专题35 一元二次不等式及其解法(押题专练)-2018年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)

1．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．x ≥0 B ．x <0或x >2 C ．x ∈{－1,3,5} D ．x ≤－1
2或x ≥3
【答案】：C
【解析】：不等式2x 2－5x －3≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪
x ≥3，或x ≤－12。

由题意，选项中x 的范围应该是上述解集的真子集，只有C 满足。

2．函数f (x )＝
1
－x 2
＋4x －
的定义域是( )
A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
B ．(1,3)
C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D ．(1,2)∪(2,3) 【答案】：D
3．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪
x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >lg2} B ．{x |－1<x <lg2} C ．{x |x >－lg2} D ．{x |x <－lg2} 【答案】：C
【解析】：由题意，得10x <－1，或10x >1
2，
10x <－1无解；
由10x >12，得x >lg 1
2
，即x >－lg2。

4．若x ＝1满足不等式ax 2＋2x ＋1<0，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)
B ．(－3，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，1) 【答案】：A
5．已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )
【答案】：B
【解析】：由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x 2＋x ＋2的图象开口向
下，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫
12，94。

6．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( ) A ．13 B ．18 C ．21 D ．26 【答案】：C
【解析】：设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示。

若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，
则⎩
⎪⎨⎪⎧ f f ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧
22
－6×2＋a ≤012－6×1＋a ＞0，
解得5＜a ≤8，又a ∈Z ，a ＝6,7,8。

则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21。

7．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是__________。

【答案】：[－4,3]
【解析】：原不等式即(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，1＜a ≤3。

综上可得－4≤a ≤3。

8．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞0的解集为(1,2)，若f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是__________。

【答案】：(－4,0)
【解析】：由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－a
4＜1， ∴a ＞－4，故－4＜a ＜0。

9．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________。

【答案】：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦
⎤5π
6，π
10．对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，求k 的取值范围。

【解析】：函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的对称轴为x ＝－k －42＝4－k
2。

①当4－k
2<－1，即k >6时，f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(k －4)×(－1)＋4－2k >0，解得k <3，故k ∈∅；
②当－1≤4－k
2≤1，即2≤k ≤6时，
只要f ⎝⎛
⎭⎫4－k 2＝⎝⎛⎭
⎫4－k 22
＋(k －4)×4－k 2＋4－2k >0，即k 2<0，故k ∈∅。

③当4－k 2>1，即k <2时，只要f (1)＝1＋(k －4)＋4－2k >0
即k <1，故有k <1，
综上可知，当k <1时，对任意x ∈[－1,1]， 函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零。

11．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }。

(1)求a ，b 的值。

(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0。

12．设函数f (x )＝mx 2－mx －1。

(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围。

【解析】：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；
若m ≠0，则⎩
⎪⎨⎪⎧
m <0Δ＝m 2
＋4m <0⇒－4<m <0。

所以m 的取值范围为(－4,0]
(2)法一：要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4
m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立。

令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4
m －6，x ∈[1,3]。

当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，则0<m <6
7；
当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，
所以g (x )max ＝g (1)⇒ m －6<0，所以m <6，则m <0。

综上所述：m 的取值范围是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
m ⎪⎪
m <67。

法二：由题意得m (x 2－x ＋1)－6<0， 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4>0， 所以m <6
x 2－x ＋1。

因为函数y ＝6
x 2－x ＋1＝
6⎝⎛
⎭⎫x －122＋34
在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <6
7即可。

所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫m ⎪⎪
m <67。

13．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x|12<x<2.
(1)求实数a 的值；
(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．
14．设函数f(x)＝mx 2－mx －1.
(1)若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1，3]，f(x)<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 【解析】：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0成立；
若m≠0，则⎩
⎪⎨⎪⎧m<0Δ＝m 2
＋4m<0⇒－4<m<0. 所以m 的取值范围为{m|－4<m≤0}．。