2019_2020学年高中数学第三章变化率与导数4导数的四则运算法则课件北师大版选修1_1

4．求下列函数的导数：
(1)y＝1－1
x＋1＋1
； x
(2)y＝sin4x4＋cos4x4. 解析：(1)y＝1－2 x，
∴y′＝(1－2 x)′＝1－2 x2.
[典例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝
x5＋
x7＋ x
x9；
(2)y＝x－sinx2cosx2；
(3)y＝11＋ －
xx＋11－ ＋
x； x
(4)y＝sincxo＋s 2cxos x.
[解析]
(1)∵y＝
x5＋
x7＋ x
Байду номын сангаас
x9＝x2＋x3＋x4，
∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝(x2)′＋(x3)′＋(x4)′
)
1 A.x2
B.1x－1
C．1－ln x
1－ln x D. x2
解析：f′(x)＝ln
x′·x－ln x2
x·x′＝1x·x－x2ln
x＝1－xl2n
x，所以选D.
答案：D
(2)已知函数f(x)＝sixn＋xc1o0s0x，求f′(π)．
解析：f′(x)＝sin
xcos
x′x＋100－x＋100′sin x＋1002
＝2x＋3x2＋4x3.
(2)先使用三角公式进行化简，得
y＝x－sinx2cosx2＝x－12sin x，
∴y′＝(x－12sin x)′＝(x)′－12(sin x)′
＝1－12cos x.
(3)y＝1＋ 1－xx2＋1－ 1－xx2＝211－＋xx＝1－4 x－2， ∴y′＝(1－4 x－2)′＝4′1－x1－－x421－x′ ＝1－4 x2. (4)∵f(x)＝sincxo＋s 2cxos x＝csoins2xx＋－csoins2xx＝cos x－sin x， ∴f′(x)＝－sin x－cos x.
ex－12.
eexx＋ －11＝1＋ex－2 1，所以y′＝1′＋ex－2 1′＝2′ex－1ex－－122ex－1′＝－
解法二 y′＝ex＋1′ex－1ex－－1ex2＋1ex－1′
＝exex－1ex－－1ex2＋1ex
＝e－x－2e1x2.
理解和掌握求导法则和公式的结构特征是灵活进行求导运算的前提条件，若运算过程 中出现失误，其原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则．另外，在求导 过程中对符号判断不清，也是导致出错的原因之一．
1．求下列函数的导数： (1)y＝15x5－43x3＋3x＋ 2； (2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)；
xcos
x
＝cos2x－sin2xx＋x＋1010002－sin xcos x
xcos ＝
2x＋100cos 2x－12sin x＋1002
2x ，
πcos 所以f′(π)＝
2π＋100cos 2π－12sin π＋1002
2π＝ππ＋＋1100002＝π＋1100.
探究二 先变形再求导
一、导数的加法与减法法则 两 个 函 数 和 ( 差 ) 的 导 数 等 于 这 两 个 函 数 导 数 的 _和__(_差__)__ ， 即 [f(x) ＋ g(x)]′ ＝ _f_′__(_x_)＋__g_′___(x_)_，[f(x)－g(x)]′＝_f_′__(_x_)－ ___g_′__(x_)_.
(3)y＝33 x4＋4 x3. 解析：(1)y′＝(15x5－43x3＋3x＋ 2)′ ＝(15x5)′－(43x3)′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3 )′＋(4 )′
＝3×43
＋4×32
＝4 ＋6 ＝43 x＋6 x.
2．(1)已知f(x)＝lnxx，则f′(x)＝(
二、导数的乘法与除法法则
若 两 个 函 数 f(x) 和 g(x) 的 导 数 分 别 是 f′(x) 和 g′(x) ， 则 [f(x)·g(x)]′ ＝ __f_′__(x_)_g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′__(x_)__，[gfxx]′＝__f′___x__g_x_g_－ 2__xf__x_g_′___x__(g(x)≠0)． 特别地，当 g(x)＝k 时，有[kf(x)]′＝___k_f_′__(x_)___.
D．(x＋x2)ex
解析：f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋(ex)′x2＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.
答案：C
探究一 直接利用法则求导数 [典例1] 求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝xtan x； (3)y＝2＋xlo4 gax.
[解析] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5. (2)y′＝(x·tan x)′＝x·(tan x)′＋x′·tan x＝coxs2x＋tan x. (3)y′＝4x32＋2＋lolgoagxax－2xlxn4 a＝8x3＋24＋x3llooggaaxx－2 lnx3a＝x38＋2＋4lologgaxax－2ln1a.
较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先将函数 式化简；(2)注意公式法则的层次性．
3．求下列函数的导数． (1)y＝(x2＋1)2； (2)y＝eexx＋ －11.
解析：(1)y＝(x2＋1)2＝x4＋2x2＋1， 所以y′＝4x3＋4x.
(2)解法一 2ex
[想一想] 1．导数的和(差)公式对三个或三个以上函数导数的运算还成立吗？ 提示：两个函数和(差)的求导法则可以推广到有限个函数的情况，即 [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．
2．导数运算法则成立的条件是什么？ 提示：要求两个函数必须都可导且商式中要求分母不为零．
[练一练]
3．函数f(x)＝x(x2＋1)的导数为( )
A．x2＋1
B．3x2
C．3x2＋1
D．3x2＋x
解析：∵f(x)＝x3＋x，∴f′(x)＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.
答案：C
4．设f(x)＝x2ex，则f′(x)＝( )
A．x2ex＋2x
B．2xex
C．(2x＋x2)ex