浙江省东阳中学高三上学期期中考试(数学理).doc

浙江省东阳中学高三上学期期中考试（数学理）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合}32|{<<-=x x M ，}1|{>=x x N ，则)(N M C R ⋂= （ ）
A ．}31|{≥-≤x x x 或
B ．}31|{<<x x
C ．}31|{≥≤x x x 或
D ．∅ 2. 设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a +b |的值为 （ ） A. 37 B. 13 C. 5
D. 1
3．若
2
2
)
sin(2cos -=-
π
αα，则ααcos sin +的值为 ( ) A ．
- B ． 1
2- C ． 12 D 4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a （ ）
A ．33
B ．84
C ．90
D ．189
5.已知双曲线22221x y a b
-=（0a >，0
b >）的一条渐近线的斜率为1
2
，则该双曲线离心
率是 ( )
A.
C.
D.2
6． 若l 为一直线,γβα,,为三个互不重合的平面,给出三命题: ① βαγβγα⊥⇒⊥⊥, ② βγα,⊥∥βαγ⊥⇒
③ l ∥βαβα⊥⇒⊥l , . 其中正确的命题有（ ） A .0个 B .1个 C .2个 D .3个
7．“18a =
”是“对任意的正数x ，21a
x x
+≥”的 ( ) Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
8．函数()10<<=a x
xa y x
的图象的大致形状是
（ ）
9．设函数52 , -2x 0
()()log (2
x f x g x x ⎧≤<=⎨-+≤⎩，若()f x 是奇函数，则当x (0,2]∈时，()g x 的最大值是 （ ） A ．14 B ．34- C ．34
D ．14-
俯视图
侧视图
主视图
10．设1a >，定义()111
12
2f n n n n
=
+++
++，如果对2n ∀≥，不等式 ()127log a f n b +>17log 7a b ++恒成立，则实数b 的取值范围是 （ ）
A.292,17⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. ()0,1
C. ()0,4
D. ()1,+∞
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 12.抛物线x y 162
=上一点P 到x 轴的距离为12,则点P 与焦点F 间的距离|PF|=_______ 13. 将函数cos()3
y x π
=-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
，再 向左平移
6
π
个单位，所得函数的解析式为_________________________ 14．如上右图一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，
如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为
15．已知圆O ：2
2
5x y +=和点A （1，2），过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标
轴围成的三
角形的面积为 16.已知n S 是数列}{n a 的前n 项和,若n
n n n n a 21
2)2)(1(1-+++=
,则n S =__________
17.设,x y 满足约束条件360
200,0
x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b +的
最小值为______________
三解答题（本大题共5小题，共72分）
18. }{n a 是首项为4,公差0≠d 的等差数列,记前n 项和为n S ,若331S 和441S 的等比中项为551
S . (1)
求}{n a 的通项公式n a ; (2)求使0>n S 的最大n 值.
19．已知向量.3
sin 2)(),3sin ,3(cos ),1,3(x x f x x n m n m ⋅=-==记 （1）若)(],,0[x f x 求函数π∈的值域；
（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A ac b C f sin ,,1)(2
求且==的值。

如图所示的几何体是由以正三角形ABC 为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF 所截而
O
P
F
E
D
C
B
A
得.AB=2，BD=1，CE=3，AF=a ，O 为AB 的中点． （1）当5=a 时，求证：OC//平面DEF ；
（2）当4=a 时，求平面DEF 与平面ABC 相交所成且为锐角的二面角的余弦值；
21.已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x m 上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，BC 过椭圆m
的中心，且||2||,0==∙． （1）求椭圆m 的方程；
（2）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||=.求实数t 的取值范围
22.已知函数2
ln )(bx x a x f -=图象上一点))2
1(,21(f P 处的切线方
程为
4
7
2ln 23--=x y .
(1) 求a,b 的值. (2) 若方程f(x)+m=0在],1[
2
2
e e 内有两个不等实根,求m 的取值范围.(其中e 是自然对数的底,e ≈2.7) (3)令nx x
f x
g -=)()(,如果g(x)的图象与x 轴交于),)(0,(),0,(2121x x x B x A <AB 中点为
.0)(:),0,(0/0≠x g x C 求证
参考答案
CACBBCDACD
11. 2 12.13 13.)4
2
1cos(π
-=x y 14. 1/6 15. 25/4
16.
n
n n 2
3
22127+-+- 17. 25/6 18.解(1)532
512+-=n a n (2)n=4
19.解(1)]1,0[,1)6
32sin(2∈-+=y x y π
(2)2
1
5sin ,2
-=
=
A C π
1)取FD 中点M,可证OC//EM.(2)
10
30 21.(1)14
122
2=+y x (2)设直线方程为.t kx y +=联立方程组得:01236)31(2
2
2
=-+++t ktx x k
.0124022>-+⇒>∆t k
PQ 中点M(
2
231,313k
t k kt ++-),由2
311k t k k DM +=⇒-=代入得:0<t<4. ).4,1[,1,02∈∴≥∴≥t t k
又k=0时,)2,2(-∈t 恒成立.所以-2<t<4. 22解(1)a=2,b=1 (2).-m=f(x).f(x)在],1[,]1,1
[
22e e
增函数减函数, 42\224)(,1)1(,1
4)1(e e f f e e f -==--=,由图象得:)1,14[4
---∈-e m 所以]1
4,1(4
e m +
∈ (3)..22
)(.ln 2)(/
2
n x x
x g nx x x x g --=--= 假设结论不成立,则有
{)4(022
),
3(2)
2(0ln 2),1(0ln 200
021********=--=+=--=--n x x x x x nx x x nx x x
(1)-(2)得02
121
212
221212ln
20)()(ln 2x x x x x n x x n x x x x --=⇒=----.
由(4)得2
12121
02121002
ln ,1ln
,22x x x x x x
x x x x x x x n +=
-=-∴-=即 所以)5(12
2
ln 2
12
1
2
1+-=x x x x x x
令0)
1()1()()10(122ln )(,2
2/
21>+-=<<+--==t t t t u t t t t t u x x t 则 所以u(t)在0<t<1上增函数.
又u(t)<u(1)=0,所以(5)式不成立,与假设矛盾.所以命题成立.。