数学-华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题

华中师大一附中2022—2023学年度下学期高一期末检测
数学试题
时限：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知i 为虚数单位，则（
）
A.
B. 1
C.
D. i 2. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ）
A. 数据中可能有异常值
B. 这组数据是近似对称的
C. 数据中可能有极端大的值
D. 数据中众数可能和中位数相同
3. 有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率为（ ） A.
B.
C.
D.
4. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转，得到
，则点的横坐标为（ ） A.
B.
C.
D. 1
5.
某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（岁以上含岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（ ）
A. 男性比女性更关注地铁建设
B. 关注地铁建设的女性多数是岁以上
C. 岁以下的男性人数比岁以上的女性人数多
D. 岁以上人对地铁建设关注度更高
()()cos 75isin 75cos15isin15︒+︒︒+︒=1-i -37
67
7
8
7
16
A (OA
O 90︒OB
B 1-353535353535的
6. 已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是（ ）
A. 若，，则．
B. 若，，，，则．
C. 若，，，则．
D. ，，，，，则．
7. 设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（ ）
A.
B.
C. D.
8. 已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan
βαtan β
，则α，β的大小关系是（ ） A α<
<β
B. β<<α
C.
<α<β
D. <β<α
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A. 在复平面内对应的点在第一象限 B.
C. 的共轭复数为
D. 是关于的方程的一个根
10. 对于一个事件E ，用表示事件E 中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间和事件A ，B ，C ，D 中，，
，则（ ）
A. A 与D 不互斥
B. A 与B 互为对立
C. A 与C 相互独立
D. B 与C 相互独立
11. 在一次党建活动中，甲､乙､丙､丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲､乙､丙､丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”是（ ） A. 甲组中位数为2，极差为5 B. 乙组平均数为2，众数为2 C. 丙组平均数为1，方差大于0 D. 丁组平均数为2，方差为3
l m n αβγl α⊥l m ⊥m α∥l αβ= m βγ= n γα=I l m ∥m n ∥αβ⊥l ⊂αm β⊂l m ⊥l ⊂
αl m ⊥l n ⊥m β∥n β∥αβ∥1a = 2b = b a
c a c c b ⋅=⋅
a b a c ⋅>⋅ 2a c ⋅
≤a c a c ⋅=⋅ 1
6
.
4
π
4π4
π
4
π
2
1i
z =
-z Z 22i z =z 1i -+z x 2220x x +=-()n E Ω(Ω)100,()60,()40,()20,()10,()100,()12n n A n B n C n D n A B n A C ======= ()70n A D = 的
12. 如图所示，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点，，以下四个命题中正确的是（ ）
A. 四边形一定为菱形
B. 平面平面
C. 四棱锥
体积为
D. 四边形的周长最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为______.
14. 如图所示，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，
.现有以下命题：
①；
②当点在圆周上由点逐步向点移动过程中，二面角会逐步增大； ③当点在圆周上由点逐步向点移动过程中，三棱锥的体积的最大值为. 其中正确的命题序号为______.
15. 在某次模拟测试中，30名男生的平均分数是70分，样本方差是10；20名女生的平均分数是80分，样本方差是15，则该次模拟考试中这50名同学成绩的平均分为______，方差为______.
16. 在三棱锥中，，，两两垂直，，，为棱上一点，
于点，则当的面积取最大值时，三棱锥的外接球表面积为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知扇形OAB 的半径为1，，P 是圆弧上一点（不与A ，B 重合），过P 作，M ，N 为垂足．
ABCD A B C D -''''E F AA 'CC 'EF BB 'DD 'M N EMFN EMFN ⊥DBB D ''A MENF -16
EMFN ()()()cos 2R f x x x ϕ=+∈2π,03⎛⎫
⎪⎝⎭ϕPA O ABC O AB O 2PA AB ==BC PC ⊥C B A B PC A --C B A B PAC -2
3
V ABC -AB AC AV 4AB AV ==2AC =P AB AH VP ⊥H VHC A VCP -π
3
AOB ∠=
,PM OA PN OB ⊥⊥
（1）若，求PN 的长； （2）设，PM ，PN 的线段之和为y ，求y 的取值范围．
18. 柜子里有3双不同的鞋，记第1双鞋左右脚编号为，，记第2双鞋左右脚编号为，，记第3双鞋左右脚编号为，.如果从中随机取出4只，那么
（1）写出试验的样本空间，并求恰好取到两双鞋的概率；（若取到，，，，则样本点记为
，其余同理记之.）
（2）求事件“取出鞋子中至少有两只左脚，且不能凑两双鞋”的概率.
19. 如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
20. 在平面凸四边形（每个内角都小于）中，，，
.
（1）求四边形的面积；
（
2）若，为边，的中点，求的值.
21. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
1
2
PM =
AOP x ∠=1a 2a 1b 2b 1c 2c Ω1a 1b 1c 2c 1112a b c c M 的111ABC A B C -,E F 11,AA BB 111
3
A E BF AA ==
CEF ⊥11ACC A 2AC AE ==1E CF C --180︒ABCD 180A C ∠+∠=︒2AB AD ==BC =
CD =ABCD M N AB CD ()AB CD MN +⋅
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）当漏诊率％时，求临界值c 和误诊率；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
22. 如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，
，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为45°.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面
线段的长；若不存在，请说明理由.
()p c ()q c ()0.5p c =()q c ()()()f c p c q c =+[]95,105c ∈()f c ()f c []95,1051111ABCD A B C D -1124AB A B ==E F DC BC 1O O 1O O
1BD ∥1C EF BF M 1A M 1C EF BM。