得1+2sin θcos θ=125
, ∴2sin θcos θ=-24
25
,
又θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos θ<0, ∵(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=49
25,
∴sin θ-cos θ=7
5
,
② 由①②得sin θ=45,cos θ=-3
5
.