湖北省襄阳市第一中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题含答案

2022年襄阳一中高一年级3 月月考数学试题
考试时间：120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1.与2022°终边相同的角是（）
A ．112-︒
B ．72-︒
C ．222°
D ．142°
2.已知向量(a = ，b = ，且()
7a b a +⋅= ，则a 与b
的夹角为（
）
A ．
6
πB ．
4
πC ．
3π
D ．
2
π3.已知角α的终边过点()()4,30P a a a -<，则2sin cos αα+的值是（）
A ．25
-
B ．
25
C ．0
D ．2
5
-或
25
4．已知π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，则cos α的值为（
）
A 1
2B ．
613
C ．
16
+D ．
165.正方形ABCD 中，P ，Q 分别是边,BC CD 的中点，AP x AC yBQ =+
，则x =（
）A ．
11
13
B ．
65
C ．
56
D ．32
6.要得到函数sin cos y x x =+
的图象，只需将函数y x =的图象上所有的点（）A ．先向右平移
8π
个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B ．先向左平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2（纵坐标不变）
C ．先向右平移4π
个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D ．先向左平移4
π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2（纵坐标不变）
7.已知向量
,,||(3,4)a b a b ==- ，若a 在b 上的投影向量为14
-e (e 是与b 同向的单位向量），则|32|a b -=
（
）
A ．169
B ．13
C ．196
D ．14
8.已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上单调递增，且|()|1f x =在区间[]0,π上有且仅有一个解，则ω的取值范围是（）
A ．30,4⎛⎫
⎪
⎝⎭B ．33,42⎡⎫⎪
⎢⎣⎭C ．13,22⎡⎫⎪
⎢⎣⎭D ．13,24⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

）
9.已知函数f （x ）=A sin （ωx +φ）
（其中A >0，ω>0，|φ|<π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A ．函数6f x π⎛
-⎫ ⎪⎝
⎭是偶函数
B ．函数f （x ）的图象关于点,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称
C ．y =1与图象23()12
12y f x x π
π⎛⎫=-≤≤ ⎪
⎝⎭的所有交点的横坐标之和为83πD ．函数f （x ）的图象可由y =cos2x 的图象向右平移6
π
个单位得到
10.已知向量()cos ,sin OA ββ= ，
将向量OA
绕坐标原点O 逆时针旋转θ角得到向量OB
（090θ︒<<︒）
，则下列说法正确的是（）
A ．OA O
B OA OB
+>- B
．AB <
C ．
OA OB OA OB +=- D ．
()()
OA OB OA OB +⊥- 11.如图，在等腰梯形ABCD 中，222AB AD CD BC ===，E 是BC 的中点，连接AE ，BD 相交于点F ，连接CF ，则下列说法正确的是（）
A ．3142
AE AB AD
→
→→
=+B ．3255
AF AB AD
→
→→
=+C ．
1255
BF AB AD →→→
=-+D ．13105
CF AB AD →
→→
=
-12.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0,2π
ωϕ><），()30,88f f x f ππ⎛⎫⎛⎫-=≤ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调，则（
）
A ．()f x 是偶函数．
B ．()304f f π⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
C ．ω是奇数
D ．ω的最大值为3
三、填空题（本题共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
13.已知扇形的面积为3π，圆心角为
2π
3
，则该扇形的弧长为___▲___．·14.已知平面向量a ＝(2m ＋1，3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |=___▲___．
15.在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →•OM →
的值为▲．
16.已知函数()3log ,03
sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪
=⎨≤≤⎪⎩
，方程()f x m =有四个不相等的实数根
()12341234,,,x x x x x x x x <<<．
（1）实数m 的取值范围为
▲
，
（2）1234x x x x 的取值范围为
▲
.
四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分10分）已知向量1e 与2e 是夹角为3
π
的单位向量，且向量121234,2a e e b e e λ=+=+ .
a
）求（1；
(2)若()
a a
b ⊥+
，求实数λ的值.
18（本题满分12分）已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ
⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭满足下列3个条件：①函数()f x 的周期为π；②3
x π
=是函数()f x 的对称轴；③
7012f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.（1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 的解析式；（2）若,33x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x 的最值.
19.（本题满分12分）已知函数()2cos cos 13f x x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭.
(1)设,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调递减区间；
(2)若11126f πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，,123ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，求sin 2α的值.
20．（本题满分12分）已知坐标平面内()1,5OA = ，()7,1OB = ，()1,2OM = ，OP OM λ=
，R λ∈．
(1)当A ，B ，P 三点共线时，求λ的值；
(2)当PA PB ⋅
取最小值时，求OP 的坐标，并求cos APB ∠的值．
21.（本题满分12分）已知锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点)
P ．
(1)求sin()απ+的值；(2)若11
cos(2)14αβ+=
，且(,0),2
πβ∈-求角β的大小．22.（本题满分12分）已知()()()sin22sin cos 8f m θθθθ=---+．(1)当1m =时，求π12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
(2)若()f θ
的最小值为7-，求实数m 的值；(3)是否存在这样的实数m ，使不等式()816sin cos m f θθθ->-对所有π,π4θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
都成立．若存在，求出m 的取值范围；若不
存在，请说明理由．
襄阳一中高一年级3月月考数学试题
参考答案及评分标准
一，单选题CABDC ABD 二，多选题
9.BC
10.ABD 11.ABD 12.BCD
三、填空题13.2π14.22
15.－6
16.（1）(0,1)（2）(45,72)
四、解答题
17.解：(1)由题意可得1212121cos ,2
e e e e e e ⋅==
，
a === ，.........................……5分
(2)根据题意()
a a
b ⊥+ ，则有()
0a a b ⋅+=
，
()()
()121212113426483102
a b e e e e e e λλλλ
⋅=+⋅+=+++⋅=+ 即
()
21137102
a a
b a a b λ⋅+=+⋅=++ ，所以11940λ+=，94
11
λ=-
.…......................................................................……10分18.解：（1）选①②，则222,
3
k π
π
ωϕππ
==+=，解得2,3k k Z πϕπ=-∈，因为2
π
ϕ<，所以3πϕ=
，即()2cos 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；选①③，22π
πωω=⇒=，由
72122
k ππ
ϕπ⨯+=+得2,3k k Z πϕπ=-∈，因为2
π
ϕ<，所以3πϕ=
，即()2cos 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；选②③，724123T T πππω=-⇒=⇒=，由23k πϕπ+=得2,3
k k Z π
ϕπ=-∈，
因为2
π
ϕ<
，所以3πϕ=
，即()2cos 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭..........................……6分
（2）由题意得，因为33
x π
π
-≤≤
，所以23
3
x π
π
π-
≤+
≤.
所以当2=03x π+
即6x π=-时，()2cos 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭有最大值2，
所以当2=3x ππ+即3x π=时，()2cos 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭有最小值2-.............................……12分
19．解：(1)()2
2cos cos 1cos cos 1
3f x x x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝
⎭
133
2cos2sin(2)
22262
x x xπ
=++=++;
当,63
xππ
⎡⎤
∈-⎢⎥
⎣⎦
时，
5
2[,]
666
xπππ
+∈-，
当
5
2[,
626
xπππ
+∈即[,]
63
xππ
∈时，()
f x单调递减，
故()
f x的单调递减区间为[,]
63
ππ
；.........................……6分
(2)
11
126
fπ
α⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，即
1
sin(2)
33
π
α+=，
,,2(,)
12332
ππππ
ααπ
⎛⎫
∈+∈
⎪
⎝⎭
，故cos(2)
33
π
α+=-，
所以
1122
sin2sin[(2)]
33323
ππ
αα
=+-=⨯+=分20．解：(1)∵()1,5
OA=
，()
7,1
OB=
，()
1,2
OM=
，OP OM
λ=
，
∴()
,2
OP OM
λλλ
==
，()()()
7,11,56,4
AB OB OA
=-=-=-
，
∴()()()
,21,51,25
AP OP OAλλλλ
=-=-=--
，
当A，B，P三点共线时，有AB AP
∥，
()()()
625410
λλ
----=，
解得
17
8
λ=．.........................……6分
(2)∵()
1,52
PA OA OPλλ
=-=--
，()
7,12
PB OB OPλλ
=-=--
，
∴()()()()
175212
PA PBλλλλ
⋅=--+--
2
52012
λλ
=-+()2
528
λ
=--，
∴当2
λ=时，PA PB
⋅
取得最小值8-，此时()
2,4
OP=
，
∴()
1,1
PA
=-
，PA=
，()
5,3
PB=-
，PB=
，
∴cos cos,
PA PB
APB PA PB
PA PB
⋅
∠====
．..................................................……12分21.解：(1)由角α
的终边过点P
，得sinα==，
所以(
)
sin sin
απα
+=-=分
(2)由角α
的终边过点P 得21cos 7
α=，
∴sin22sin cos ααα==
2
1cos22cos 17αα=-=-，
由,
42⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
ππα，(,0)2πβ∈-，得()
20,αβπ+∈
又11cos(2)14αβ+=，故得()sin 214
αβ+=．
()()()cos cos 22cos 2cos2sin 2sin2βαβααβααβα
⎡⎤=+-=+++⎣⎦
=
111.147⎛⎫- ⎪
⎝⎭=12,又,02πβ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，因此3πβ=-......................................……12分
22.解：(1)()()())πsin22sin cos 8sin22sin 84f m m θθθθθθ⎛
⎫=---+=--+ ⎪⎝
⎭，
当1m =时，ππππ
()sin )8126124
f =-+1ππ
sin()8
2124=
-+1π826=++=.........................……4分(2)设sin cos t θθ=-，则
[t ∈，22sin cos 1
t θθ=-+2()()(2)9f Q t t m t θ==---+，
[t ∈，其对称轴为12
m
t =-+
，102
2
m
m -+
≥≥当，即时，()f θ的最小值为(77Q =+=-则5m =；102
2
m
m -+
<<当，即时，()f θ的最小值为77Q =-=-则1
m =-综上，5m =或1m =-.........................……8分(3)由
816
()sin cos m f θθθ
->-，对所有π(,π)4θ∈都成立.
设sin cos t θθ=-，则t ∈，
2816
(2)9,m t m t t
t
-∴
>---+∈恒成立，280
t ->
1
28m t
t t
∴-+
->在t ∈恒成立，
当t ∈时，8t
t
-递减，则1
8t t t +
-在递增，
t ∴=1
8t
t t +
-取得最大值6
得2m ->
∴2m
所以存在符合条件的实数m ，且m 的取值范围为(
2,)6
++∞..........................................……12分。