二次函数—动点产生的线段最值问题典型例题
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二次函数—动点产生的线段最值问
题典型例题(总5页)
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二次函数——动点产生的线段最值问题
【例1】如图，在直角坐标系中，点A,B,C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A,B,C 三点的抛物线的对称轴为直线l ． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）点E 是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE 最小时点E 的坐标； （3）点P 是x 轴上的一个动点，求当PD+PC 最小时点P 的坐标；
（4）点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QB QC -最大并求出
最大值．
解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2
+bx+c ， ∵抛物线经过A 、B 、C 三点，
∴0
9303
a b c a b c c -+=⎧⎪
++=⎨⎪=⎩
，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，
∴抛物线的解析式为：y=-x 2
+2x+3． ∵y=-x 2
+2x+3= 2
(1)4x --+，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D 的坐标为（1，4）． （2）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则AE=BE ， 要使AE+CE 最小，即BE+CE 最小,则B 、E 、C 三点共线 如图，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ， 解法一：设直线BC 的解析式为y=kx+n ，
则303k n n +=⎧⎨=⎩,解得1
3k n =-⎧⎨=⎩
∴3y x =-+．当x=1时，3132x -+=-+=，∴点E 的坐标为（1，2） 解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ． ∵E F ∥y 轴，∴∠BEF =∠BCO ，∠BFE =∠BOC ∴△BFE ∽△BOC
∴
BF EF BO CO =， ∴3133EF
-=, ∴2EF =
∴点E 的坐标为（1，2）
（3）作出点C 关于x 轴的对称点为C′，则C′（0，-3），OC′=3，
F
E
如图，连接C′D 交x 轴于点P ，
∵点C 关于x 轴的对称点为C′，则PC=P C′，
要使PD+PC 最小，即PD+P C′最小,则D 、P 、C′三点共线 设直线C′D 的解析式为y=kx+n ， 则43k n n +=⎧⎨
=-⎩,解得7
3
k n =⎧⎨=⎩
∴73y x =-．当y=0时，073x =-，∴3
7
x = ∴点P 的坐标为（
3
7
，0） （4）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则QB=QA ， 要使QB QC
-最大，即QA QC
-最大,则A 、C 、Q 三点共线
如图，连接AC 交抛物线的对称轴于点Q ， 解法一：设直线AC 的解析式为y=kx+n ，
则03k n n -+=⎧⎨=⎩,解得33k n =⎧⎨=⎩
∴33y x =+．当x=1时，333136x +=⨯+=， ∴点Q 的坐标为（1，6）
解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ． ∵QF ∥y 轴，∴∠ACO =∠AQF ，∠AOC =∠AFQ ∴△AOC ∽△AFQ
∴
AO CO AF QF =， ∴1311QF =+, ∴6QF =
∴点Q 的坐标为（1，6） ∴221310QB QC
QA QC
AC -=-==+=
即当点Q 的坐标为（1，6）时，QB QC -有最大值，最大值为10．
Q
F
- -
C ′ P
【作业1】（2011菏泽）如图，抛物线y=
2
1x 2
+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （-1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；
（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．
解：（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y=2
1x 2
+bx ﹣2上， ∴21×（﹣1 ）2
+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=-2
3 ∴抛物线的解析式为y=21x 2﹣2
3
x ﹣2．
y=21x 2﹣23x ﹣2=21（ x 2
﹣3x ﹣4 ）=21（x ﹣23）2﹣8
25， ∴顶点D 的坐标为 （23，﹣8
25
）．
（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2． 当y=0时，
21x 2﹣2
3
x ﹣2=0，∴x 1=﹣1，x 2=4，∴B （4，0） ∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB 2
=25，AC 2
=OA 2
+OC 2
=5，BC 2
=OC 2
+OB 2
=20， ∴AC 2
+BC 2
=AB 2
．∴△ABC 是直角三角形．
（3）作出点C 关于x 轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，
连接C′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小． 解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点E ． ∵ED∥y 轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM ． ∴
ED
C O EM OM '=，∴8
25223=-m m , ∴m=4124
解法二：设直线C′D 的解析式为y=kx+n ，
则⎪⎩⎪
⎨⎧-=+=825
2
32
n k n ,解得n=2，1241-=k E