数理统计与随机过程2--概率论1

解：
e 4.5 4.5k P( X k ) ， k 0,1, 2, k!
1
P( X 2) 1 P( X 0) P( X 1) 1 e 4.5 (1 4.5) 0.9389
2
P( X 2) P( X 2 | X 2) 0.1198 P( X 2)
示数的——降雨量；候车人数；发生交通事故的次数… 示性的——明天天气（晴，多云…）；化验结果（阳性，阴性）…
*
中心问题：将试验结果数量化
*
*
定义：随试验结果而变的量X为随机变量
常见的两类随机变量
离散型的
连续型的
•4
定义：取值可数的随机变量为离散量 离散量的概率分布(分布律)
X P
x1 p1 x2 p2
5
5
f x
0.798
0.399 0.266
0.5
1.0 1.5
0

1
x
0

x
•18
在自然现象和社会现象中，大量 随机变量服从或近似服从正态分布。
•19
记 Z ~ N (0， 1)， 称Z 服从标准正态分布
1 Z的概率密度： x e 2 t2 x 1 2 Z的分布函数： ( x) e dt 2
•13
•
概率密度函数f(x)的性质
面积为1
1) f ( x) 0
2)
y f ( x)

+

f ( x)dx 1
Px1 X x2
3) 对于任意的实数x1，x2 ( x2 x1 ) P x1 X x2

x2
x1
f (t ) dt P( X a) 0
n重伯努利试验：设试验E只有两个可能的结果：A，Ā P(A)=p,0<p<1。 将E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为 n重伯努利(Bernoulli)试验。 事件A在n重伯努利试验中发生k次的概率为：
k k P( X k ) Cn p (1 p)nk ， k 01 ， ， ，n
称X在区间(a,b)上服从均匀分布， 记为X～U(a,b)
f x
xa 0 xa F ( x) a xb b a xb 1 F x
1
1 ba
0
a
b
x
0
a
b
x
•15
（2）指数分布 ( Exponential distribution ) 定义：设X的概率密度为 e x x 0 f ( x) x0 0 其中λ >0为常数， 则称X服从参数为λ的指数分布。
b


)
•20
§5 随机变量函数的分布
问题：已知随机变量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。
例如，若要测量一个圆的面积Y，总是测量其半径，半径的 测量值可看作随机变量X，若 X N ( , 2 )， 则Y服从什么分布？
•21
一般情况下，若已知X的概率分布，Y=g(X)， 求Y的概率分布的过程为：
分布函数为
1 e x x 0 F ( x) x0 0
P ( X t0 t ) P ( X t0 )
X具有如下的无记忆性：
P( X t0 t | X t0 )
1 F (t 0 t ) e t P( X t ) 1 F (t 0 )
0 P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
•12
定义： 对于随机变量X的分布函数 F ( x), 若存在 非负的函数 f ( x), 使对于任意实数 x, x 有： F ( x) f (t )dt

则称X为连续型随机变量， 其中 f ( x) 称为X的概率密度函数，简称概率密度。


1 x2 / 2 当 XN(0,1)时， f ( x ) e 2 1 1 / 2 y / 2 y e , 2 Y=X 的概率密度即为： f ( x ) 2 0,
y0 y0
此为N=1时的 2 分布
•
当函数g()为严格单调函数，且处处可导时
定理：设X f X ( x), x ，Y g ( X )， g '( x) 0 (或g '( x) 0)。 则Y的概率密度为：
1 e fY ( y) f X ( y ) (, 2 )， Y aX b Y ~ N (a b, a 2 2 )
•27
• 对连续性随机变量，其分布函数
是不是一定连续？其概率密度函
数是不是一定连续？
28
X 例： 设X ~ N ( , 2 )， Y ， 求Y的概率密度fY ( y)
x g '( x) 1 0， x h ( y ) y ， 解： y g ( x )

1 f X ( x) e 2
( x )2 2 2
y2 2
这就是泊松分布！
•9

泊松分布(Poisson分布)
若随机变量X的概率分布律为
e k P( X k ) ， k 0,1, 2, k! 0
称X为服从参数为λ 的泊松分布，记 X ~ ( )
•10
X ( )， 4.5 例：设某汽车停靠站候车人数 (1)求至少有两人候车的概率； (2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。
f X (h( y )) h '( y ) , y f Y ( y) 0, 其他
其中h( y ) x y g ( x) min( g (), g ())， max( g (), g ())，
•
h()为g()的反函数
4) 在f ( x)连续点x， F '( x) f ( x)
x1 x2
f ( x)表示X 落在点x附近的概率的多少
•14
三个重要的连续型随机变量
（1）均匀分布(Uniform distribution) 定义：X具有概率密度 1 x ( a , b)
f ( x) b a 其他 0
主讲: 路永钢 E-mail: ylu@
兰州大学信息科学与工程学院
•1
•

上节内容： 课程简介 概率论基础
本节内容： • 一维随机变量及其分布 • 多维随机变量及其分布

主要内容： 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数
•3
*
常见的两类试验结果：
1. 若Y 为离散量，则先写出Y的可能取值： y1 , y2 , y j ,, 再找出Y y j 的等价 事件( X D), 得P(Y yi ) P( X D);
2. 若Y 为连续量，则先写出Y的概率分布函数： FY ( y ) P(Y y )，找出Y y 的等价事件( X D), 得FY ( y ) P( X D)；再求出Y的概率密度函数fY ( y )；
1、伯努利分布(Bernoulli distribution )
最简单的离散分布：随机变量X只可以取两个值0和1。
X p 0 q 1 p
(p+q=1)
伯努利试验： 把设试验E只有两个可能的结果：A，Ā 的实验称为伯努利试 验。
•6
三个主要的离散型随机变量分布
2、二项式分布(binomial distribution )
1
2 3
•23
例：
设X 的概率密度为f ( x)，x ， Y X 2， 求Y的概率密度fY ( y )
解：设Y的概率分布函数为FY ( y)
当 y 0时，FY ( y) P(Y y) P( X y)
2
y

y
0
f (t )dt
y
y
f (t )dt
3k
1
P(Y k ) C p (1 p)
k 3 k
, k 0,1,2,3
2 2 2 P ( Y 2) C 3 p (1 p)
•8
三个主要的离散型随机变量分布 3、泊松分布——二项式分布的近似表示
二项式分布在以下条件满足时：
当 n 10, p 0.1 时, 可近似表示为： k n k k k e Cn p 1 p , 其中 np k！
这就是参数为n,p的二项分布，
记为： Xb(n,p)
•7
例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且 设各灯为红灯的概率为p，0<p<1，以Y表示一路 上遇到红灯的次数。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次红灯的概率。
解：这是三重伯努利试验
Y b(3, p)
… …
xi pi
… …
pi 0, pi 1
i 1

由于样本点两两不相容， 有：
P( X x ) p P( S ) 1
i 1 i i 1 i


# 概率分布
1、写出可能取值－－即写出了样本点 2、写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率
•5
三个主要的离散型随机变量分布
问题的提出
例：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位 置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样 本空间的两个随机变量。
30
定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义 在S上的随机变量，由它们构成的 向量(X,Y)叫做二维随机向量 e S 或二维随机变量。
•16
（3）正态分布（Normal distribution） 也叫高斯分布（Gaussian distribution）
定义：设X的概率密度为
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
， x
2 2 , , 其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布，
y
X e , Y e
x
定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y， 二元函数
F ( x, y) P ( X x) (Y y)
0
f (t )dt
当 y 0时，FY ( y) P( X 2 y 0) 0
1 , y0 [ f ( y ) f ( y )] 2 y f Y ( y) FY '( y) 0 y0
•24

利用关系式：
1 , y0 [ f ( y ) f ( y )] 2 y f Y ( y) FY '( y) 0, y0
§3 随机变量的分布函数
随机变量X , 对实变量x, P( X x) 应为x的函数
定义：随机变量X , 对任意实数x, 称函数 F ( x) P( X x)为X的概率分布函数，简称分布函数。
F ( x)的几何意义：
X
x
F ( x)的性质：
1) 0 F ( x) 1
2) F ( x)单调不减，且F () 0，F () 1
记为
X N ( , 2 )
•17
X ~ N ( , 2 )
1 f ( x )关于x 对称 1 2 f max f ( ) 2 3 lim f ( x ) 0
x
称μ 为位置参数(决定对称轴位置) σ 为尺度参数(决定曲线分散性)
f x
关键是找出等价事件。
•22
例：设
X p
-1
1 3
0
1 3
1
1 3
Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。 解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1 (Y=-2)的等价事件为(X=-1)… (Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1)
故得：
Y p Z p
-2
1 3
0
1 3
2
1 3
0
1 3
当 X ~ N ( , 2 ) 时
( x )2 2 2
x2 2
其值可以查表得到
P ( a X b)
x 作变换： t
b
a
1 e 2
dx

P(a X b)

b
a
1 e dt 2
) ( a
t2 2
P ( a X b) (