第三章空间力系习题解答

习 题
3-1 在边长为a 的正六面体上作用有三个力，如图3-26所示，已知：F 1=6kN ，F 2=2kN ，F 3=4kN 。

试求各力在三个坐标轴上的投影。

图3-26
kN 6001111====F F F F z y x
0kN
245cos kN
245cos 2222==︒=-=︒-=z y x F F F F F
kN 3
3
433kN 3
3433kN 3
3
4333
3333
3==-=-===F F F F F F z y x
3-2 如图3-27所示，已知六面体尺寸为400 mm ×300 mm ×300mm ，正面有力F 1=100N ，中间有力F 2=200N ，顶面有力偶M =20N ·m 作用。

试求各力及力偶对z 轴之矩的和。

图3-27
203.034
44.045cos 2
1-⨯+⨯︒-=∑F F M z
m N 125.72034
240220⋅-=-+
-=
3-3如图3-28所示，水平轮上A 点作用一力F =1kN ，方向与轮面成a =60°的角，且在过A 点与轮缘相切的铅垂面内，而点A 与轮心O '的连线与通过O '点平行于y 轴的直线成b =45°角，h =r =1m 。

试求力F 在三个坐标轴上的投影和对三个坐标轴之矩。

图3-28
N 354N 225045sin 60cos 1000sin cos ==︒⨯︒⨯==βαF F x N 354N 225045sin 60cos 1000cos cos -=-=︒⨯︒⨯-=-=βαF F y
N 866350060sin 1000sin -=-=︒⨯-=-=αF F z
m N 25845cos 18661354cos ||||)(⋅-=︒⨯⨯-⨯=⨯-⨯=βr F h F M z y x F m N 96645sin 18661354sin ||||)(⋅=︒⨯⨯+⨯=⨯+⨯=βr F h F M z x y F
m N 500160cos 1000cos )(⋅-=⨯︒⨯-=⨯-=r F M z αF
3-4 曲拐手柄如图3-29所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，
CD =200mm ，a =30°。

试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。

图3-29
N 2530sin 100sin sin 2=︒⨯==ααF F x
N 3.43N 32530cos 30sin 100cos sin -=-=︒⨯︒⨯-=-=ααF F y
N 6.8635030cos 10030cos -=-=︒⨯-=︒-=F F z
3
.03504.0325)(||||)(⨯-⨯-=+⨯-⨯-=CD AB F BC F M z y x F
m N 3.43325⋅-=-=
m N 104.025||)(⋅-=⨯-=⨯-=BC F M x y F m N 5.73.025)(||)(⋅-=⨯-=+⨯-=CD AB F M x z F
3-5 长方体的顶角A 和B 分别作用力F 1和F 2，如图3-30所示，已知：F 1=500N ，F 2=700N 。

试求该力系向O 点简化的主矢和主矩。

图3-30
N 4.82114100520014
25
221R
-=--=⨯
-⨯-='F F F x
N 2.5611415014
3
2R
-=-=⨯-='F F y
N 7.4101450510014
15
121R
=+=⨯
+⨯='F F F z
N 3.10767.410)2.561()4.821(222R
=+-+-='F
︒=-=-=
76.1397633.03.10764
.821cos αα
︒=-=-=40.1215216.03.10762
.561cos ββ
︒===57.673816.03.10767
.410cos γγ
m N 2.561141503141)(2⋅==⨯⨯=∑F M x F m N 4.821141005200214
125
1)(21⋅-=--=⨯⨯
-⨯⨯-=∑F F M y F
0)(=∑F z M
m N 8.9944.8212.561)(22⋅=+=F O M
︒='=='66.555641.08.9942
.561cos αα
︒='-=-='66.1458257.08
.9944
.821cos ββ
︒='='900cos γγ
3-6 有一空间力系作用于边长为a 的正六面体上，如图3-31所示，已知：F 1=F 2=F 3=F 4=F ，F 5=F 6=F 2。

试求此力系的简化结果。

图3-31
0R R R
='='='z y x F F F 0R ='F
Fa Fa Fa Fa a F a F M x 414.0)12(2)(52=-=+-=+-=∑F 0)(=∑F y M
Fa Fa Fa Fa a F a F M z 414.0)21(2)(53-=-=-=-=∑F
Fa Fa Fa M O 585.0)22()12(2)(=-=-=F
︒='='452
1
cos αα
︒='='900cos ββ
︒='-='1352
1
cos γγ
3-7 有一空间力系作用于边长为a 的正六面体上，如图3-32所示，已知各力大小均为F 。

试求此力系的简化结果。

图3-32 0R
='x F F F y 2R =' F F z 2R =' F F 22R
=' ︒==900cos αα
︒====452
1
cos cos γβγβ
0)(=∑F x M Fa M y 2)(-=∑F Fa M z 2)(=∑F
Fa M O 22)(=F ︒='='900cos αα
︒='-='13521
c o s ββ
︒='='452
1
cos γγ
3-8 如图3-33所示的悬臂刚架，作用有分别平行于x 、y 轴的力F 1与F 2。

已知：F 1=5kN ，F 2=4kN ，刚架自重不计。

试求固定端O 处的约束反力和约束反力偶。

图3-33
001=+=∑F F F Ox x kN 51-=-=F F Ox 00
2=+=∑F F F Oy y kN 42-=-=F F Oy
00==∑Oz z F F
04
02=⨯-=∑F M M Ox x m kN 1642⋅=⨯=F M Ox
06
01=⨯+=∑F M M Oy y m kN 3061⋅=⨯-=F M Oy
04
01=⨯-=∑F M M Oz z m kN 2041⋅=⨯-=F M Oz
3-9 墙角处吊挂支架由两端铰接杆OA 、OB 和软绳OC 构成，二杆分别垂直于墙面且由绳OC 维持在水平面内，如图3-34所示。

结点O 处悬挂重物，重量W =500N ，若OA =300mm ，OB =400mm ，OC 绳与水平面的夹角为30°，不计杆重。

试求绳子拉力和二杆所受的压力。

图3-34
030sin 0T =-︒=∑W F F z N 10002T ==W F
sin 30cos 0T =︒-=∑αF F F OA x
N 6.51933005
3
231000s i n 30cos T ==⨯⨯
=︒=αF F OA 0cos 30cos 0T =︒-=∑αF F F OB y N 8.69234005
4
231000cos 30cos T ==⨯⨯
=︒=αF F OA
3-10 如图3-35所示的空间支架。

已知：∠CBA =∠BCA =60°，∠EAD =30°，物体的重量为W =3kN ，平面ABC 是水平的，A 、B 、C 各点均为铰接，杆件自重不计。

试求撑杆AB 和AC 所受的压力F AB 和F AC 及绳子AD 的拉力F T 。

图3-35
030sin 0T =-︒=∑W F F z kN 62T ==W F
030sin 30sin 0
=︒-︒=∑AB AC x F F F AB AC F F =
030cos 30cos 30cos 0
T =︒-︒+︒=∑F F F F AB AC y
kN 32
T
==
=F F F AB AC
3-11 空间构架由三根直杆铰接而成，如图3-36所示。

已知D 端所挂重物的重量W =10kN ，各杆自重不计。

试求杆AD 、BD 、CD 所受的力。

图3-36
045cos 45cos 0
=︒-︒=∑BD AD x F F F BD AD F F =
030cos 45sin 30cos 45sin 15cos 0
=︒︒+︒︒+︒-=∑BD AD CD y F F F F
︒︒=︒30cos 45sin 215cos AD CD F F
︒
︒
︒=
15cos 30cos 45sin 2AD CD F F
15sin 30sin 45sin 30sin 45sin 0=-︒-︒︒+︒︒=∑W F F F F CD BD AD z
015tan 30cos 45sin 230sin 45sin 2=-︒︒︒-︒︒W F F AD AD 0)15tan 31(45sin =-︒-︒W F AD
kN 39.266390.2)
15tan 31(45sin ==︒-︒=W W
F AD
)15tan 31(15cos 3)15tan 31(45sin 15cos 30cos 45sin 2︒-︒=
︒-︒⨯︒︒︒=
W
W F CD kN 461.333461.3==W
3-12 空间桁架如图3-37所示。

力F 作用在ABDC 平面内，且与铅垂线成45°角，ΔEAK ≌ΔFBM ，等腰三角形ΔEAK 、ΔFBM 和ΔNDB 在顶点A 、B 和D 处均为直角，又EC =CK =FD =DM 。

若F =10kN ，试求各杆的受力。

图3-37
结点A
045cos 45cos 0
21=︒-︒=∑F F F x 21F F =
045cos 03=︒+=∑F F F y kN 2545cos 3-=︒-=F F 045cos 45sin 45sin 0
21=︒-︒-︒-=∑F F F F z
kN 52/21-=-==F F F
结点B
045cos 45cos 0
54=︒-︒=∑F F F x 54F F =
045cos 036=-︒=∑F F F y kN 10236-==F F 045sin 45sin 45sin 0
645=︒-︒-︒-=∑F F F F z
kN 52/645=-==F F F
3-13 三轮车连同上面的货物共重W =3kN ，重力作用点通过C 点，尺寸如图3-38所示。

试求车子静止时各轮对水平地面的压力。

图3-38
06.06.10
N =⨯-⨯=∑W F M D x kN 125.16
.16
.0N =⨯=
W F D 04.05.010N N =⨯+⨯-⨯-=∑W F F M D B y kN 6375.05625.02.105.04.0N N =-==-=D B F W F
00
N N N =-++=∑W F F F F D B A z
kN 2375.1N N N =--=D B A F F W F
3-14 如图3-39所示，三脚圆桌的半径mm 500=r ，重N 600=W ，圆桌的三脚A 、B 和C 构成一等边三角形。

若在中线CD 上距圆心为a 的点M 处作用铅垂力F =1500N ，试求使圆桌不致翻倒的最大距离a 。

图3-39
r r AC CD 2323360sin =⨯
=︒= 2
r r CD OD =-= 0)(0
=⨯--⨯=∑OD W OD a F M AB
02)2(=⨯--⨯r
W r a F
mm 3502
521500260022=+=+⨯=+=r r r r r F Wr a
3-15 简易起重机如图3-40所示，图中尺寸为AD =DB =1m ，CD =1.5m ，CM =1m ，ME =4m ，MS =0.5m ，机身自重为W 1=100kN ，起吊重量W 2=10kN 。

试求A 、B 、C 三轮对地面的压力。

图3-40
0)(021N =⨯+-⨯=∑MD W W CD F M C AB
kN 67.363
110
5.15.0110)(21N ==⨯=⨯
+=CD MD W W F C 0)()(0
21N N =+⨯--⨯-⨯+⨯=∑AD ME W MS AD W AB F AD F M B
C x
055.02121N N =⨯-⨯-⨯+⨯W W F F B C
kN 67.312
67.365105.0100N =-⨯+⨯=B F
00
21N N N =--++=∑W W F F F F C B A z
kN 67.4167.3167.3610100N N 21N =--+=--+=C B A F F W W F
3-16 如图3-41所示，矩形搁板ABCD 可绕轴线AB 转动，由DE 杆支撑于水平位置，撑杆DE 两端均为铰链连接，搁板连同其上重物共重W =800N ，重力作用线通过矩形板的几何中心。

已知：AB =1.5m ，AD =0.6m ，AK =BM =0.25m ，DE =0.75m 。

如不计杆重，试求撑杆DE 所受的压力以及铰链K 和M 的约束反力。

图3-41
6.0cos 8.0sin ==αα
0cos 3.00
=⨯-⨯=∑AD F W M DE y α
N 7.6662
.1800
6.06.03.0800==⨯⨯=
DE F
025.1cos 5.010=⨯+⨯-⨯=∑αDE kz x F W F M
N 10025.16.07.6665.0800-=⨯⨯-⨯=kz F 0cos 0
=-++=∑W F F F F DE Kz Mz z α
N 500400100800cos =-+=--=αDE Kz Mz F F W F 025.1sin 10
=⨯-⨯-=∑αDE kx z F F M
N 7.66625.1sin -=⨯-=αDE kx F F 0sin 0
=++=∑αDE Kx Mx x F F F F
N 3.1338.07.6667.666sin =⨯-=--=αDE Kx Mx F F F
3-17 曲轴如图3-42所示，在曲柄E 处作用一力F =30kN ，在曲轴B 端作用一力偶M 而平衡。

力F 在垂直于AB 轴线的平面内且与铅垂线成夹角a =10°。

已知：CDGH 平面与水平面间的夹角f =60°，AC =CH =HB =400mm ，CD =200mm ，DE =EG 。

不计曲轴自重，试求平衡时力偶矩M 之值和轴承的约束反力。

图3-42
0cos cos sin sin 0
=-⨯+⨯=∑M CD F CD F M y ϕαϕα
m N 8567.32.050cos 30)cos(⋅=⨯︒⨯=⨯-=CD F M αϕ 06.0cos 2.10
=⨯-⨯=∑αF F M Bz x
kN 77.1410cos 15cos 5.0=︒==αF F Bz 0cos 0
=-+=∑αF F F F Bz Az z
kN 77.14cos 5.0cos ==-=ααF F F F Az Az 06.0sin 2.10
=⨯-⨯-=∑αF F M Bx z
N 605.2sin 5.0-=-=αF F Bx 0sin 0
=++=∑αF F F F Bx Ax x
N 605.2sin 5.0sin -=-=--=ααF F F F Bx Ax
3-18 如图3-43所示，变速箱中间轴装有两直齿圆柱齿轮，其分度圆半径r 1=100mm ，r 2=72mm ，啮合点分别在两齿轮的最低与最高位置，轮齿压力角a =20°，在齿轮I 上的圆周力F 1=1.58kN 。

不计轴与齿轮自重，试求当轴匀速转动时作用于齿轮II 上的圆周力F 2及A 、B 两轴承的约束反力。

图3-43
001122=-=∑r F r F M y
kN 194.258.172
1001212=⨯==
F r r F kN 7986.020tan 194.2tan 22r =︒==αF F kN 5751.020tan 58.1tan 11r =︒==αF F
052036016001r 2r =⨯+⨯+⨯-=∑Bz x F F F M
kN 1524.0520
360
5751.01607986.05203601601r 2r -=⨯-⨯=⨯-⨯=
F F F Bz
00
1r 2r =+-+=∑F F F F F Bz Az z kN
3759.01524.05751.07986.0cos 5.01r 2r =+-==--=αF F F F F Az Az
0520360160012=⨯-⨯-⨯-=∑Bx z F F F M
kN 7689.1520
360
58.1160194.252036016012-=⨯-⨯-=⨯-⨯-=
F F F Bx
00
21=+++=∑F F F F F Bx Ax x N 0051.2194.258.17689.121-=--=---=F F F F Bx Ax
3-19 某传动轴装有二皮带轮，其半径分别为r 1=200mm ，r 2=250mm ，如图3-44所示。

轮Ⅰ的皮带是水平的，其张力kN 521T
1T ='=F F ，轮Ⅱ的皮带与铅垂线的夹角b =30°，其张力2T
2T 2F F '=。

不计轴与皮带轮自重，试求传动轴做匀速转动时的张力2T F 、2T F '和轴承的约束反力。

图3-44
0)()(011T 1T 22T 2T ='--'-=∑r F F r F F M y
kN 45250
200
1T 212T =⨯==
F r r F kN 22T
='F kN 5.21T ='F 020001500cos )(0
2T 2
T =⨯+⨯'+=∑Bz x F F F M β
kN
8971.3kN 325.275.0cos 62000
1500
cos )(2T 2T -=-=⨯-=⨯'+-
=ββF F F Bz
0cos )(02T
2T ='+++=∑βF F F F F Bz Az z kN 2991.1338971.3cos )(2T 2T -=-='+--=βF F F F Bz Az
01500sin )(500)(20000
2T 2T 1T 1T =⨯'+-⨯'+-⨯-=∑βF F F F F M Bx z
2000
1500
sin )(500)(2T 2T 1T 1T ⨯'++⨯'+-
=βF F F F F Bx
kN 125.42000
150035005.7-=⨯+⨯-=
0sin )()(0
2T 2T 1T 1T ='++'+++=∑βF F F F F F F Bx Ax x kN
375.635.7125.4sin )()(22T 2T 1T 1T -=--='+-'+--=βF F F F F F Bx Ax
3-20 如图3-45所示，货物重为W 1=10kN ，用绞车匀速地沿斜面提升，绞车鼓轮重力为W 2=1kN ，鼓轮直径d =240mm ，A 为径向止推轴承，B 为径向轴承，十字杠杆的四臂各长1m ，在每臂端点作用一圆周力F 。

试求力F 的大小及A 、B 两轴承的约束反力。

图3-45
货车： kN 530sin 1T =︒=W F 绞车
01420
T =⨯-⨯
=∑F d F M z kN 15.08
24.05=⨯=F 025.10T =⨯-⨯-=∑By x F F M kN 75.375.02
5
.1T T -=-=-
=F F F By 00
T =++=∑F F F F By Ay y kN 25.1575.3T -=-=--=F F F By Ay
00==∑Bx y F M
00
=+=∑Bx Ax x F F F 0=Ax F
00
2=-=∑W F F Az z kN 12==W F Az
3-21 水平板用六根支杆支撑，如图3-46所示，板的一角受铅垂力F 的作用，不计板和杆的自重，试求各杆的受力。

图3-46
006==∑F F x
00
4==∑F M z
00
2==∑F F y
01105=⨯-⨯-=∑F F M y F F -=5
05.05.00
53=⨯-⨯-=∑F F M x F F F =-=53
00
531=----=∑F F F F F z F F F F F -=---=531
3-22 正三角形板ABC 用六根杆支撑在水平面内，如图3-47所示，其中三根斜杆与水
平面成30°角，板面内作用一力偶矩为M 的力偶。

不计板、杆自重，试求各杆的受力。

图3-47
030cos 025=⨯︒+=∑a F M M AD a M
F 345-= 030cos 024=⨯︒+=∑a F M M CH a M
F 344-= 030cos 026=⨯︒+=∑a F M M BE a
M
F 346-
= 030tan 30cos 60sin 0
253=︒⨯︒+︒=∑a F a F M DE a M
F F 32253=
-
= 030tan 30cos 60sin 0
261=︒⨯︒+︒=∑a F a F M EH a M
F F 32261=
-
= 030tan 30cos 60sin 0
242=︒⨯︒+︒=∑a F a F M DH a
M
F F 32242=
-
=
3-23 试求图3-48所示各型材截面形心的位置
图3-48
(a)
15m m 720030240121==⨯=y A
100mm 420030140322
32===⨯==y y A A
mm 77.6015600
948000
1560021004200157200==⨯⨯+⨯=∑=
A y A y i i C (b)
10m m 4000121==x A 120m m 4000222==x A 230mm 300032
3==x A
mm 11011
1210
11690480401100023030001204000104000==++=⨯+⨯+⨯=∑=
A x A x i i C (c)
15100m m 60001121===y x A 16515
m m 8100222
2===y x A
mm 17.5114100
721500
141001581001006000==⨯+⨯=∑=
A x A x i i C
11 mm 17.10114100
1426500141001658100156000==⨯+⨯=∑=
A y A y i i C 3-24 试求图3-49所示各平面图形的形心位置
图3-49
用负面积法
(a)
430700m m 120400086014001121===⨯=y x A
430717
50667m m 11045522222==+=-=y x A mm 2.51199448508362161104552120400071711045527001204000==-⨯-⨯=∑=
A x A x i i C mm 430=∑=
A
y A y i i C （或用对称性）
(b) 4060m m 960080120112
1===⨯=y x A 3
803440380120mm 32002/8080222
2==+==⨯=y x A 4050πmm 90030π33223==-=⨯-=y x A mm 6.906
.9972903962π9001280050π90034403200609600==-⨯-⨯+⨯=∑=A x A x i i C mm 7.356
.9972356236π9001280040π9003803200409600==-⨯-⨯+⨯=∑=
A y A y i i C 3-25 如图3-50所示，机床重为25kN ，当水平放置时（︒=0θ），秤上的读数为17.5kN ；当︒=20θ时秤上的读数为15kN 。

试确定机床重心的位置。

图3-50
04.25.170=⨯-⨯=∑C B x W M m 68.125
4.2
5.17=⨯=C x 8888据 m 6594.020tan 25620tan 254.21568.125tan 4.215=︒
=︒⨯-⨯=⨯-⨯=
θW x W y C C。