基于MPC的麦克纳姆轮移动平台轨迹跟踪控制

2023年第47卷第11期
Journal of Mechanical Transmission
基于MPC的麦克纳姆轮移动平台轨迹跟踪控制
黄晓宇1,2孙勇智1,2李津蓉1,2王翼挺1,2杨颀伟1,2
（1 浙江科技学院自动化与电气工程学院，浙江杭州310023）
（2 浙江省机器人产业学院，浙江杭州310023）
摘要针对麦克纳姆轮全向移动平台轨迹跟踪控制问题，提出了一种模型预测控制（Model Pre⁃dictive Control，MPC）和微分先行比例-积分-微分（Proportional plus Integral plus Derivative，PID）协同的双闭环控制策略。

基于麦克纳姆轮运动学特点，设计了位姿控制环和速度控制环；在位姿控制环
建立麦克纳姆轮底盘的线性误差模型，设计二次型目标函数，将路径跟随问题转化为对非线性模型
的预测控制；在速度控制环引入微分先行PID控制器，避免输入量频繁的阶跃变化对系统产生高频
干扰，加快麦克纳姆轮的角速度收敛，增强了系统稳定性。

仿真实验表明，设计的控制器在收敛速度、跟踪精度方面均高于常见的轨迹跟踪器，对麦克纳姆轮移动平台的控制具有良好的鲁棒性。

关键词麦克纳姆轮轨迹跟踪线性误差模型模型预测控制微分先行PID
Trajectory Tracking Control of Mecanum Wheels Mobile Platform Based on MPC Huang Xiaoyu1,2Sun Yongzhi1,2Li Jinrong1,2Wang Yiting1,2Yang Qiwei1,2
(1 School of Automation and Electrical Engineering, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China)
(2 Key Institute of Robotics of Zhejiang Province, Hangzhou 310023, China)
Abstract For the trajectory tracking control problem of the omnidirectional mobile platform of Mecanum wheels, a strategy of double closed-loop control with model predictive control (MPC) and differential forward proportional plus integral plus derivative (PID) is proposed. The attitude control loop and velocity control loop are designed based on the kinematics characteristics of Mecanum wheels. The linear error model of the Mecanum wheels chassis is established by the attitude control loop, the quadratic objective function is designed, and the problem of path following is transformed into predictive control for the nonlinear model. In the velocity control loop, the differential forward PID controller is used to avoid the high-frequency disturbance to the system caused by frequent step changes of the input quantity, accelerate the convergence of the angular velocity of the Mecanum wheels, and enhance the stability of the system. Simulation experiments demonstrate that the controller designed in this study has better convergence speed and tracking accuracy than the commonly used trajectory algorithm, and it can provide good robustness to control the mobile platform of Mecanum wheels.
Key words Mecanum wheel Trajectory tracking Linear error model Model predictive control Dif⁃ferential forward PID
0 引言
随着计算机的应用和传感技术的发展，移动机器人技术在智能制造、工业物流等领域得到广泛应用[1-2]。

其中，麦克纳姆轮移动机器人[3]因其运动的灵活性受到广泛关注。

麦克纳姆轮移动平台通常由4个麦克纳姆轮遵循一定规则排布组成，依靠轮子间不同的转速配合，实现平移和原地旋转运动，摆脱了转弯半径的限制，适合在空间狭小或机动性要求高的场合[4-5]工作。

为保证移动机器人精准跟踪预设轨迹，基于麦
文章编号：1004-2539（2023）11-0022-08DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2023.11.004 22
第11期黄晓宇，等：基于MPC的麦克纳姆轮移动平台轨迹跟踪控制
克纳姆轮移动平台设计高精度轨迹跟踪控制器成为
研究热点。

在麦克纳姆轮运动时，只有安装在轮辐
的1个辊子与地面单点接触，存在底盘振动、轮子摩
擦因数小、车轮半径不规则等问题，在移动过程中
容易发生航向偏斜，最终偏离预定目标位置。

为解
决上述问题，诸多学者对其运动学和动力学模型展
开了大量研究，提出了众多的控制策略。

江梦林等[6]
考虑外部干扰以及参数变化，引入径向基神经网络，
在动力学模型的基础上设计了一种自适应滑模轨迹
跟踪控制器。

Sun等[7]提出了一种鲁棒非奇异终端滑
模控制，与传统滑模控制相比，具有更高的跟踪精
度和更强的鲁棒性，但对控制系统硬件要求较高。

Lu等[8]基于人工神经网络的自适应律对各种不确定性扰动进行了建模和估计，提出了一种新的神经网络
自适应滑模控制，以提高麦克纳姆轮移动平台运动
控制系统的稳定性和鲁棒性。

张鹏等[9]针对麦克纳姆
轮移动机器人行驶中的打滑问题，提出了一种实时
修正的模糊比例积分（Proportional plus Integral，PI）
控制算法。

Zou等[10]利用区间二型模糊逼近器来逼近
移动机器人的复杂动力学，提出了有限时间自适应
区间二型模糊控制器。

以上研究大多通过考虑各种
影响因素来优化原有控制系统，尽管提高了数学模
型的精确度，但模型更加复杂，且需要耗费大量时
间调整控制器参数。

在实际工程应用中，需要平衡
控制系统的性能要求和硬件计算能力，因此，一些
复杂的控制策略不易在工程实践中得到广泛应用。

模型预测控制（Model Predictive Control，MPC）
结合了滚动优化和反馈校正的基本原理，具有对未
来轨迹预测和处理多约束条件的能力，通过预测实
现精准控制，能够有效处理线性和非线性模型问题，
适用于多约束或难以建立精确数学模型的控制系
统[11]。

本文针对具有强耦合和非线性的麦克纳姆轮
移动平台轨迹跟踪问题，设计了一种将MPC和微分
先行PID速度控制器相结合的双闭环控制[改进型微
分先行PID控制（Improved Differential Forward PID，IDFPID）]方法。

首先，基于MPC，建立移动平台运动学模型，依据位置偏差和控制增量构建二次型目标函数，并将轴向速度和自转角速度作为约束条件，以获得最优自转角速度和轴向速度；然后，通过麦克纳姆轮逆运动学方程解算出4个麦克纳姆轮的角速度；最后，由IDFPID控制器实现对轮子角速度的闭环跟随，保证麦克纳姆轮移动平台在跟踪目标轨迹过程中的精准性和平稳性。

1 麦克纳姆轮运动学模型
1.1　全方位移动机制
麦克纳姆轮（图1）是瑞典麦克纳姆公司发明的一种全方位移动轮，由主体轮毂和若干均匀分布在轮辐周围的回转辊子组成。

辊子的母线由等速螺旋线或椭圆近似而成，当轮子绕着轮毂轴线转动时，各辊子的外包络线形成圆柱面，保证轮子与地面一直接触，因而可以连续地向前滚动。

图2为麦克纳姆轮剖面结构示意图。

图2中，R 为轮子半径；轮毂轴线与辊子轴线安装夹角α通常呈45°；O i(i=1，2，3，4)为轮子的中心点。

建立局部坐标系x i O i y i，当麦克纳姆轮以角速度ωi旋转时，地面作用于辊子的摩擦力可分解为对辊子的轴向力和圆周力。

而圆周力使辊子绕轴芯产生滚动速度v gi，属于无效运动。

合成所有麦克纳姆轮所受的轴向力，可以使麦克纳姆轮移动平台按照合力方向运动。

1.2　运动学建模
图3所示为典型的麦克纳姆轮移动平台底盘的结构模型。

4个轮子对称布置在底盘的几何中心，对角线分别装配同旋向的右旋轮和左旋轮，每个车轮由直流电动机独立驱动，以产生平台运动所需的转矩。

以模型俯视图的几何中心点O为原点建立全局坐标系XOY，O点的速度为(V x，V y，ω)。

其中，V x、V y分别为移动平台坐标系内X轴和Y轴上速度V的分量；
ω为旋转速度；r
y、r x
分别为轮子中心与平台中心点
图2　麦克纳姆轮剖面结构示意图
Fig. 2　
Schematic diagram of the Mecanum wheel profile structure
图1　麦克纳姆轮
Fig. 1　Mecanum wheel
23
第47
卷
的纵向距离以及横向距离。

假设底盘在水平面运动，忽略平台零件几何误差、装配误差以及弹性形变等影响，设定平台以速度V 沿平台和X 轴夹角β方向运动，推导出麦克纳姆轮移动平台的正运动学模型[12]为éëêêêêùû
úúúúV x V y ω=R 4éëêêêê
êêêêùûúúúúúúúú+1+1
-1-1+1
+1+1+1-1r x
+r y +1r x +r y
-1r x +r y
+1r x +r y éëêêêêêùû
ú
úúúúω1ω2ω3ω4（1）
将式（1）逆变换，可得逆运动学模型为
éëêêêêêùûúúúúú
ω1ω2ω3ω4=1R éëêêêêêùû
ú
úúúú+1+1-(r x +r y )+1+1+(r x +r y )-1+1-(r x +r y )-1
+1+(r x +r y )éëêêêêùû
ú
úú
úV x V y ω（2）
式（2）反映了平台中心速度与各驱动轮角速度的
映射关系。

由移动平台的运动状态，可解算出轮子的角速度ωi 。

合理控制4个麦克纳姆轮的角速度，可使麦克纳姆轮平台实现全向运动。

2 线性误差模型
麦克纳姆轮移动平台运动模型如图4所示。

为准确反映出移动平台的运动状态，本文基于位姿误差建立移动平台的线性误差模型。

将移动平台看作刚体模型，X w O w Y w 为世界坐标系；(x ，y )为模型中心点坐标；θ为模型的航向角；ω、V x 、V y 分别为移动平台的旋转速度、平台坐标系
内X 轴和Y 轴上的速度V 的分量。

移动平台运动状态模型为
éëêêêùû
úúúx y θ=éëê
êêùûúú
úV x cos θ+V y sin θV y cos θ-V x sin θω（3）
式中，(x ，y ，θ)为移动平台的位姿导数。

分别选取
X =[x ，y ，θ]T 和u =[V x ，V y ，ω]T 为移动平台的状态
量和输入控制量，则状态空间描述可表示为
X =f （X ，u ）
（4）
式（4）为非线性系统，故需对其进行线性化处理。

假设轨迹上任意参考点(x r ，y r ，θr )满足X r =f (X r ，u r )，式中，X r =[x r ，y r ，θr ]T ，u r =[V xr ，V yr ，
ωr ]T 。

将式（4）在参考点处进行泰勒展开，并忽略高
阶项，得到
X =f (X r ，u r )+∂f (X ，u )
∂X
(X -X r )+
∂f (X ，u )
∂u (u -u r )（5）
对∂f (X ，u )∂X 和∂f (X ，u )∂u
求雅可比矩阵，令
式（5）与式（4）相减，得线性误差模型一般形式为
X e =éëêêêêêêùûúúúúúúx -x r y -y r θ-θr =éëêêêêêùûúúúúú00-V xr sin θr +V yr cos θr 00-V yr sin θr -V xr cos θr 00
0éëêêêùûúúúx -x r y -y r θ-θr +éëêêêêêùûúúúúúcos θr sin θr 0-sin θr cos θr 00
01éëêêêùûúú
úV x -V xr V y -V yr ω-ωr （6）
将式（6）改写为状态空间形式，得到
X e =A t X e +B t u e
（7）
式中，A t =éëêêêêêùû
úúúú
ú
00-V xr sin θr +V yr cos θr 00-V yr sin θr -V xr cos θr 0
00；B t =éëêêêêêùûúúúú
ú
cos θr sin θr 0-sin θr cos θr 00
01。

3 MPC_IDFPID 双闭环控制器
控制器整体设计框架如图5所示，由外部位姿控制环和内部速度控制环组成MPC_IDFPID
双闭环控
图3　麦克纳姆轮底盘结构
Fig. 3　
Mecanum wheel chassis construction
图4　麦克纳姆轮移动平台运动模型示意图
Fig. 4　Motion model diagram of the Mecanum wheel mobile platform
24
第11期黄晓宇，等：基于MPC 的麦克纳姆轮移动平台轨迹跟踪控制
制系统。

外部位姿控制环将系统的位姿误差作为MPC 控制器的输入，在满足多种运动约束下，输出预测轴向速度和自转角速度，再由式（2）所示的模型解算出麦克纳姆轮的预设角速度ωi ，最后由内部速度控制环的IDFPID 控制器完成直流电动机对预设角速度的跟踪，控制移动平台运动至参考位姿。

3.1　MPC 控制器3.1.1　预测模型建立
MPC 是一种典型的过程控制策略，通过采集上
一时刻移动平台状态，再由预测模型对系统预测时域内的状态进行预测，构建二次型目标函数；进而结合约束条件，优化求解得到控制时域内各个周期的控制量；并将控制序列的第一个元素作用于控制系统，在下一个采样时刻重新获取移动平台的状态，继续新一轮的滚动优化。

本文基于位姿误差建立其线性误差模型，作为MPC 控制器的预测模型。

由于线性误差模型为连续系统，无法直接应用于MPC 控制器设计，因此，采用前向欧拉法对式（7）进行离散化处理，其离散化表
示为
X e (k +1)=a k X e (k )+b k u e (k
)
（8）
式中，
a k =éëêêêêêùû
úúúú
ú
10-TV xr sin θr +TV yr cos θr 0
1-TV yr sin θr -TV xr cos θr 0
01；b k =éëêêêêêùû
úúúúú
T cos θr T sin θr
0-T sin θr
T cos θr
00
0T 。

式中，T 为采样周期。

定义输出方程为y (k )=éëêêêêêùû
úúúúú
1000100
1X e (k )=cX e (k )
（9）
为对控制增量进行精确约束，求解最优控制量，
将离散状态量X e (k )
和控制量u e (k -1)组合构建新的
状态量，即ξ(k )=[X e
(k ) u e
(k -1)]T
，则新的状态
空间方程为
ìí
îξ()
k +1=A k ξ()k +B k Δu ()
k η()
k =C k ξ()k （10）式中，A k =éëêêùû
úúa k b k 0N u ×N X I N u ；B k
=éëêêùûúúb k I N u
；C k =[
I N X
0]
；N X 为状态量维度；N u 为控制量维度。

令预测时域
N p =60，控制时域N c =30，则预测时域内每一时刻
的状态量为
ìíî
ï
ïïïï
ïïïïïïïïïïï
ïï
ïïïï
ξ()k +1=A k ξ()k +B k Δu ()k ξ()
k +2=A 2
k ξ()k +A k B k Δu ()k +B k Δu ()
k +1⋮ξ()
k +N c =A N c k ξ()k +A N c
-1
k B k Δu ()k +⋯+A 0k B k Δu (k +N c -1)
⋮ξ(k +N p )=A N p k ξ(k )+A N p
-1
k B k Δu (k )+⋯+A 0k B k Δu (k +N p -1)（11）
预测时域内每一时刻的系统输出量为
ìíî
ïï
ïïïïïïïïïïïïïï
ïïïïïïη（k +1）=C k A k ξ（k ）+C k B k Δu （k ）η（k +2）=C k A 2k ξ
（k ）+C k A k B k Δu （k ）+C k B k Δu ()
k +1⋮
η（k +N c ）=C k A N c
k ξ（k ）+C k A N c
-1
k B k Δu （k ）+⋯+
A 0k
B k Δu (k +N c -1)
⋮
η(k +N p )=C k A N p
k ξ(k )+C k A N
p
-1
k
B k Δu (k )+⋯+
C k A 0k B k Δu (k +N p -1)
（12）
根据式（12）推导可得系统的一般输出方程为Y =Ψξ(k )
+ΘΔU
（13）
式中，
Y =éë
êêêêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúúúúúη(k +1)η(k +2)⋮η(k +N c )⋮η(k +N p )；Ψ=éëêêêêêêêêùûúúúúúúúúC k A k C k A 2k ⋮C k A N c k ⋮C k A N p
k
；图5 MPC_IDFPID 控制器结构流程图
Fig. 5 Flow chart of the MPC_IDFPID controller structure
25
第47
卷
Θ=éëêêêêê
êêêêêêêêêêêêùû
úúú
úúúú
úúúú
úúúúúú
C k B k 0
⋯0
C k A k B k C k B k ⋯0
⋮⋮
⋮C k A N c -1k B k C k A N c
-2
k B k ⋯C k A 0k B k ⋮⋮
⋮C k A N p
-1k B k
C k A N p
-2
k
B k
⋯
C k A N p
-N
c
k B k ；
ΔU =éëêêêêêêêêêêêêêêêêùû
ú
úúúúúúúúúúúúúúúΔu （k ）Δu （k +1）Δu （k +2）⋮Δu （k +N c -1）。

根据式（13），若已知当前时刻的状态量和控制时域N c 内的控制增量，即可预测未来时域N p 的系统输出量。

3.1.2　目标函数设计
为获得最佳控制序列，需要设计合理的优化目
标；通过计算目标函数，可以获得一系列最佳控制量。

设计目标函数形式如下：
J =（Y -Y r ）T
Q Q （Y -Y r ）+ΔU T
R R ΔU
（14）
式中，Q Q 、R R 均为系统的权重正定矩阵；Y r 为系统的参考输出量，Y r =[ηr （k +1） ⋯ ηr （k +
N c ） ⋯ ηr (k +N p )]T =[0 ⋯ 0 ⋯ 0]T 。

多项式第一项优化目标表示跟踪过程路径偏差
的积累，即当权重矩阵Q Q 较大时，移动平台的跟踪误差更小；第二项优化目标表示跟踪过程控制能量的损耗，即当权重矩阵R R 较大时，计算出的控制量变化更平缓，移动平台的运行过程更加平稳。

为便于计算机计算，对目标函数再次处理，有J =ΔU T （ΘT Q Q Θ+R R ）ΔU +2E T Q Q ΘΔU +E T Q Q E -2Y r Q Q ΘΔU +Y T r Q Q Y -2Y T r Q Q E
（15）
式（15）右边的后4项为常数项，在求解目标函
数时可以舍去。

为确保目标函数有解，引入松弛因子r row
=10，令H =éëê
êùû
úú
ΘT
Q Q Θ+R R
0N u
*N
c
×1
01×N u
*N
c
r row
，g =[E T Q Q Θ 0]，转换为目标函数二次型形式，则式（15）
可以改写为
min ΔU J =2（1
2
ΔU T H ΔU +g T ΔU ）⇔min ΔU J =1
2
ΔU T H ΔU +g T ΔU （16）MPC 的突出特点就是处理多约束问题。

在实际
工程控制过程中，需要将控制量和控制增量限定在合理的范围之内，即对移动平台的控制量和控制增量设计约束条件。

由控制量和控制增量的关系可得ìí
î
ïï
ïï
ïïu e
（k ）=u e （k -1）+Δu （k ）u e （k +1）=u e （k -1）+Δu （k ）+Δu ()
k +1⋮u e （
k +N c -1）=u e （k -1）+Δu （k ）+ Δu （k +1）+⋯+Δu （k +N c -1）（17）
根据式（17）推导，改写表达式为
U =éëêê
êêêùûúúúúúu e (k )u e
(k +1)⋮u e (k +N c -1)=éëêêêêêù
û
úú
úúúu e (k -1)u e (k -1)⋮u e (k -1)+éëêêêêêêêêêêêêùûúúúú
úúúúú
úúúI N c 00⋯0I N c I N
c
⋯0⋮⋮⋮⋮I N
c
I N
c
I N
c
⋯
I N c
é
ëêêêêêêêùû
úúúúúúúΔu (k )Δu (k +1)Δu (k +2)⋮Δu (k +N c -1)=
U t +A I ΔU t
（18）
因每一个控制步均有最大值和最小值，则存在
关系式：
U min
=éëêêêêêêêêùûúúúúúúúúu e min u e min ⋮u e min ≤éëêêê
êêùûúúúúúu e （k ）u e （k +1）⋮u e （k +N c
-1）≤éëêêêêêùû
úúúúú
u e max u e max ⋮u e max =U max （19）将式（18）和式（19）转换为以下形式
ìí
îïïïïïïïïA I ΔU t ≤U max -U t
-A I ΔU t ≤-U min +U t
U min ≤U t +A I ΔU t ≤U max ΔU min ≤ΔU t ≤ΔU max
（20）式中，U t 为上一时刻实际的控制量；U min 、U max 分别为控制量的最小值和最大值；ΔU min 、ΔU max 分别为控制增量的最小值和最大值。

综上，将目标函数转换为一个标准二次型形式，并结合约束条件，将轨迹跟踪控制问题转化为一个最优控制问题，即
ìíîïï
ïïïïïïmin ΔU
J =12ΔU T H ΔU +g T ΔU s.t.ìíîïïïïïïïA I ΔU t ≤U max -U t -A I ΔU t
≤-U min +U t U min ≤U t +A I ΔU t ≤U max ΔU min ≤ΔU t ≤ΔU max
（21）
在每个控制周期完成上述求解后，将控制序列中的第一个元素作用于控制系统，在下一时刻，重
26
第11期黄晓宇，等：基于MPC 的麦克纳姆轮移动平台轨迹跟踪控制
复上述操作，以实现对系统的持续控制。

3.2　微分先行PID
麦克纳姆轮平台依靠4个独立电动机控制轮子的频繁启停或升降速度，实现全向移动。

为保证平台准确按照预定方向和角度运行，要求控制器能够快速响应并达到系统稳定。

传统PID 控制算法在过程的启停或短时间内大幅增减输入时，系统输出将产生很大偏差，容易引起较大的系统振荡致使超调量过大。

微分先行PID 算法只对输出量进行微分，避免设定值的频繁变化引起系统高频振荡，从而增强了系统稳定性。

算法结构如图6所示。

图6中，R （s ）为设定输入；U （s ）为控制器输出；Y （s ）为实际输出；K p 、T i 、T d 分别为比例系数、积分时间常数以及微分时间常数。

对微分部分引入1阶惯性滤波1/（γT d +1），γ为滤波系数，传递函数为
U d (s )Y (s )=T d s +1
γT d s +1， γ<1（22）由此可推导出如下公式：U d (k )=(γT d γT d +T )U d (k -1)+(T d +T
γT d +T )y (k )+
(T d
γT d +T
)y (k -1)（23）式中，T 为采样时间。

令K d =K p T d
T
，代入可得
U d (k )=(γK d
γK d +K p )U d (k -1)
+(K d +K p γK d +K p
)y (k )+
(
K d
γK d +K p
)y ()
k -1
(24)于是，推得微分先行PID 离散化公式为U (k )=K p e (k )+T i ∑e (k )+U d (k )
（25）
由上述数学推导过程可知，控制器的微分部分只与实际输出有关，与设定输入无关。

输入量不断的阶跃变动不会对系统产生高频干扰，因此，可明显提高系统的动态性能。

图7和图8所示分别为系统无扰动和存在扰动时，传统PID 和IDFPID 角速度跟踪控制仿真结果。

控制对象的传递函数为 2.5
0.007s 2+0.8s +0.01
，输入
信号为方波信号r (t )
=0.5sign [square(2πt )]，采样
时间为0.005 s 。

图7（a ）和图8（a ）所示为麦克纳姆轮
角速度输出响应曲线，图7（b ）和图8（b ）所示为输入信号与输出响应之间的角速度误差曲线。

由仿真结果可知，IDFPID 角速度跟踪延时小，无超调，输出响应优于PID 控制器。

由图8可知，当在系统中加入高频扰动时，IDFPID 控制器输出响应不会产生振荡，仍然保持了良好的控制性能。

4 仿真实验
为验证本文设计的MPC_IDFPID 控制器的性能，进行仿真实验，对比了MPC_IDFPID 与传统PID 控制器和滑模控制（Sliding Mode Control ，SMC ）
的轨迹跟
图6　微分先行PID 控制结构图
Fig. 6　
Control structure diagram of differential forward PID
（a ）
角速度跟踪响应
（b ）角速度误差曲线图7　无扰动仿真测试
Fig. 7　
Simulation test without disturbance
（a ）
角速度跟踪响应
（b ）角速度误差曲线图8　添加扰动后仿真测试Fig. 8　Simulation test under disturbance
27
第47
卷
踪效果。

由于正弦函数的速度和加速度具有时变性，因此，对正弦轨迹的跟踪效果能够展现出控制器鲁棒性和动态性能的优劣。

正弦参考轨迹表达式为式（26）。

此外，在系统中添加式（27）所示的高频扰动信号，验证控制器的抗干扰能力。

y =30sin x
10
+30
（26）r d (t )=0.5cos(120πt )
（27）
麦克纳姆轮移动平台的初始位姿(x ，y ，θ)=
(0 m ，30 m ，0°)。

设置轴向速度和自转角速度的约
束条件及其增量约束条件分别为
éëêêêùûúúú-0.5-0.5-1°≤u e (k )≤éëêêêùûúúú0.30.31°（28）
éëêêêùûúúú-0.3-0.3-0.2°≤Δu (k )≤éëêêêùû
úúú0.20.20.2°（29）
对比实验过程中，PID 控制器的参数K p 、T i 、T d
分别取值为0.01、0.005、27，SMC 控制器的正系数c i 取值为260。

轨迹跟踪仿真结果如图9所示，图10所示为移动平台中心点到轨迹点的横向距离偏差绝对值曲线，图11和图12所示分别为移动平台运动过程中距离参考轨迹X 轴和Y 轴的偏差绝对值。

观察偏差曲线可知，MPC_IDFPID 控制器只有在正弦轨迹的波峰和波谷处误差值略有放大，其他区间相对平稳；而PID 和SMC 控制器在运行过程中，轴向误差波动幅度较大，且无法达到较强的稳定控制。

为准确比较各控制器性能，通过式（30）和式（31）计算轨迹跟踪X 轴和Y 轴偏差的均差和方差，作为控制器的控制效果评价，结果如表1所示。

均差或方差值越高，轨迹偏离程度或离散程度越高，跟踪效果越差；反之，则表示跟踪效果越好。

e =∑i =1n
|a i
|n
（30）
s 2
=∑i =1
n
(a i -a )2
n （31）
式中，e 为均差；a 为轨迹点偏差之和的均值；n 为轨迹点的数量；s 2为方差；a i 为轨迹点偏差。

由表1可知，MPC_IDFPID 控制器的X 轴和Y 轴偏差平均值分别为PID 控制器的30.3%和46.5%，SMC 控制器的40.3%和47.8%。

偏差的方差分别为PID 控制器的3.5%和22.4%，SMC 控制器的5.1%
和29.2%。

由此可证明，MPC_IDFPID 控制器相较于普通PID 控制器和SMC 控制器，具有更好的控制效
果和鲁棒性。

图9　轨迹跟踪Fig. 9　
Trajectory tracking
图10　轨迹跟踪横向偏差
Fig. 10　
Lateral error of the trajectory tracking
图11　轨迹跟踪X 轴偏差曲线
Fig. 11　X
-axis error curves of the trajectory tracking
图12　轨迹跟踪Y 轴偏差曲线
Fig. 12　Y -axis error curves of the trajectory tracking
表1　控制器性能评价
Tab. 1　Controller performance assessment
控制器PID
SMC MPC_IDF⁃
PID 均差X 轴/m 0.4320.3250.131
均差Y 轴/m 0.2130.2070.099
方差X 轴/m 2
0.178 70.122 40.006 2
方差Y 轴/m 2
0.063 30.048 70.014 2
28
第11期黄晓宇，等：基于MPC 的麦克纳姆轮移动平台轨迹跟踪控制
5 结论
为解决麦克纳姆轮全向移动平台轨迹跟踪控制问题，基于位姿误差建立麦克纳姆轮移动平台的线性误差模型，作为MPC 控制器的预测模型；依据位置偏差和控制增量设计二次型目标函数，以轴向速度和自转角速度为约束条件，获取MPC 优化求解得到的控制量；最后，得到采用IDFPID 控制器跟随麦克纳姆轮运动学模型逆解后的轮子角速度。

仿真结果表明，MPC_IDFPID 控制器对复杂轨迹可以达到良好的轨迹跟踪效果，并且在系统存在不确定性的干扰时仍保持良好的控制性能。

为麦克纳姆轮移动机器人的轨迹高精度跟踪问题提供了一种简单有效、实用性强的解决方案。

参
考
文
献
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收稿日期： 2022-08-31 修回日期： 2022-10-14基金项目： 国家自然科学基金项目（62173306）
教育部产学合作协同育人项目（201901014014）
作者简介： 黄晓宇（1995— ），男，安徽六安人，硕士研究生；主要研
究方向为工业机器人与智能控制；*****************。

通信作者： 孙勇智（1972— ），男，山东潍坊人，博士，讲师，硕士研究
生导师；主要研究方向为嵌入式系统与智能控制；*******************.cn。

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