高中数学 3.2简单的三角恒等变换（二）

简单的三角恒等变换(二)
（45分钟 100分）
一、选择题(每题6分，共30分)
15°+cos15°sin15°的值为 ( ) B.2 2.(2021·济宁高一检测)f(x)=cos 2x −sin 2x 2的一条对称轴为 ( )
=π2
=π4 =π3 =π6 3.已知tan α
2=3，那么cos α= ( )
A.45 4
5 3
5 D.3
5 4.(2021·湖北高考)将函数y=√3cosx+sinx(x ∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所取得的图象关于y 轴对称，那么m 的最小值是 ( )
A.π12
B.π6
C.π3
D.5π
6 5.假设cos 2θ+cos θ=0，那么sin 2θ+sin θ的值等于 ( )
B.±√3 或√3
或√3或-√3 二、填空题(每题8分，共24分)
6.设α为第四象限角，且sin3αsinα=13
5，那么tan 2α= .
7.(2021·梅州高一检测)函数f(x)=sin 2x+√3sinxcosx 在区间[π4,π2]上的最大值是 .
8.已知cos 2x=13，x ∈(π2,π)，那么sin 4x= . 三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)
9.化简：(1+sinx +cosx )(sin x 2−cos x 2)
√2+2cosx (180°<x<360°).
10.如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称，邻边相互垂直的十字
形，其中y>x>0.
(1)将十字形面积表示为θ的函数.
(2)当tanθ取何值时，十字形的面积S最大？最大面积是多少？
11.(能力挑战题)已知函数f(x)=4cosxsin(x+π
6
)-1.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)在区间[−π
6,π
4
]上的最大值与最小值.
答案解析
1.【解析】选C.原式=sin15°cos15°+cos15°sin15° =sin 215°+cos 215°sin15°cos15° =1sin15°cos15°=22sin15°cos15°=2sin30°=4.
2.【解析】选(x)=
cos 2x −sin 2x 2=12cos 2x ，其对称轴为x=kπ2，k ∈Z ，当k=1时，即为x=π2. 3.【解析】选α2=3，故tan 2α2=sin 2α2cos 2α2=9，因此1−cosα1+cosα=9，cos α=-45. 4.【解析】选=2(
√32cosx +12sinx )=2sin (x +π3)， 当m=π6时，y=2sin (x +π2)=2cosx ，符合题意.
5.【解析】选D.由cos 2θ+cos θ=0得2cos 2θ-1+cos θ=0，因此cos θ=-1或12.
当cos θ=-1时，有sin θ=0；
当cos θ=12时，有sin θ=±√32.
于是sin 2θ+sin θ=sin θ(2cos θ+1)=0或√3或-√3.
【误区警示】此题要紧考查三角函数的大体运算、同角三角函数关系式和倍角公式.解题关键是熟练把握公式，并注意不能显现丢解错误.
6.【解析】sin3αsinα=
sin (2α+α)sinα=(1−2sin 2α)sinα+2cos 2αsinαsinα =2cos 2α+1=13
5，
因此cos 2α=4
5，又α是第四象限角，
因此sin 2α=-35，tan 2α=-34. 答案：-3
4 7.【解题指南】利用倍角公式降幂，转化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式，由x ∈[π4,π2]，确信出2x-π6的范围，进而求最值.
【解析】f(x)=
1−cos2x 2+√32sin 2x =12+sin (2x −π
6)，
当x ∈[π4,π2]时，2x-π6∈[π3,5π6]， sin (2x −π6)∈[12,1]，故f(x)的最大值为32
. 答案：3
2
8.【解析】因为x ∈(π2,π)， 那么2x ∈(π，2π)，又cos 2x=13，
因此sin 2x=-2√2
3，
sin 4x=2sin 2xcos 2x=2×(−
2√2
3)×13=-4√29. 答案：-4√2
9
9.【解析】原式=
(1+2sin x 2cos x 2+2cos 2x 2−1)(sin x 2−cos x 2)√2+2(2cos 2x 2
−1) =(2sin x 2cos x 2+2cos 2x 2)(sin x 2−cos x 2)
√4cos 2x 2
=
2cos x
2(sin x 2+cos x 2)(sin x 2−cos x 2)2|cos x 2| =
cos x 2(sin 2x 2−cos 2x 2)|cos x 2| =−cos x 2cosx |cos x 2|，
因为180°<x<360°，cos x
2<0， 因此原式=−cos x 2cosx
−cos x
2=cosx.
10.【解析】(1)由题意，x=cos θ，y=sin θ，面积S=2xy-x 2=2sin θcos θ-
cos 2θ，θ∈(π4,π
2). (2)由(1)知，
S=2sin θcos θ-cos 2θ=2sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ =2tanθ−1tan 2θ+1，
设2tan θ-1=t ，θ∈(π4,π2)，
那么S=4t t 2+2t +5
=4t +2+5t ≤42√5+2=√5−12，t=√5 即tan θ=√5+1
2时，面积S 取最大值√5−12.
【变式备选】有一块扇形铁板，半径为R ，圆心角为60°，从那个扇形中切割下一个内接矩形，如图，求那个内接矩形的最大面积.
【解析】设∠FOA=θ，那么FG=Rsin θ，OG=Rcos θ，
在△EOH 中，tan 60°=EH OH ， 又EH=FG ，
因此OH=√3，HG=Rcos θ-√3，
又设矩形EFGH 的面积为S ，那么S=HG ·FG
=(Rcosθ√3)·Rsin θ =2√3
(√3sin θcos θ-sin 2θ) =2√3sin (2θ+30°)−1
2]， 又因为0°<θ<60°，
故当θ=30°时，S 取得最大值√3
6R 2.
11.【解析】(1)f(x)=4cosxsin (x +π6
)-1 =4cosx ·(√32sinx +12cosx )-1
=√3sin 2x+2cos 2x-1
=√3sin 2x+cos 2x
=2sin (2x +π6)，
因此f(x)的最小正周期为π.
(2)因为-π6≤x ≤π4，因此-π6≤2x+π6≤2π
3， 因此当2x+π6=π2，即x=π
6时，f(x)有最大值2， 当2x+π6=-π6，即x=-π6时，f(x)有最小值-1.
【拓展提升】三角函数求值域的方式
(1)利用单调性，结合函数图象求值域，如转化为y=Asin(ωx+φ)+b 型的值域问题.
(2)将所给的三角函数转化为二次函数，通过配方式求值域，如转化为y=asin 2x+bsinx+c 型的值域问题.
(3)利用sinx ，c osx 的有界性求值域，通常在概念域为R 的情形下应用.有时在隐含条件中产生一些限制条件，阻碍值域.
(4)分离常数法，经常使用于分式形式的函数.
(5)换元法，显现sinx+cosx ，sinx-cosx ，sinxcosx 时，常令t=sinx+cosx ，转化为二次函数值域的问题.换元前后要注意等价.
(6)数形结合法，利用斜率公式等构造图形求最值.。