(完整word版)《数值计算方法》试题集及答案

《计算方法》期中复习试题
一、填空题：
1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈3
1_________
)(dx x f ,
用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.25
2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2
x 的系数为 ，拉格朗日
插值多项式为 。

答案：-1，
)2)(1(21
)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=
x x x x x x x L
3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；
4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案
)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---
=+
5、对1)(3
++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；
6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；
7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为
( 1
2+-n a b )；
8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；
11、 两点式高斯型求积公式⎰1
0d )(x x f ≈(⎰++-≈1
)]
321
3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；
12、 为了使计算
32)1(6)1(41310--
-+-+
=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为
11
,))64(3(10-=
-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为
199920012
+ 。

13、 用二分法求方程01)(3
=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，
1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

14、 计算积分⎰1
5
.0d x
x ,取4位有效数字。

用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜
生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。

15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值多项式为
)1(716)(2-+=x x x x N 。

16、 求积公式
⎰∑=≈b
a k n
k k x f A x x f )(d )(0
的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有
( 12+n )次代数精度。

17、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求⎰5
1
d )(x
x f ≈( 12 )。

18、 设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f ( 2.5 )。

19、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。

20、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(21
10)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则
a =( 3 )，
b =（ 3 ），
c =（ 1 ）。

21、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则
∑==
n
k k
x l
)(( 1 )，∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((j x )，当2≥n 时=
++∑=)()3(20
4x l x x
k k n
k k ( 32
4++x x )。

22、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导数。

23、改变函数f x x x ()=+-1 (x >
>1)的形式，使计算结果较精确 ()x x x f ++=
11。

24、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10
次。

25、设
()⎩⎨⎧≤≤+++≤≤=21,10,22
3
3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则 a= 3 , b= -3 , c= 1 。

26、若用复化梯形公式计算⎰1
dx
e x ，要求误差不超过6
10-，利用余项公式估计，至少用 477
个求积节点。

27、若
4
321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。

28、数值积分公式1
12
18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++⎰的代数精度为 2 。

选择题
1、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。

A ． 2
B ．5
C ． 3
D ． 4 2、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值
C ． 观察与测量
D ．数学模型准确值与实际值 3、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A ． 6
B ． 5
C ． 4
D ． 7 4、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。

A ． 模型
B ． 观测
C ． 截断
D ． 舍入
5、用1+3x
近似表示3
1x +所产生的误差是( D )误差。

A ． 舍入
B ． 观测
C ． 模型
D ． 截断 6、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。

A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
7、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。

A ． –0．5
B ． 0．5
C ． 2
D ． -2 8、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。

A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 2 9、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1 10、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则f(x)=0的根是( B )。

(A) y=?(x)与x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与y=?(x)交点的横坐标 (C) y=x 与x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与y=?(x)的交点 11、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x －x2)…(x－xn －1)(x －xn)，
(B)
)!1()
()()()()1(+=
-=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x －x1)(x －x2)…(x－xn －1)(x －xn)， (D)
)
()!1()
()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=
-=ωξ
12、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定
收敛到方程f(x)=0的根。

13、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相
应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。

(A)1
1:,1
1
12-=-=
+k k x x x x 迭代公式
(B)
21211:,11k
k x x x x +=+
=+迭代公式
(C)
3/12123)1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D)
11:,12
2
1
2
3+++==-+k k k
k x x x x x x 迭代公式
14、在牛顿-柯特斯求积公式：⎰∑
=
-
≈
b
a
n
i
i
n
i
x
f
C
a
b
dx
x
f
)
()
(
)
(
)
(
中，当系数)(n i C是负值时，公式的稳
定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1）8≥n，（2）7≥n，（3）10
≥
n，（4）6≥n，
（1）二次；（2）三次；（3）四次；
（4）五次
151732
.
≈计算41)
x=，下列方法中哪种最好？（）
(A)28-(B)2
4(-；(C) ；(D) 。

26、已知
3
3
02
21224
()
()()
x x
S x
x a x b x
⎧≤≤
=⎨
-+-+≤≤
⎩是三次样条函数，则,a b的值为( )
(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。

16、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（
）
4
2
17、形如112233
()()()()
b
a
f x dx A f x A f x A f x
≈++
⎰的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（）
(A)9；(B)7；(C) 5；(D) 3。

18、计算Newton迭代格式为( )
(A) 1
3
2
k
k
k
x
x
x
+
=+
；(B)1
3
22
k
k
k
x
x
x
+
=+
；(C) 1
2
2
k
k
k
x
x
x
+
=+
；(D) 1
3
3
k
k
k
x
x
x
+
=+。

19、用二分法求方程32
4100
x x
+-=在区间12
[,]内的实根，要求误差限为
3
1
10
2
ε-
=⨯
，则对分次数至少为( )
(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。

20、设()
i
l x是以019
(,,,)
k
x k k
==为节点的Lagrange插值基函数，则
9
()
i
k
kl k
=
=
∑
( )
(A)x；（B）k；（C）i；（D）1。

33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度
(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。

21、已知
33
0221224()()()x x S x x a x b x ⎧≤≤=⎨-+-+≤≤⎩是三次样条函数，则,a b 的值为( ) (A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。

35、已知方程3
250x x --=在2x =附近有根，下列迭代格式中在02x =不收敛的是( )
(A)1k x +=
(B)1k x += (C)315k k k x x x +=--； (D)
3
1225
32k k k x x x ++=-。

22、由下列数据
(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。

23、5个节点的Gauss 型求积公式的最高代数精度为( ) (A)8； (B)9； (C)10； (D)11。

三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打?，否则打?）
1、已知观察值)210()(m i y x i i ，，，，
， =,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(x P n 时，)(x P n 的次数n 可以任意取。

( )
2、用1-22
x 近似表示cos x 产生舍入误差。

( )
3、))(()
)((210120x x x x x x x x ----表示在节点x 1的二次(拉格朗日)插值基函数。

( ? )
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

( ? )
5、矩阵A =⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-521352113具有严格对角占优。

( ) 四、计算题：
1、求A 、B 使求积公式
⎰-+-++-≈1
1)]21
()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求
⎰
=2
1
1
dx
x I (保留四位小数)。

答案：2
,,1)(x x x f =是精确成立，即
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+32212222B A B A 得98,91==B A
求积公式为)]21
()21([98)]1()1([91)(1
1f f f f dx x f +-++-=⎰-
当3
)(x x f =时，公式显然精确成立；当4
)(x x f =时，左=52
，右=31。

所以代数精度为3。

2、已知
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。

答案：
)53)(43)(13()
5)(4)(1(6
)51)(41)(31()5)(4)(3(2
)(3------+------=x x x x x x x L
差商表为
5、已知
求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。

答案：解：
正规方程组为
⎪⎩⎪
⎨
⎧=+==+41
34103101510520
120a a a a a
6、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表
如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。

答案：解： 应选三个节点，使误差
尽量小，即应使|)(|3x ω尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。

即取节点}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果
596274.063891.0sin ≈，
且
7、构造求解方程0210=-+x e x
的根的迭代格式 ,2,1,0),(1==+n x x n n ϕ，讨论其收敛性，并将根
求出来，4
110||-+<-n n x x 。

答案：解：令 010)1(,
02)0(,
210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x
.
且
010e )(>+='x
x f )(∞+-∞∈∀，对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(=x f 变形为 则当)1,0(∈x 时
)e 2(101
)(x x -=
ϕ，
1
10
e
10e |)(|<≤-='x x ϕ
故迭代格式
收敛。

取5.00=x ，计算结果列表如下：
且满足 6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x .
10、已知下列实验数据
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

解：当0<x <1时，='')(x f e x ，则 e )(≤''x f ，且x x
d e 1
0⎰有一位整数.
要求近似值有5位有效数字，只须误差
4)
(11021
)(-⨯≤
f R n .
由
)(12)()(
2
3
)
(1ξf n a b f R n ''-≤，只要
即可，解得
所以 68=n ，因此至少需将 [0,1] 68等份。

12、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x
x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式)(2x P ,并估计误
差。

解：
)15.0)(05.0()
1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----⨯
+----⨯
=--x x e x x e x P
又
1
|)(|max ,)(,)(]
1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x
故截断误差
|)1)(5.0(|!31
|)(||)(|22--≤
-=-x x x x P e x R x 。

14、给定方程01e )1()(=--=x
x x f
1) 分析该方程存在几个根；
2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；
3) 说明所用的迭代格式是收敛的。

解：1）将方程
01e )1(=--x
x （1） 改写为
x
x -=-e 1 （2）
作函数1)(1-=x x f ，x
x f -=e )(2的图形（略）知（2）有唯一根)2,1(*∈x 。

2) 将方程（2）改写为 x
x -+=e 1
构造迭代格式 ⎩⎨
⎧=+=-+5.1e 101x x k x k ),2,1,0( =k
计算结果列表如下：
3) x
x -+=e 1)(ϕ，x
x --='e )(ϕ
当]2,1[∈x 时，]2,1[)]1(),2([)(⊂∈ϕϕϕx ，且
所以迭代格式 ),2,1,0()(1 ==+k x x k k ϕ对任意]2,1[0∈x 均收敛。

15、用牛顿(切线)法求3的近似值。

取x 0=1.7, 计算三次，保留五位小数。

解：3是03)(2
=-=x x f 的正根，x x f 2)(='，牛顿迭代公式为
n n n n x x x x 23
2
1--
=+， 即
)
,2,1,0(2321 =+=+n x x x n n n
取x 0=1.7, 列表如下：
16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。

解：
)12)(12()
1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+⨯
--+-+⨯+------⨯
=x x x x x x x L
17、n =3,用复合梯形公式求x
x
d e 10
⎰的近似值（取四位小数）,并求误差估计。

解：
7342.1]e )e e (2e [3201d e 132310
310
≈+++⨯-=
≈⎰T x x
x x x f x f e )(,e )(=''=，10≤≤x 时，e |)(|≤''x f
至少有两位有效数字。

20、（8分）用最小二乘法求形如2
bx a y +=的经验公式拟合以下数据：
解：},1{x span =Φ
解方程组
y A AC A T T = 其中
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3529603339133914A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7.1799806.173y A T
解得：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b 21、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx
e
x
⎰
-1
时，试用余项估计
其误差。

用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。

解：
001302.07681
81121)(12][022==⨯⨯≤''--
=e f h a b f R T η
22、（15分）方程013
=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31
+=x x 对应迭代格式31
1+=+n n x x ；(2)x x 11+=对应迭代格式n n x x 111
+=+；（3）13-=x x 对应迭代格
式
13
1-=+n n x x 。

判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。

解：（1）3
2
1(31
)(-+='）x x ϕ，118.05.1<='）（
ϕ，故收敛； （2）
x x x 1
121)(2+
-
='ϕ，117.05.1<='）（
ϕ，故收敛； （3）23)(x x ='ϕ，
15.135.12>⨯='）（ϕ，故发散。

选择（1）：5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ， 32476.15=x ，32472.16=x
25、数值积分公式形如
⎰'+'++=≈1
0)1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高；
（2）设]1,0[)(4
C x f ∈，推导余项公式⎰-=1
0)
()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。

解：将3
2,,,1)(x x x x f =分布代入公式得：
201
,301,207,203-====
D B B A
构造Hermite 插值多项式)(3x H 满足⎩⎨
⎧
='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 其中1,010==x x
则有：⎰=1
03)
()(x S dx x xH ， 22
)4(3)1(!4)()()(-=-x x f x H x f ξ
27、（10分）已知数值积分公式为：
)]()0([)]()0([2)(''20
h f f h h f f h
dx x f h
-++≈
⎰
λ，试确定积分公式中的参数λ，使其代数精确度尽
量高，并指出其代数精确度的次数。

解：1)(=x f 显然精确成立；
x x f =)(时，]
11[]0[22220
-++==⎰h h h
h xdx h
λ；
2)(x x f =时，12122]20[]0[2332
230
2
=
⇒-=-++==⎰λλλh h h h h h h dx x h
； 3)(x x f =时，]
30[121
]0[2422340
3
h h h h h dx x h
-++==⎰；
4)(x x f =时，6]40[121]0[2553
2450
4
h h h h h h dx x h
=
-++≠=⎰；
所以，其代数精确度为3。

28、（8分）已知求)0(>a a 的迭代公式为：
证明：对一切a x k k ≥=,,2,1 ，且序列{}k x 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。

证明：
2,1,0221)(211==⨯⨯⨯≥+=+k a
x a
x x a x x k
k k k k
故对一切a x k k ≥=,,2,1 。

又1)11(21
)1(2121=+≤+=+k
k k x a x x 所以k k x x ≤+1，即序列{}k x 是单调递减有下界，从而迭代过程收
敛。

29、（9分）数值求积公式⎰
+≈30
)]
2()1([23
)(f f dx x f 是否为插值型求积公式？为什么？其代数精
度是多少？
解：是。

因为)(x f 在基点1、2处的插值多项式为
)2(121
)1(212)(f x f x x p ⨯--+⨯--=
⎰+=3
0)]2()1([23
)(f f dx x p 。

其代数精度为1。

30、(6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。

(6分)
()()[]n n n x x x cos 141
1+=
=+φ，n=0,1,2,…
()()141
sin 41'<≤=
x x φ ∴ 对任意的初值]1,0[0∈x ,迭代公式都收敛。

31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。

用Newton 插值方法：差分表：
≈11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)
=10.7227555
32、(10分)用复化Simpson 公式计算积分
()⎰
=1
0sin dx x x I 的近似值，要求误差限为5105.0-⨯。

或利用余项：()()
-+-+-==!9!7!5!31sin 8
642x x x x x x x f
()()5
4)4(4
5
10
5.05288012880-⨯≤⨯≤
-=
n f n a b R
η，2≥n ， =≈2S I
33、(10分)用Gauss 列主元消去法解方程组：
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++27
62345324
24321
321321x x x x x x x x x
3.0000 1.0000 5.0000 3
4.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000
5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333
0.0 0000 1.9375 9.6875
36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：
()()121101
f A f A dx x xf +⎪⎭⎫
⎝⎛≈⎰
取f(x)=1,x ，令公式准确成立，得：
2110=
+A A ，31
2110=
+A A
310=A ，611=A f(x)=x 2时，公式左右=1/4; f(x)=x 3时，公式左=1/5, 公式右=5/24
∴ 公式的代数精度=2 40、(10分)已知下列函数表：
(2)作均差表，写出相应的三次Newton 插值多项式，并计算15(.)f 的近似值。

解：（1）
（2）均差表：01132
9
327 26
18 2
6 4
3
42、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分22
1
12+⎰
dx x 的
近似值（保留4位小数）。

解：5个点对应的函数值
21
12()f x x =
+
（2
分）
(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）： (2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：。