专题02 相交线与平行线【易错题型专项训练】解析版

专题02 相交线与平行线【易错题型专项训练】
易错点一：两条直线的位置关系
1.若∠α=54°，∠β的两边与∠α两边互相垂直，则∠β=____________．
【难度】★★
【答案】54︒或126︒．
【解析】∠α和∠β是相等或者互补的关系．
【总结】考察垂线的意义以及两解问题，注意分类讨论．
2.平面上三条直线两两相交，最多有m 个交点，最少有n 个交点，则m n +=____________．
【难度】★★
【答案】4．
【解析】最多有3个交点，最少有1个交点．3m =，1n =，4m n +=．
【总结】考察学生的作图分析能力．
3.作图：已知线段AB 上一点Q 及线段外一点P ．
（1） 过点Q 作线段AB 的垂线；
（2） 过点P 作线段AB 的垂线．
【难度】★★
【答案】如右图．
【解析】注意标注垂直符号，以及字母的标注．
【总结】画图一定要写结论．
4.下列说法中正确的是（ ）
A ．有公共顶点、公共边且和为180°的两个角是邻补角
B ．有公共顶点且相等的是对顶角
C ．对顶角的补角一定相等
D ．互为邻补角的两个角不可能相等
【难度】★
【答案】C
【解析】有一条公共边，并且另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，故选项
A 错误；有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，故选项
B 错误；
C 正确；互为邻补角的两个角可能都为90︒，故选型
D 错误．
【总结】本题主要考查了对顶角和邻补角的概念．
5.下列说法正确的是（ ）
A ．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
D．联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【难度】★
【答案】D
【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故选项A错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项B错误；
只有两直线平行时，它们的内错角才相等，故选项C错误；
联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故选项D正确．
【总结】本题主要考查了对顶角、内错角、平行线、点到直线的距离的概念．
易错点二：同位角、内错角、同旁内角
1.在直线AB、CD被直线EF所截的八个角中∠1和∠5是一对________角，∠3和∠5是一对________角，∠4和∠5是一对________角．
【难度】★
【答案】同位角；内错角；同旁内角．
【解析】同位角像字母F，内错角像字母Z，同旁内角像字母U．
【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角的概念及特征．
2.（1）如图∠1和∠2是直线________与________被直线_______所截，所形成的______角；
（2）∠3和∠4是直线_____与_______被直线______所截，所形成的_______角；
（3）∠C的同旁内角是_________．
【难度】★
【答案】（1）DC、AB、DB、内错角；
（2）AD、CB、DB、内错角；
（3）14
、、、．
∠∠∠∠
CBA CDA
【解析】两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，内错角像字母Z，同旁内角像字母U．
【总结】本题考查内错角、同旁内角的概念及特征．
3.如图，下列说法错误的是（）
A．∠5和∠3是同位角B．∠1和∠4是同位角
C．∠1和∠2是同旁内角D．∠5和∠6是内错角
【难度】★
【答案】B
【解析】两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角，故∠1和∠4不是同位角．
【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角的概念及特征．
4，如图，与∠C是同旁内角的有（）
A．5个 B．4个C．3个D．2个
【难度】★
【答案】B
【解析】∠C的同旁内角有：∠CED、∠B、∠EDC、∠ADC共四个．
【总结】本题考查同旁内角的概念及特征．
5.如图，同旁内角的对数是（）
A．5对B．4对C．3对D．2对
【难度】★★
【答案】B
【解析】两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互
为同旁内角．
【总结】本题考查同旁内角的概念及特征．
6.如图，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A ．（1）(2)
B ．（2）（3）（4）
C ．（1）（2）（4）
D ．（3）（4）
(4)(3)(2)(1)2
1
212121
【难度】★★
【答案】C
【解析】（1）（2）（4）中∠1与∠2都在截线的同旁，并且都在被截直线的同侧，是同位角；
（3）中∠1与∠2两边不在同一直线上，不是同位角，故选C ．
【总结】本题考查同位角的概念及特征，注意很多学生会容易误以为（2）中的两个角不是
同位角，老师们要注意纠错哦．
7.指出下图中：
（1）∠C 与∠D 的关系；
（2）∠B 与∠GEF 的关系；
（3）∠A 与∠D 的关系；
（4）∠AGE 与∠BGE 的关系；
（5）∠CFD 与∠AFB 的关系．
【难度】★★
【答案】（1）同旁内角；（2）同位角；（3）内错角；（4）邻补角；（5）对顶角．
【解析】 两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．
【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角、邻补角、对顶角的概念及特征．
8.找出图中∠1的所有的同位角．
【难度】★★
【答案】∠GEF 、∠CBM 、∠ADF 、∠BCN ．
【解析】两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．
【总结】本题考查同位角的概念及特征．
易错点三：平行线的判定与性质
1.如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（
） A ．相等或互补
B ．互补
C ．相等
D ．相等且互余
【难度】★★
【答案】A
【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A ．
【总结】本题考查平行线的基本应用，注意分类讨论．
2.已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的2倍少30°，求∠A 与∠B 的度数．
【难度】★★
【答案】3030B A ∠=︒∠=︒，或70110B A ∠=︒∠=︒，．
【解析】由题意可知，180A B A B ∠=∠∠+∠=︒或，又因为∠A 是∠B 的2倍少30°，
所以230A B ∠=∠-︒，即3030B A ∠=︒∠=︒，或70110B A ∠=︒∠=︒，
【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．
3.如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍多12°，则这两个角是( )．
A ．42°和138°
B ．都是10°
C ．42°和138°或都是10°
D ．以上都不对
【难度】★★
【答案】A 【解析】由题意假设这两个角分别为A 、B ，则有：180A B A B ∠=∠∠+∠=︒或，
又因为∠A 是∠B 的3倍多12°，则有：312A B ∠=∠+︒，
即180********B B B A ︒-∠=∠+︒∠=︒∠=︒，解得：，．
【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．
5.已知：如图，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H ，∠A =∠D ，∠1=∠2，试说明：∠B =∠C ．
【难度】★★
【解析】因为121AHB ∠=∠∠=∠（已知），（对顶角相等）
所以2AHB ∠=∠（等量代换）
， 所以//AF ED （同位角相等，两直线平行）
所以D AFC ∠=∠（两直线平行，同位角相等）
因为A D ∠=∠（已知）
， 所以A AFC ∠=∠（等量代换） 所以//AB CD （内错角相等，两直线平行）
所以B C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）
【总结】本题主要考察平行线的性质定理和判定定理的综合运用．
6.如图，直线GC 截两条直线AB 、CD ，AE 是GAB ∠的平分线，CF 是ACD ∠的平分线，且//AE CF ，那么AB CD ∥吗？为什么？
【难度】★★
【解析】因为AE 是GAB ∠的平分线，CF 是ACD ∠的平分线（已知）
所以GAE EAB ACF FCD ∠=∠∠=∠，（角平分线的性质）
因为//AE CF （已知），所以GAE ACF ∠=∠（两直线平行，同位角相等）
所以EAB FCD ∠=∠（等量代换）
所以//(AB CD 同位角相等，两直线平行)
【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．
7.已知，正方形ABCD 的边长为4cm ，求三角形EBC 的面积．
【难度】★★
【答案】8平方厘米．
【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC ，且其高即是
正方形的边DC ，故三角形面积为正方形面积的一半：24428cm ⨯÷=
【总结】本题考查三角形的面积的计算，注意三角形与正方形同底等高．
8.如图，AD //BC ，52BC AD =，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比．
【难度】★★★
【答案】5:2．
【解析】因为//AD BC （已知）
所以三角形ABC 与三角形ACD 的高相等（平行线间的距离处处相等）
所以::52ABC ACD S S BC AD ∆∆==：（两三角形高相等，面积比等于底之比）
【总结】本题考查平行线距离处处相等及三角形的面积比问题．
9.如图，a ∥b ，．若△ABC 的面积是5，△ABE 的面积是2，则BEC S △=________；
DEC S =__________；DBC S =__________；ADE S =___________．
【难度】★★★
【答案】3；2；5；4
3
．
【解析】因为△ABC的面积是5，△ABE的面积是2，
所以△BEC的面积为5-2=3，
因为△ABC和△DBC为同底等高的三角形，所以△DBC的面积为5，
所以△DEC的面积为5-3=2，
因为△ABE和△BEC为等高三角形，所以面积之比为底之比，即AE:EC=2：3，因为△ADE和△DEC为等高三角形，所以底之比为面积之比，
所以△ADE的面积为
4 232=
3
÷⨯．
【总结】本题主要考查了平行线的性质和三角形面积的求法．
10.如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，三角形ABC的面积为3，求三角形CAD的面积．
【难度】★★
【答案】6
【解析】因为∠1=∠2（已知）
所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
所以AD到BC的距离相等，设为a，
所以三角形ABC面积=1
2
a BC
⨯ =3，
所以三角形ACD面积= 1
2
a AD a BC
⨯=⨯=6．
【总结】本题主要考查了等高三角形的面积之比为底之比的应用．
11.如图△ABC中，∠ABC=∠ACB，AE是△ABC的外角的平分线，F是AE上的一点，试说明△ABC与△FBC的面积相等．
【难度】★★
【解析】因为AE 是△ABC 的外角的平分线（已知）
所以∠DAF =1
2∠DAC （角平分线的意义）
因为180DAC BAC ∠+∠=（邻补角的意义），
180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=（三角形内角和等于180°）
所以∠DAC =∠ABC +∠ACB （等式性质）
因为DAC DAF CAF ∠=∠+∠（角的和差），∠ABC=∠ACB （已知）
所以∠DAF =∠ABC （等式性质）
所以AF//BC （同位角相等，两直线平行），
所以点A 到直线BC 的距离等于点F 到直线BC 的距离（夹在平行线间的距离处处相等）
所以△ABC 与△FBC 为同底等高三角形，
所以△ABC 与△FBC 的面积相等．
【总结】本题主要考查了平行线的判定和同底等高三角形面积相等的应用．
12.如图，已知AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ．
【难度】★★
【解析】过点C 作AB 的平行线CF ，
因为AB ∥ED （已知）
所以////AB CF ED （平行的传递性）
所以B BCF D DCF ∠=∠∠=∠，（两直线平行，内错角相等）
所以B D BCF DCF BCD ∠+∠=∠+∠=∠（等式性质）
【总结】本题考查平行线的性质及辅助线的添加．
13.如图所示，已知，++360A B C ︒∠∠∠=，试说明AE ∥CD ．
【难度】★★
【解析】过点B向右作BF//AE，
所以180
A ABF
∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）
因为++360
∠∠∠=（已知）
A B C︒
所以180
∠+∠=︒（等式性质）
FBC C
所以//
BF CD（同旁内角互补，两直线平行）
所以//
AE CD（平行的传递性）
【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意简单的辅助线的添加方法．14.如图，已知：AB//CD，试说明：∠B+∠D+∠BED=360︒（至少用三种方法）．
【难度】★★
【解析】方法一：连接BD
则∠EBD+∠EDB+∠E=180°（三角形内角和等于180°）
因为AB//CD（已知），所以∠ABD+∠BDC=180°（两直线平行，同旁内角互补）所以∠ABD+∠EBD+∠EDB+∠BDC+∠E=360°，即∠B+∠D+∠BED=360°
方法二：过点E作EF//CD，
因为//
EF AB（平行的传递性）
AB CD（已知），所以//
所以∠B+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
所以∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=360°（等式性质）
即∠B+∠D+∠BED=360°；
方法三：过点E作//
EF BA
因为//
EF AB（平行的传递性）
AB CD（已知），所以//
所以180180
，（两直线平行，同旁内角互补）
ABE BEF FED EDC
∠+∠=︒∠+∠=︒
所以∠B+∠D+∠BED=360︒（等式性质）；
方法四：过点E作EF⊥CD的延长线与F，EG垂直于AB的延长线于G，
则有：∠B=∠BGE+∠GEB，∠D=∠EDF+∠DFE，
所以∠B+∠D+∠BED=∠BGE+∠DFE+∠GED=180+180=360°．
【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意多种方法的归纳总结．
11。