四川省泸县第二中学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题文含解析

四川省泸县第二中学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题
文（含解析）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I 卷选择题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数31i
z i
=+，则复数z 的虚部为（ ） A.
12
B. 12
i
C. 12
-
D. 12
i -
【答案】C 【解析】 【分析】
根据虚数的性质以及复数的乘除法运算法则化简复数z ，根据共轭复数的概念可得其共轭复数，再根据复数的概念可得结果. 【详解】因为3
1i z i =
+(1)11(1)(1)2i i i i i i i +-+===--+1122
i =-+， 所以11
22
z i =--，
所以复数z 的虚部为12
-. 故选：C.
【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题. 2.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间[401,731]的人数为( ) A. 10 B. 11
C. 12
D. 13
【答案】C
【解析】 【分析】
根据系统抽样的特征可知，抽出的号码成等差数列，由题意即可写出通项公式，解不等式即可求出.
【详解】∵9603230÷=，∴每组30人，
∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，
∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为11(1)303019n a n n =+-=-， 由4013019731n ≤-≤，n 为正整数可得1425n ≤≤， ∴编号落入区间[401,731]的人数2514112-+=. 故选：C.
【点睛】本题主要考查系统抽样的特征应用，以及等差数列的通项公式的应用，属于基础题. 3.有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）
A. 残差平方和变小
B. 相关系数r 变小
C. 相关指数2R 变小
D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性
变弱 【答案】A 【解析】 【分析】
由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.
【详解】
∵从散点图可分析得出：
只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.
【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.
4.等比数列{}n a 的前项和为n S ，若1,3,2,S S S 成等差数列，则{}n a 的公比q 等于 A. 1 B.
12
C. -
12
D. 2
【答案】C 【解析】
【详解】因为1,3,2,S S S 成等差数列，
所以123112232311
=+2(202)2
a a a a a a a a S q S S ∴++=++∴+=∴=-，选C 5.函数()2
ln x
f x x x =-
的图象大致为（ ） A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.
当0x >时，()2ln x x f x x =-，()33
2ln 1
'x x f x x
=+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在
()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B.
故选：A
【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.
6.已知2a =，2b =
，且()b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）
A. 1 C. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
设a 和b 的夹角为α，根据已知得cos 2
α=，再求出向量a 在b 方向上的投影. 【详解】设a 和b 的夹角为α， 因为()b a b ⊥-，
所以2
()=22cos 20,cos b a b a b b αα⋅-⋅-=-=∴=
所以向量a 在b 方向上投影为2cos α=故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量投影的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7.已知0>ω，函数()sin()4f x x π
ω=+在(,)2
π
π上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A. 15[,]24
B. 13[,]24
C. 1(0,]2
D. (0,2]
【答案】A 【解析】
【详解】由题意可得,
322,2
2
4
4
2
k k k Z π
π
π
π
π
πωπωπ+≤
+
<+
≤
+∈， ∴
15
42,24
k k k Z ω+≤≤+∈， 0ω>，15
24
ω∴≤≤．故A 正确．
考点：三角函数单调性．
8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D. 若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 试题分析：
m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.
考点：点线面的位置关系.
9.在ABC 中，()3
sin sin 2
B C A -+=，3AC =，则角C =（ ） A.
2
π B. 3
π
C. 6
π或3π D. 6π
【答案】D 【解析】 【分析】
利用正弦定理、三角形内角和定理化简已知条件，求得sin 2C 的值，进而求得C 的大小. 【详解】依题意3AC AB =，即3b c =，由正弦定理得sin 3sin B C =.
由()3sin sin 2
B C A -+=得()()3sin sin 2B C B C -++=，
化简得3
2sin cos 2
B C =
， 即33
23sin cos sin 22C C C =
⇒=
，由于3b c c =>，所以C 为锐角， 即0,022
C C π
π<<<<，所以23
C π
=
或223
C π=
，即6C π
=或3C π=.
当3
C π
=
时3
sin 3sin 12B C ==
>，故3
C π=不符合，舍去. 所以C 的大小为6
π
. 故选：D
【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题. 10.函数()cos
2
x
f x π=与()
g x kx k =-在[]
6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),i i x y （1i =，……，n ），则()1
n
i
i
i x y =+=∑（ ）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
【答案】C 【解析】 【分析】
根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果.
【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0 且()cos 2
x
f x π=在[]
6,8-是关于()1,0对称 如图
通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点
同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称
所以
()9
1
2419i
i
i x y =+=⨯+=∑
故选：C
【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题. 11.已知不等式1ln a
x x a x x e
++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（ ）
A. B. e 2
- C. e - D. 2e -
【答案】C 【解析】 【分析】
将不等式变形,通过构造函数()ln g x x x =-,求导数后,结合函数的单调性即可得解. 【详解】不等式1
ln a x x a x x e
++≥对()1,x ∈+∞恒成立 可变形为1ln a
x x x a x e
≥-+
, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立 设()ln g x x x =- 则()11'1x g x x x
-=-
= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增 当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减 因而()()x a g e
g x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可
当()1,x ∈+∞时, 10,x
e
e -⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)
()0,1a x ∈
因为()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥
只需x a e x -≤
不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x < 化简不等式可得
ln x
a x
-≤ 只需max
ln x a x -⎛⎫
≤
⎪
⎝⎭ 令()ln x
h x x
-=,()1,x ∈+∞ 则()()
21ln 'ln x
h x x -=
,令()'
0h x =
解得x e =
当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln x
h x x -=在()1,e 内单调递增 当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln x
h x x
-=在(),e +∞内单调递减
所以()ln x h x x -=在x e =处取得最大值, ()max ln e
h x e e
-=
=- 故e a -≤ 所以实数a 最小值为e -
故选:C
【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.
12.已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b
：-=>>的一个焦点F 与抛物线2
2:2(0)C y px p =>的焦
点相同，1C 与2C 交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）
C. 2
1
【答案】D 【解析】 【分析】
由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c =
=，不难得到,2p A p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，将其代入双曲线方程化简可得2
2
241c e b
-=，再化简整理可得212e e -=，解之即可得到结果.
【详解】由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c =
=，不妨设交点1,2p A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入2
2y px =可得1y p =，故,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程化简可得22
2
214p p a b
-=，即22
241c e b -=，也即2222
41c e c a
-=-，由此可得()22214e e -=，即2
12e e -=，也即2
(1)2e -=，所以1e =.
所以本题应选D.
【点睛】圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，也是高考和各级各类考试的重要内容和考点，解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，探寻出,22
p
c p c ==，及AF ⊥x 轴等条件，这些都是解答本题的重要条件和前提.解答时，将,2p A p ⎛⎫
⎪⎝⎭
代入双曲线方程化简得到222
214p p a b -=后化简并求出双曲线的离心率仍是一个难点，因为22
241c e b
-=距离求出离心率的目标仍然较远，解这个方程不是很简单，这需引起足够的重视.
第II 卷非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量(,4),(3,2)a m b ==-，且a b ∥，则m =___________. 【答案】6- 【解析】 【分析】
由向量平行的坐标表示得出2430m --⨯=，求解即可得出答案. 【详解】因为a b ∥，所以2430m --⨯=，解得6m =-. 故答案为：6-
【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
14.
已知cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=__________．
【答案】
4
3
【解析】
分析：根据cos θ的值得到tan θ的值，再根据二倍角公式得到tan 2θ的值．
详解：因此cos θ=且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 2θ=-，
所以()()
2
224tan 2312θ⨯-=
=
--，故填43
． 点睛：三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式
111
11+
++
中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1
1x x
+
=
求得x =
=__________．
【解析】 【分析】
()0m m =>，平方可得方程23m m +=，解方程即可得到结果.
()0m m =>
，则两边平方得，得23m += 即23m m +
=，解得：m =
m =
本题正确结果：
113
2
+ 【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.
16.
设1F ，2F 分别是椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C
于A ，B 两点，交y 轴于E 点，若满足112F E AF =，且1260EF F ∠=，则椭圆C 的离心率为______. 【答案】71
- 【解析】 【分析】
采用数形结合，计算1F E 以及1AF ，然后根据椭圆的定义可得2AF ，并使用余弦定理以及
c
e a
=
，可得结果. 【详解】如图
由1260EF F ∠=，所以12cos 60
c
F E c ==
由112F E AF =，所以
111
2
AF F E c == 又122AF AF a +=，则22AF a c =-
所以222
1212
12121
cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠=
所以()()2
2
222cos12022c c a c c c
+--=⋅
化简可得：()2
2
7227c a c a c c =-⇒-=
则
71
71
c a -==
+ 故答案为：
71
3
- 【点睛】本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.
三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分
17.某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一般）；4分（满意）；5分（很满意）.其统计结果如下表（住宿满意度为x ，餐饮满意度为y ）.
（1）求“住宿满意度”分数的平均数；
（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；
（3）为提高对酒店的满意度，现从23x ≤≤且12y 的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率. 【答案】(1)3.16(2)2(3) 4
5
P =. 【解析】 【分析】
（1）求出“住宿满意度”分数的总分，然后除以总人数50，求得平均数.（2）利用方差的计算公式，计算出所求的方差.（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的有
3人，“住宿满意度”为3的有3人，利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概
率. 【详解】（1）
519215315465
3.1650
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
（2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为
12534
35
++++=，
其方差为
()()()()()22222
132353334325
-+-+-+-+-=
（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为,,a b c ，“住宿满意度”为3的3人分别记为,,d e f . 从这6人中抽取2人有如下情况，
()()()()()()()()()()()()()()()
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f ，共15种情况.所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率124
155
P =
=. 【点睛】本小题主要考查平均数的计算，考查方差的计算，考查利用列举法求古典概型问题，属于中档题.
18.已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若36S =,且1a ，2a ，31a +成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2
n
a n n
b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）n a n =.（2）(1)1122n
n n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）根据等差数列公式得到()2
132
12316
a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩，计算得到答案.
（2）12n
n b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，利用分组求和法计算得到答案.
【详解】（1）依题意，得()2
132123
16a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩即()()
2111121336a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得
220d d +-=.
∵0d >，∴1d =，11a =.∴数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+-= 即数列{}n a 的通项公式n a n =. （2）1222n
n
a n n n
b a n n --⎛⎫=+=
+=+ ⎪⎝⎭
，
12n n T b b b =++
+2
11221122n
n ⎛⎫⎛⎫
⎪=+++ +
++⎪⎝⎭
⎝⎭
，
()2
3
1111122222n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++
+++++
+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦11122(1)1212
n
n n ⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-
11122(1)1212
n
n n ⎡⎤
⎛⎫
-⎢⎥
⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+
-(1)1122n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
故(1)1122n
n n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
.
【点睛】本题考查了等差数列通项公式，分组求和法求前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法综合应用.
19.在三棱柱111ABC A B C -中，2,
120AC BC ACB ==∠=︒，D 为11A B 的中点.
（1）证明：1//AC 平面1BC D ；
（2）若11A A AC =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且侧面11A ABB 的面积为23
三棱锥11B A C D -的体积. 【答案】（1）见解析;（2）1
4
. 【解析】
【详解】试题分析：（1）连接1BC 交1BC 于点E ，连接DE .利用中点可得1//DE AC
，所以1//AC 平面1BC D .（2）取AC 中点O ，连接1AO ，过点O 作OF AB ⊥于F ，连接1A F ,利用等腰三角形和射影的概念可知1AO ⊥平面ABC ，所以1
AO AB ⊥，所以AB ⊥平面1AOF ，所以1AB A F ⊥.利用侧面11A ABB 的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱
锥的体积. 试题解析：
（1）证明：连接1BC 交1BC 于点E ，连接DE .
则E 为1BC 的中点，又D 为11A B 的中点，所以1//DE AC ，且DE ⊂平面1BC D ，1
AC ⊄平面1BC D ，则1//AC 平面1BC D .
（2）解：取AC 的中点O ，连接1AO ，过点O 作OF AB ⊥于点F ，连接1A F . 因为点1A 在平面ABC 的射影O 在AC 上，且11A
A AC =， 所以1AO ⊥平面ABC ，∴1AO A
B ⊥，1AO OF O ⋂=，∴AB ⊥平面1
AOF ， 则1A F AB ⊥.
设1
AO=h ，在ABC ∆中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒， ∴23AB =12OF =
，2
114
A F h =+，
由11
A AB
B S ==
1
2
AO h ==. 则1111A BC D B AC D
V V --= 1111
3
BA C D A O S =⨯⨯
11123222
=⨯⨯⨯ 12sin1204⨯⨯︒=.
所以三棱锥11A BC D -的体积为
14
. 20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F ，斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，且8AB =．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点Q （1，1）作直线交抛物线C 于不同于R （1，2）的
两点D 、E ，若直线DR ，ER 分别交直线:22l y x =+于M ，N 两点，求|MN|取最小值时直线DE 的方程． 【答案】（1）24y x =；（2）20x y +-=． 【解析】 【分析】
（1）过点F 且斜率为1的直线方程与抛物线的方程联立，利用8AB =求得p 的值，即可求得抛物线C 的方程；
（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，直线DR 的方程
为1(1)2y k x =-+，由题意求出,M N x x 得值，建立MN 的解析式，再求出MN 的最小值以及直线DE 的方程．
【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2
p
F ， 直线方程为：2
p y x =-
， 代入2
2(0)y px p =>中，消去y 得： 2
2
304
p x px -+=，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有123x x p +=，
由8AB =，得128x x p ++=，即38p p +=，解得2p =，
所以抛物线C 的方程为：24y x =；
（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，如图所示，
由2
(1)1
4x m y y x
=-+⎧⎨
=⎩，消去x ，整理得：244(1)0y my m -+-=， ∴12124,4(1)y y m y y m +==-， 设直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，
由()11222y k x y x ⎧=-+⎨=+⎩，解得点M 的横坐标112M k x k =-，
又k 1=1121y x --=142y +，∴x M =112k k -=-1
2
y ，
同理点N 的横坐标2
2
N x y =-
， 1221212()4y y y y y y +--==421m m -+，
∴|MN|=5|x M -x N |=5|-12y +22
y |=25|2112y y y y -|=285141m m m ⋅-+-=22511
m m m ⋅-+-，
令1,0m t t -=≠，则1m t =+，
∴|MN|=25•22
1
t t t
++=25•211()1t t ++=25•2113()24t ++≥25•34=15，
所以当2t =-，即01x ≠时，|MN|取最小值为15， 此时直线DE 的方程为20x y +-=．
【点睛】
本题主要考查了抛物线线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行
求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
21.已知函数2
1()ln ()2
f x x ax x a R =-
+∈，函数()23g x x =-+. （Ⅰ）判断函数1
()()()2
F x f x ag x =+的单调性；
（Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.
【答案】(1) 故函数()y F x =在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
上单调递减;(2)114. 【解析】 试题分析：
（Ⅰ）根据题意得到()F x 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数()()()()2
1ln 1232
h x f x tg x x ax t x t =+=-
+-+，则有()()1
120h x ax t x
'=
-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求． 试题解析：
（I ）由题意得()()()()2113
ln 1222
F x f x ag x x ax a x a =+
=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()2111
1ax a x F x ax a x x
-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=
. 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<；令()0F x '<，解得1
x a
>. 故函数()y F x =在10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.
综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；
当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1
,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.
（II ）由题意知0t ≥.
()211
1ax x f x ax x x
-+==
'+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增． 不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，
所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤
()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立，
即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立. 记()()()()2
1ln 1232
h x f x tg x x ax t x t =+=-
+-+， 由题意得()h x 在[]
1,2上单调递减. 所以()()1
120h x ax t x
'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()1
12H a xa t x
=-++-，[]2,1a ∈--，
则()()max 1
22120H a H x t x
=-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立.
故max
1212t x x ⎛⎫
-≥+ ⎪⎝⎭， 而1
2y x x
=+
在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为9
2
.
由9212t -≥，解得11
4
t ≥.
故实数t 的最小值为11
4
．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1x t
y t =-+⎧⎨=-⎩
（t 为参数）,以原点O 为极
点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ-,直线l 与曲线C
交于A 、B 两点.
（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若(1,0)P -,求
11AP BP
+的值. 【答案】（1）10x y ++=；22(2)4x y ++=（2
）3
【解析】 【分析】
(1)相加消去参数t 可得直线l 的普通方程,对=4cos ρθ-两边乘以ρ再根据极坐标与,x y 的关系化简可得曲线C 的直角坐标方程.
(2)将直线l 写成过(1,0)P -的标准直线参数方程,再联立圆的方程化简求得关于t 的二次方程,
进而根据t 的几何意义,结合韦达定理求解11
AP BP
+即可. 【详解】（1）因为1x t
y t
=-+⎧⎨=-⎩,相加可得直线的普通方程为10x y ++=,.
又=4cos ρθ-,即2224cos 40x y x ρρθ=-⇒++=,化简可得曲线C 的直角坐标方程
22(2)4x y ++=.
（2
）直线的参数方程可化为12
2x y ⎧=--
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）,
代入曲线()22
24x y ++=
可得2
2
1422t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
化简可得230t -=,
由韦达定理有
1212123,t t t t t t +==--=
=
所以
121211||||3
t t AP BP t t -+== 【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标方程的互化,同时也考查了直线参数的几何意义,属于中档题. [选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f
x x ≤+的解集；
（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212
a b +++的最小值.
【答案】（1）[]0,1（2）
642+ 【解析】
【分析】
（1）作出函数图象，数形结合即可得到答案；
（2）32a b +=⇒9122a b +++=，()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，在乘开，利用基本不等式即可.
【详解】解（1）因为()3,1,12112,1,213,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩
从图可知满足不等式()2f x x ≤+的解集为[]0,1.
（2）由图可知函数()y f x =的最小值为
32，即32m =. 所以32
a b +=，从而9122a b +++=，
从而()()1
1
2
1
21212912a b a b a b ⎛⎫
+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
()
21222339129a b a b ⎡⎡
⎤+⎛
⎫
+=++≥+=⎢⎢⎥ ⎪++⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣
当且仅当()21212a b a b ++=++，即11
14,22a b -==时，等号成立，
∴1
2
12a b +++.
【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.。