2019-2020学年 福建省厦门市第六中学 高一上学期10月考数学试题(解析版)

2019-2020学年福建省厦门市第六中学高一上学期10月考
数学试题
一、单选题
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，且A={2，3，4}，B={4，5}，则()U A C B ⋂等于（ ） A ．{4} B ．{4，5} C ．{1，2，3，4} D ．{2，3}
【答案】D
【解析】【详解】试题分析：由题U C B ={1，2，3}，所以()U A C B ⋂={2，3}，故选D ． 【考点】集合的运算
2．下列四组中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）
A ．()f x x =，()g x =
B ．()f x x =，()2
g x =
C ．()2
f x x =，()3x
g x x
=
D ．()f x x =，()()(
),0,0x x g x x x ⎧≥⎪=⎨
-<⎪⎩ 【答案】D
【解析】A 项对应关系不同；B 项定义域不同；C 项定义域不同，初步判定选D 【详解】
对A ，()g x x =，与()f x x =对应关系不同，故A 错
对B ，()2
g x =
中，定义域[)0,x ∈+∞，与()f x x =定义域不同，故B 错
对C ，()3
x g x x
=中，定义域0x ≠，与()f x x =定义域不同，故C 错
对D ，()f x x =，当0x ≥时，()f x x =，当0x <时，()f x x =-，故
()()(),0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩
，D 正确 故选：D 【点睛】
本题考查同一函数的判断，应把握两个基本原则：定义域相同；对应关系相同（化简后的函数表达式一样）
3．设函数()221,1
2,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩
，则
()12f f ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
的值为( ) A ．
15
16
B ．2716-
C ．
89
D ．18
【答案】A 【解析】【详解】
因为1x >时，2()2,f x x x =+- 所以2
11
(2)2224,
(2)4
f f =+-==； 又1x ≤时，2()1f x x =-， 所以211115
(
()1().(2)4416
f f f ==-=故选A. 本题考查分段函数的意义,函数值的运算.
4．函数1()2(01)x f x a a a +=->≠且的图象恒过定点（ ） A ．()0,2 B ．()1,2 C ．()1,1- D ．()1,2-
【答案】C
【解析】由10x +=得1x =-代入解析式后，再利用01a =求出()1f -的值，即可求得答案。

【详解】
由10x +=得1x =- 则()0
1=2-1f a -=
则函数()1
2x f x a +=- 的图象恒过定点()-11，
故选C 【点睛】
本题主要考查了指数函数的图象恒过定点问题，属于基础题。

5．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）． A ．()3f x x =- B ．()2
3f x x x =-
C ．()1
1
f x x =-+ D ．()f x x =-
【答案】C
【解析】A ，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用
1
y x
=-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断.
【详解】
A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合；
B ．()2
3f x x x =-在3,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上是增函数，不符合； C ．()1
1f x x =-+可认为是1y x
=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合；
D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合； 故选：C. 【点睛】
（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0k
y k x
=≠的单调性直接通过k 的正负判断；
（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；
（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.
6．已知A=[1，+∞），1B |212x R x a ⎧⎫
=∈≤≤-⎨
⎬⎩⎭
，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞） B ．1
[,1]2
C ．2[,+]3
∞
D ．（1，+∞）
【答案】A
【解析】根据题意，集合A 与集合B 的交集不为空集，列出不等式，即可求解答案． 【详解】
由题意，集合1
[1,),{|
21}2
A B x R x a =+∞=∈≤≤-， 因为A B φ⋂≠，所以211a -≥，所以1a ≥，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了交集的运算及其应用，属于基础题，其中熟练掌握集合交集的定义和合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
7．若偶函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭
的x 的取值范
围是（ ） A ．12,
33⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．12,
33⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．12,23⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．12,
23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】B
【解析】根据奇偶性和(],0-∞上的单调性可确定()f x 在[)0,+∞上的单调性，根据单调性可得到自变量的大小关系，解不等式求得结果. 【详解】
()f x Q 为偶函数且在(],0-∞上单调递增 ()f x ∴在[)0,+∞上单调递减
由()1213f x f ⎛⎫
-> ⎪⎝⎭得：1213x -<，解得：1233x <<
x \的取值范围为12,33⎛⎫
⎪⎝⎭
故选：B 【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到利用奇偶性判断对称区间的单调性；关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.
8．函数()221
12x x f x -++⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的值域是（ ）
A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．(],4-∞
D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】令221t x x =-++，由二次函数性质可求得(],2t ∈-∞；根据指数函数单调性可求得函数值域. 【详解】
令221t x x =-++，则当1x =时，t 取最大值 max 1212t ∴=-++=
(],2t ∴∈-∞ 11,24t ⎛⎫⎡⎫∴∈+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，即()221
12x x f x -++⎛⎫= ⎪⎝⎭
的值域为1
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
故选：D 【点睛】
本题考查指数型复合函数值域的求解问题，关键是能够通过换元法确定幂指数所处的范围，进而根据指数函数单调性求得结果.
9．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >），若()f x 的图象如图所示，则
()x g x a b =+的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】根据二次函数图象可确定,a b 的范围，根据指数函数图象和函数上下平移可确定结果. 【详解】
由()f x 图象可知：01a <<，1b <-
x y a ∴=恒过()0,1且在R 上单调递减
()g x Q 图象可通过x y a =向下平移b 个单位得到 A ∴中图象符合题意
故选：A 【点睛】
本题考查根据函数图象确定参数范围、函数图象的辨析的问题；关键是能够根据二次函数图象确定参数范围，从而确定指数函数的单调性和平移的单位.
10．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式
()()
0f x f x x
--<的
解集为（ ）
A ．(1
0)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，
， D ．(1
0)(01)-⋃，， 【答案】D
【解析】由f (x )为奇函数可知，
()()
f x f x x
--＝
()2f x x
<0.
而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内
11．若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25,44⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,3] B ．3
,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】C
【解析】根据二次函数性质可确定其最小值为25
4
-
，由4y =可求得10x =，23x =；由此根据值域可确定函数定义域，即可得到m 的取值范围. 【详解】
234y x x =--Q 为开口方向向上，对称轴为3
2
x =
的二次函数 min 99254424
y ∴=
--=- 令2344x x --=-，解得：10x =，23x = 3
32
m ∴
≤≤
即实数m 的取值范围为3,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
故选：C 【点睛】
本题考查根据函数的值域求解函数的定义域的问题，关键是能够确定最值点的位置，根据函数的性质可确定定义域. 12．已知()()213,1{
,1
x
a x a x f x a x -+<=≥满足任意12x
x ≠都有
()()1212
0f x f x x x -<-成立，
那么a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．11,
42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．()
0,1 D ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】B
【解析】试题分析：根据
()()1212
0f x f x x x -<-可知，函数在R 上单调递增，所以
1
{210
213a a a a a
>->-+≤，解得11,42a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
. 【考点】分段函数单调性.
二、填空题 13．
已知{
}
|A x y x R ==∈，{}
2|1,B y y x x R ==-+∈，则A B =I ______.
【答案】[]2,1-
【解析】先分别化简集合A 与集合B ，再求交集，即可得出结果. 【详解】
因为{
}
{}||2A x y x R x x ==
∈=≥-，
{}{}2|1,|1B y y x x R y y ==-+∈=≤，
因此[]2,1A B =-I . 故答案为：[]2,1-
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 14．计算12
03161)9⎛⎫++= ⎪
⎝⎭
________.
【解析】根据指数幂运算法则直接求解即可得到结果. 【详解】
)
10
3
2
1647
11933
+⎛⎫
++
=+
+= ⎪⎝⎭
故答案为：73
+ 【点睛】
本题考查指数幂的运算问题，属于基础题.
15．已知函数(0x y a a =>且1)a ≠在[1,2]上的最大值与最小值的差为4
a
，则实数a 的值为________. 【答案】
34或54
【解析】根据指数函数单调性可知2
max min y y a a -=-，由此构造方程可求得结果. 【详解】
x y a Q =为[]1,2上的单调函数 2max min 4
a y y a a ∴-=-=
，解得：34a =或54
故答案为：34或5
4
【点睛】
本题考查根据函数的最值和单调性求解参数值的问题，关键是明确指数函数的单调性，进而根据最值构造出方程求得参数值. 16．给出下列四个命题：
①函数22
y x =+-为奇函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；③函数
12x
y =的值域是()0,∞+；④若函数()f x 的定义域为[]1,4，则函数()
2x
f 的定义域
为[]0,2；其中正确命题的序号是_________（填上所有正确命题的序号）. 【答案】①④
【解析】根据奇偶性的定义可知①正确；由()1
f x x
=
可知②错误；由指数型复合函数值域的求解方法可知③错误；由复合函数定义域的求解方法可知④正确. 【详解】
①由2
10220x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩
得：[)(]1,00,1x ∈-U ∴函数可化为y =
x
=- ∴函数22y x =+-为定义在[)(]1,00,1-U 上的奇
函数 则①正确； ②函数()1
f x x
=为奇函数，但不过平面直角坐标系的原点，则②错误； ③1t x
=
Q 的值域为{}0t t ≠ ()20t
y t ∴=≠的值域为()()0,11,+∞U 即1
2x y =的值域为()()0,11,+∞U ，则③错误； ④由()f x 的定义域可得：124x ≤≤，解得：02x ≤≤
()2x f ∴的定义域为[]0,2，则④正确.
故答案为：①④ 【点睛】
本题考查函数定义域、值域和性质相关命题的辨析，涉及到函数奇偶性的判定与性质、指数型复合函数值域的求解、复合函数定义域的求解方法等知识；考查学生对于函数部分知识的综合掌握程度.
三、解答题
17．已知全集U =R ，集合{|36,}A x m x m m R =≤≤+∈，{|6B x x =≤-或8}x ³ （1）若3m =-，求U B ð和A B U ；
（2）若()
U A B ⊆ð，求实数
m 的取值范围. 【答案】（1）()6,8U B =-ð，(][),38,A B =-∞+∞U U ；（2）[]()2,23,-+∞U 【解析】（1）由补集和并集定义可直接求得结果；
（2）分别在A =∅和A ≠∅两种情况下，由()
U A B ⊆ð构造不等式组求得结果.
【详解】
（1）若3m =-，则[]9,3A =-
(][),68,B =-∞-+∞Q U ()6,8U B ∴=-ð，(][),38,A B =-∞+∞U U
（2）由（1）知：()6,8U B =-ð
当A =∅时，满足()
U A B ⊆ð，此时36m m >+，解得：3m >
当A ≠∅时，若()U
A B ⊆ð，则36
3668m m m m ≤+⎧⎪
≥-⎨⎪+≤⎩
，解得：22m -≤≤ 综上所述：实数m 的取值范围为[]()2,23,-+∞U 【点睛】
本题考查集合运算中的补集和并集运算、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；易错点是忽略子集为空集的情况，造成解集缺失. 18．已知函数()2m f x x x =-
的图象过点52,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（1）求实数m 的值，并证明函数()f x 为奇函数；
（2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论.
【答案】（1）3m =，证明见解析；（2）()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解析 【解析】（1）利用()5
22
f =可构造方程求得m ；根据奇偶性的定义即可证得函数为奇函数；
（2）设210x x >>，可说明()()210f x f x ->，由单调性的定义可得到结论. 【详解】
（1）()f x Q 过点52,
2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()5
2422
m f ∴=-=，解得：3m = ()32f x x x ∴=-
()f x ∴定义域为{}0x x ≠且()()3
2f x x f x x
-=-+=- ()f x ∴为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数
（2）()f x 在()0,∞+上单调递增，证明如下： 令210x x >> 则
()()()()()212121212121121233332222x x f x f x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫
-=-
-+=-+=-+ ⎪⎝⎭
210x x ->Q ，120x x > ()()210f x f x ∴->
()f x ∴在()0,∞+上单调递增
【点睛】
本题考查函数解析式的求解、利用定义证明函数的奇偶性和单调性的问题；关键是能够熟练掌握奇偶性和单调性的定义. 19．已知函数2()4ax b
f x x -=
-是定义在(2,2)-上的奇函数，且1(1)3
f =.
（1）确定()f x 的解析式；
（2）已知函数()f x 在区间(2,2)-上为增函数，求不等式(1)()0f t f t -+<的解集. 【答案】（1）()()2224x f x x x =
-<<-；（2）11,2⎛
⎫- ⎪⎝⎭
【解析】（1）由()00f =和()1
13
f =
可构造方程求得,a b ，进而得到函数解析式； （2）由奇偶性可将不等式化为()()1f t f t <-，根据函数定义域和单调性可构造不等式组求得结果. 【详解】
（1）()f x Q 在0x =处有意义且为奇函数 ()004
b
f -∴=
=，解得：0b = ()1133a f ∴=
=，解得：1a = ()()2224x f x x x
∴=-<<- （2）由()()10f t f t -+<得：()()()11f t f t f t <--=-
()f x Q 在()2,2-上单调递增 122212
t t
t t <-⎧⎪∴-<<⎨⎪-<-<⎩
，解得：1
12t -<<
∴不等式()()10f t f t -+<的解集为11,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
【点睛】
本题考查根据奇偶性求解函数解析式、利用奇偶性和单调性求解函数不等式的问题；关键是能够根据单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求.
20．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，2()23f x x x =-++，
（1）求函数()f x 在R 的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出()f x 的图像，并写出函数()f x 的单调区间.（作图要求：要标出与坐标轴的交点，顶点）.
【答案】（1）()2223,00,023,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪
==⎨⎪-++>⎩
；（2）图象见解析；单调递增区间为()
1,0-和()0,1；单调递减区间为(),1-∞-和()1,+∞
【解析】（1）当0x <时，0x ->，代入可求得()f x -，根据()()f x f x =--和
()00f =可求得分段函数解析式；
（2）由二次函数图象可画出分段函数的图象，根据图象可得函数的单调区间. 【详解】
（1）当0x <时，0x -> ()()()2
22323f x x x x x ∴-=--+-+=--+
()f x Q 为奇函数 ()()223f x f x x x ∴=--=+-
又()00f = ()2223,0
0,023,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪
∴==⎨⎪-++>⎩
（2）()f x 图象如下图所示：
由图象可知：()f x 的单调递增区间为()1,0-和()0,1；单调递减区间为(),1-∞-和
()1,+∞
【点睛】
本题考查利用奇偶性求解函数解析式、分段函数图象与单调区间的求解问题；易错点是忽略函数为定义在R 上的函数，造成解析式求解中丢掉0x =的部分. 21． 已知函数2()2(1)4f x x a x =--+.
（Ⅰ）若()f x 为偶函数，求()f x 在[]1,2-上的值域；
（Ⅱ）若()f x 在区间(],2-∞上是减函数，求()f x 在[]1,a 上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2a
【解析】（I ）根据函数为偶函数，利用()()f x f x -=求得a 的值.根据x 的取值范围求得函数值的取值范围.（II ）根据二次函数的对称轴判断出函数()f x 在区间[]
1,a 上的单调性，比较()()1,f f a 的函数值，由此求得()f x 在[]
1,a 上的最大值. 【详解】
（Ⅰ）因为函数()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，得1a =.()2
4f x x =+，因为
12x -≤≤，所以()48f x ≤≤,故值域为：[4,8].
（Ⅱ）若()f x 在区间(]
,2-∞上是减函数，则函数对称轴12,3x a a =-≥≥ 因为11a a <-<，所以[]1,1x a ∈-时，函数()f x 递减，[]
1,a a -时，函数()f x 递增，故当[]
1,x a ∈时，()()(){}
max 1,f x f f a = ，
()()2172,24f a f a a a ∴=-=-++，
()()()()
()2
22172244321f f a a a a a a a -=---++=-+=--
由于()()()()3,10,1a f f a f f a ≥->∴≥ ，故()f x 在[]
1,a 上的最大值为7-2a . 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查二次函数的值域，考查二次函数的单调区间，属于中档题.
22．已知二次函数()2
f x ax bx =+满足()()11f x f x x -=+-.
（1）求函数()f x 的解析式； （2）设()()(24310x
x
F x f a a
a =+->且)1a ≠，当[]1,1x ∈-时，
()F x 有最大值14，求实数a 的值. 【答案】（1）()21122f x x x =-
+；（2）1
3
或3 【解析】（1）利用()()11f x f x x -=+-可构造方程组求得,a b ，进而得到函数解析式；
（2）利用换元法，令x t a =，将函数变为()2
21F t t t =+-，分别在01a <<和1a >两
种情况下确定t 的范围，根据二次函数单调性可确定最大值点，由此构造方程求得结果. 【详解】
（1）由()()11f x f x x -=+-得：()()2
2111a x b x ax bx x -+-=++-
即()()()2
2
211ax b a x a b ax b x +-+-=++-
211b a b a b -=+⎧∴⎨-=-⎩，解得：12
1
2a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
()21122f x x x ∴=-+
（2）由（1）得：()22211431212
2x x x x x F x a a a a a ⎛⎫
=-
++-=+- ⎪⎝⎭
令x t a =，则()2
21F t t t =+-，即()F t 为开口方向向上，对称轴为1t =-的二次函数
①当01a <<，[]1,1x ∈-时，1,t a a
⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦ ()F t ∴在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上单调递增
()2max 112
114F t F a a
a ⎛⎫∴==+-= ⎪⎝⎭，解得：13a =
②当1a >，[]1,1x ∈-时，1
,t a a
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ()F t ∴在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增
()()2max 2114F t F a a a ∴==+-=，解得：3a =
综上所述：实数a 的值为1
3
或3 【点睛】
本题考查待定系数法求解函数解析式、根据函数的最值求解参数范围的问题；求解参数范围的关键是能够采用换元法，将问题转化为二次函数最值的问题；易错点是换元时忽略指数函数的单调性，造成新的自变量的范围求解错误.。