2010年湖北高考真题(含答案)数学理

绝密★启用前 试卷类型：B
2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（理工农医类）
本试题卷共4页，三大题21小题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.
3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.
答在试题卷、草稿纸上无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是满足题目要求的.
1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复
数i
z
+1的点是 A ．E B ．F
C ．G
D ．H
2．设集合}3|),{(},116
4|
),{(2
2x y y x B y x y x A ===+=，则 B A 的子集的个数是
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．在ABC ∆中，a=15，b=10，A=︒60，则B cos =
A ．3
2
2-
B ．
3
2
2 C ．3
6-
D ．
3
6 4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上
的点数是3”为事件B ，则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是 A ．
12
5
B ．
2
1 C ．
12
7 D ．
4
3
5．已知ABC ∆和点M 满足0=++，若存在实数m 使得m =+成
立，则m=
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容
量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第1营区，从301到495在第II 营区，从496到600在第III 营区，三个营区被抽中的人数依次为 A ．26，16，8 B ．25，17，8 C ．25，16，9 D ．24，17，9 7．如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的
内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下
去，设n S 为前n 个圆的面积之和，则n n S ∞
→lim =
A ．2
2r π B ．2
3
8r π
C ．2
4r π
D ．2
6r π
8．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、
导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A ．152 B ．126 C ．90 D ．54 9．若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是 A ．]221,1[+- B ．]221,221[+-
C ．]3,321[-
D ．]3,21[-
10．记实数n x x x ,,,21 中的最大数为},,,max{21n x x x ，最小数为}.,,min{21n x x x 已
知ABC ∆的三边边长为a ，b ，c （c b a ≤≤），定义它的倾斜度为 }.,,min{},,max{a
c c b b a a c c b b a l ⋅= 则"1"2
=l 是“ABC ∆为等边三角”的
A ．必要而不充分的条件
B ．充分而不必要的条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要的条件
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置
上.一题两空的题，其答案按先后顺序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11．在204)3(y x +的展开式中，系数为有理数的项共有 项.
12．已知y x z -=2，式中变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≤,2,1,x y x x y 则z 的最大值为 .
13．四柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面
半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm. 14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
已知ξ的期望9.8=ξE ，则y 的值为 . 15．设,0,0>>b a 称
b
a ab
+2为a 、b 的调和平均数，如图，C 为线段AB 上的点，且AC=a ，CB=b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 做OD 的垂线，垂足为E ，则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段 的长度是a ，b 的几何平均数，线段 的长度是a ，b 的调和平均数.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数.4
12sin 21)(),3
cos(
)3
cos(
)(-=
-+=x x g x x x f π
π
（I ）求函数)(x f 的最小正周期；
（II ）求函数)()()(x g x f x h -=的最大值，并求使)(x h 取得最大值的x 的集合.
17．（本小题满分12分）
为了在夏季降温和冬天了供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某
幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热厚度x （单位：cm ）满足关系：
)100(5
3)(≤≤+=
x x k
x C ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设)(x f 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （I ）求k 的值及)(x f 的表达式；
（II ）隔热层修建多厚时，总费用)(x f 达到最小，并求最小值. 18．（本小题满分12分）
如图，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，,120︒=∠AOB 且OA=OB=OC=1.
（I ）设P 为AC 的中点，证明：在AB 上存在一点Q ，使,OA PQ ⊥并计算AQ
AB
的值; （II ）求二面角O —AC —B 的平面角的余弦值.
19．（本小题满分12分）
已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F （1，0）的距离减去它到y 轴距离的差
都是1.
（I ）求曲线C 的方程；
（II ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，
都有?0<⋅FB FA 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分13分） 已知数列}{n a 满足：)1(0,1)
1(21)1(3,2111
11≥<-+=-+=
+++n a a a a a a a n n n n n n ；数列}{n b 满足：).1(2
21≥-=+n a a b n n n
（I ）求数列}{},{n n b a 的通项公式；
（II ）证明：数列}{n b 中的任意三项不可能成等差数列. 21．（本小题满分14分）
已知函数)0()(>++
=a c x
b
ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为.1-=x y （I ）用a 表示出b ，c ；
（II ）若[)+∞≥,1ln )(在x x f 上恒成立，求a 的取值范围； （III ）证明：).1()
1(2)1ln(131211≥+++>++++n n n
n n
参考答案
一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1—10 DADCBBCBCA 二、填空题： 11．6 12．5 13．4 14．0.4 15．CD ，DE 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16．本小题主要考查三角函数的基本公式，周期和最值等基础知识，同时考查基本运算能力.
（满分12分）
解：（I ）)sin 2
3
cos 21)(sin 23cos 21()3cos()3cos(
)(x x x x x x f +-=-+=ππ
,4
1
2cos 2182cos 3382cos 1sin 43cos 4122-=--+=-=
x x x x x
)(x f 的最小正周期为
.2
2ππ
= （II ）)4
2cos(222sin 212cos 21)()()(π+=-=
-=x x x x g x f x h 当)(24
2Z k k x ∈=+
ππ
时，)(x h 取得最大值
.2
2
)(x h 取得最大值时，对应的x 的集合为}.,8
|{Z k k x x ∈-
=π
π
17．本小题主要考查函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，
（满分12分） 解：（I ）设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为5
3)(+=x k
x C ， 再由,5
340
)(,40,8)0(+===x x C k C 因此得 而建造费用为.6)(1x x C =
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 )100(65
3800
6534020)()(20)(1≤≤++=++⨯=+=x x x x x x C x C x f
（II ）,6)53(2400,0)(',)53(24006)('22=+=+-
=x x f x x f 即令
解得3
25
,5-
==x x （舍去） 当50<<x 时，,0)('<x f 当.0)(',105><<x f x 时
故x=5是)(x f 的最小值点，对应的最小值为.705
15800
56)5(=++
⨯=f
当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元.
18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考
查空间想象力、推理论证能力和运算求解能力.（满分12分） 解法一：
（I ）在平面OAB 内作ON ⊥OA 交AB 于N ，连结NC.
又OA ⊥OC ，∴OA ⊥平面ONC. ⊂NC 平面ONC ， .NC OA ⊥∴
取Q 为AN 的中点，则PQ//NC ，
OA PQ ⊥∴
在等腰,120,︒=∠∆AOB AOB 中
,30︒=∠=∠∴OBA OAB
在,30,︒=∠∆OAN AON Rt 中.2
1
AQ AN ON ==
∴ 在,,3090120,AQ ON NB NBO NOB ONB ==∴∠=︒=︒-︒=∠∆中
.3=∴
AQ
AB
（II ）连结ON ，PO.
由OC ⊥OA ，OC ⊥OB 知，OC ⊥平面OAB ， 又⊂ON 平面OAB ，∴OC ⊥ON ， 又由ON ⊥OA 知：ON ⊥平面AOC ， ∴OP 是NP 在平面AOC 内的射影， 在等腰COA Rt ∆中，P 为AC 的中点， .OP AC ⊥∴
根据三垂线定理，知：AC ⊥NP.
OPN ∠∴为二面角O —AC —B 的平面角，
在等腰COA Rt ∆中，OC=OA=1，2
2=
∴OP ， 在,3
330tan ,=
︒=∆OA ON AON Rt 中 .
5156
3022
cos ,6
30,22==
=∠∴=+=∆∴PN
PO
OPN ON OP PN PON Rt 中在
解法二：
（I ）取O 为坐标原点，分别以OA ，OC 所在角的直线为x 轴，z 轴，建立空间直角从
标系O —xyz （如图所示）
则A （1，0，0），C （0，0，1），).0,2
3
,21(-B ∵P 为AC 中点，).2
1,0,21(P ∴
设),0,2
3,23(),1,0(-
=== λλ )0,2
3
,231()0,23,23()0,0,1(λλλ-=-+=+=∴AQ OA OQ
).21
,23,2321(--=-=∴λλOP OQ PQ
.3
1
,02321,0,==-=⋅∴⊥λλ即OA PQ
所以存在点)0,6
3
,
21(Q 使得.3=⊥AQ AB OA PQ 且 （II ）记平面ABC 的法向量为),,(321n n n n =，则由,,AB n CA n ⊥⊥
且)1,0,1(-=，
得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==,023
2
3,
02231n n n n 故可取).1,3,1(=n 又平面OAC 的法向量为)0,1,0(=e
.5
31
5)
0,1,0()1,3,1(,cos =
-⋅>=
<∴e n
二面角O —AC —B 的平面角是锐角，记为.5
15
cos ,=
θθ则 19．本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运
算的能力.（满分12分） 解：（I ）设P （x ，y ）是曲线C 上任意一点，那么点P （x ，y ）满足：
).0(1)1(22>=-+-x x y x
化简得).0(42
>=x x y
（II ）设过点M （m ，0）)0(>m 的直线l 与曲线C 的交点为),(),,(2211y x B y x A
设l 的方程为,0)(16,0444,222
>+=∆=--⎩⎨
⎧=+=+=m t m ty y x
y m
ty x m ty x 得由 于是⎩⎨
⎧-==+m y y t
y y 442
121
①
又).,1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=
01)()1)(1(021********<+++-=+--⇔<⋅y y x x x x y y x x
②
又,4
2
y x =于是不等式②等价于 01)4
4(442
2
21212221<++-+⋅y y y y y y 01]2)[(4
116)(2122121221<+-+-+⇔y y y y y y y y
③
由①式，不等式③等价于
22416t m m <+-
④
对任意实数t ，2
4t 的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于
.223223,0162+<<-<+-m m m 即
由此可知，存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0<⋅FB FA ，且m 的取值范围是).223,223(+-
20．本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识以及反证法，同时考查推理论证能力.
（满分13分）
解：（I ）由题意可知，).1(3
212
2
1n n a a -=-+ 令.3
2,112
n n n n c c a c =-=+则 又,4312
21=
-=a c 则数列}{n c 是首项为,431=c 公比为3
2
的等比数列，即 1)32(43-⋅=n n c ，故.)32(4312)32(431112
--⋅-=⇒⋅=-n n n n a a
又.0,02
1
11<>=n n a a a
故.)3
2
(431)
1(11
--⋅--=n n n a
.)3
2
(41])32(431[])32(431[112
21--+⋅=⋅--⋅-
=-=n n n n n n a a b （II ）用反证法证明：
假设数列}{n b 存在三点)(,,t s r b b b t s r <<按某种顺序成等差数列，由于数列}{n b 是首项为41，公比为3
2
的等比数列，于是有t s r b b b >>，则只可能有s r t b b b +=22成立，
11)3
2
(41)32(41)32(412+--+=⋅∴t s t t ，
两边同乘,23r t r t +-化简得.32223
s t t s r t r
t +--+⋅=+
由于t s r <<，所以上式左边奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾. 故数列}{n b 中任意三项不可能成等差数列.
21．本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行
推理论证的能力和分类讨论的思想.（满分14分）
解：（I ）⎩
⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=-==++=-
=.21,1,1)1(',0)1(,)('2
a c a
b b a f
c b a f x b
a x f 解得则有 （II ）由（I ）知，.211
)(a x a ax x f -+-+
= 令[),,1,ln 211
ln )()(2+∞∈--+-+=-=x x a x
a ax x x f x g
则,)1)(1()
1(11)(',0)1(2
22
2x a a
x x a x a x ax x x a a x g g --
-=---=---
==
（i ）当.11,
210>-<<a a
a 时 若)(,0)(',11x g x g a
a
x <-<<则是减函数，所以,0)1()(=<g x g 即[)+∞≥<,1ln )(,ln )(在故x x f x x f 上不恒成立. （ii ）当.11,21≤-≥
a
a a 时 若)(,0)(',1x g x g x >>则是增函数，所以,0)1()(=>g x g 即1,ln )(≥>x x x f 故当时，.ln )(x x f ≥
综上所述，所求a 的取值范围为.,21
⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞ （II ）解法一：由（II ）知：当)1(ln )(,2
1
≥≥≥
x x x f a 有时 令).1(ln )1
(21)(,21≥≥-==
x x x
x x f a 有 且当.ln )1
(21,1x x x x >->时
令)],1
1
1()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有
即.,,3,2,1),1
11(21ln )1ln(n k k k k k =++<
-+ 将上述n 个不等式依次相加得
,)
1(21)13121(21)1ln(++++++<
+n n n 整理得
.)
1(2)1ln(131211+++>++++
n n n n 解法二：用数学归纳法证明.
（1）当n=1时，左边=1，右边,14
1
2ln <+
=不等式成立. （2）假设n=k 时，不等式成立，就是、
.)
1(2)1ln(131211+++>++++
k k k k 那么1
1
)1(2)1ln(11131211+++++>++++++
k k k k k k .)
1(22
)1ln(+++
+=k k k
由（II ）知：当2
1
≥
a 时，有).1(ln )(≥≥x x x f 令).1(ln )1
(21)(,21≥≥-==x x x x x f a 有
令).1ln()2ln(1
2
ln )2112(21:,12+-+=++≥++-++++=
k k k k k k k k k k x 得 .
)2(21)2ln(11131211.
)
2(21
)2ln()1(22)1ln(++++>++++++∴++++≥+++
+∴k k k k k k k k k k k
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.
根据（1）和（2），可知不等式对任何*
N n ∈都成立.。