2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习：2-8函数与方程含解析

课时规范练
A 组 基础对点练
1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( B )
2．函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( D ) A ．(0,1) B.(1,2) C ．(－2，－1)
D.(－1,0)
3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( C )
A ．1 B.2 C ．3
D.4
4．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( D ) A ．{1,3} B.{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3}
D.{－2－7，1,3}
解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ， 令x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋3x ＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－3x ，
则f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
－3x ，x ≥0，
－x 2－3x ，x <0.
∵g (x )＝f (x )－x ＋3，
∴g (x )＝⎩
⎨⎧
x 2
－4x ＋3，x ≥0，
－x 2－4x ＋3，x <0，
令g (x )＝0，
当x ≥0时，x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，
当x <0时，－x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝－2－7或x ＝－2＋7(舍去)． ∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为{－2－7，1,3}． 故选D.
5．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( A ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内
6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
e x
＋a ，x ≤0，
3x －1，x ＞0
(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值
范围是( D ) A ．(－∞，－1) B.(－∞，0) C ．(－1,0)
D.[－1,0)
7．设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为( C ) A ．[3,5] B.[4,6] C ．(3,5)
D.(4,6)
8．(2017·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|x |＋2，x <1，x ＋2
x
，x ≥1.设a ∈R ，若关于x 的不等式
f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x 2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( A )
A ．[－2,2] B.[－23，2] C ．[－2,23]
D.[－23，23]
解析：根据题意，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|x |＋2，x <1，x ＋2
x
，x ≥1的大致图象如图：
令g (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
x 2＋a ，其图象与x 轴相交与点(－2a,0)，
在区间(－∞，－2a )上为减函数，在(－2a ，＋∞)为增函数，
若不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x 2＋a 在R 上恒成立，则函数f (x )的图象在g (x )图象的上方或相交，
则必有f (0)≥g (0)， 即2≥|a |，
解得－2≤a ≤2，故选A.
9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋2x ，x ≤0，
|lg x |，x ＞0，
则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( C )
A ．1 B.2 C ．3
D.4
10．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝__12__.
11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为 －12 .
12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－2，x >0，
－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋
x 的零点个数为__3__.
13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 2(x ＋1)，x >0，
－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的
取值范围是__(0,1)__．
B 组 能力提升练
1．(2018·北京市西城区一模)函数f (x )＝2x ＋log 2|x |的零点个数为( C ) A ．0 B.1 C ．2
D.3
解析：函数f (x )＝2x ＋log 2|x |的零点个数，
即为函数 y ＝－2x 的图象和函数y ＝log 2|x |的图象的交点个数．如图所示：
数形结合可得，函数 y ＝－2x 的图象和函数y ＝log 2|x |的图象的交点个数为2，故选C. 2．设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( A ) A ．g (a )＜0＜f (b ) B.f (b )＜0＜g (a ) C ．0＜g (a )＜f (b ) D.f (b )＜g (a )＜0
解析：∵f (x )＝e x ＋x －2， ∴f ′(x )＝e x ＋1＞0， 则f (x )在R 上为增函数，
且f (0)＝e 0－2＜0，f (1)＝e －1＞0， 又f (a )＝0，∴0＜a ＜1. ∵g (x )＝ln x ＋x 2－3，
∴g ′(x )＝1
x ＋2x .当x ∈(0，＋∞)时， g ′(x )＞0，得g (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又g (1)＝ln 1－2＝－2＜0， g (2)＝ln 2＋1＞0，且g (b )＝0， ∴1＜b ＜2，即a ＜b ， ∴⎩⎨⎧
f (b )＞f (a )＝0，
g (a )＜g (b )＝0.
故选A. 3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2－|x |，x ≤2，
(x －2)2
，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( D ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 解析：函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )
＋f (2－x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋x ＋2，x <0，
2，0≤x ≤2，
x 2－5x ＋8，x >2，
作出该函数的图象如图所示，由图可得，当7
4<b <2时，
直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个交点，故选D.
4．若函数e x f (x )(e ＝2.71828…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( A ) A ．f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C ．f (x )＝3－x
D.f (x )＝cos x
解析：对于A ，令g (x )＝e x ·2－x ，g ′(x )＝e x ⎝⎛ 2－x
＋
⎭⎪⎫2－x ln 12＝e x 2－x ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋ln 12>0，则g (x )
在R 上单调递增，故f (x )具有M 性质，故选A.
5．(2018·哈师大模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2
，函数g (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
lg x ，x ＞0，
0，x ＝0，
－1x ，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个
数是( C ) A ．5 B.7 C ．8
D.10
解析：依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，5]内的零点个数是8.
6．已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( A ) A.1
e ＜x 1x 2＜1 B.1＜x 1x 2＜e C ．1＜x 1x 2＜10
D.e ＜x 1x 2＜10
解析：在同一直角坐标系中画出函数y ＝e
－x
与y ＝|ln x |的图象，结合图象不难看出，在
x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有
＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，
＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，
－＝ln x 2
＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈(－1,0)，于是有e －1
＜x 1x 2＜e 0
，即1
e ＜x 1x 2＜1，故选A.
7．设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 0＋12＜33，则这样的零点有( C )
A ．61个 B.63个 C ．65个
D.67个
解析：依题意，由f (x 0)＝sin πx 0＝0得，πx 0＝k π，k ∈Z ，即x 0＝k ，k ∈Z .当k 是奇数时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin π⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝－1，|x 0|＋f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 0＋12＝|k |－1＜33，|k |＜34，满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin π⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝1，|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫x 0＋12＝|k |＋1＜33，|k |＜32，满足这样条件的偶数k 共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65(个)，选C.
8．已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当－1≤x ＜0时，f (x )＝－log 12(－x )，则方程f (x )－1
2＝0在(0,6)内的所有根之和为( C ) A ．8 B.10 C ．12
D.16
解析：∵奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x )，即f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴f (x )是周期函数，其周期T ＝4.又当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－log 1
2(－x )，故f (x )在(0,6)上的函数图象如图所示．
由图可知方程f (x )－1
2＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋10＝12，故选C.
9．(2017·高考山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧
x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( C )
A ．2 B.4 C ．6
D.8
解析：由x ≥1时f (x )＝2(x －1)是增函数可知，若a ≥1，则f (a )≠f (a ＋1)，所以0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6，故选C.
10．(2018·衡水期中)若a ＞1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1
n
的最小值为__1__.
解析：设F (x )＝a x ，G (x )＝log a x ，h (x )＝4－x ，则h (x )与F (x )，G (x )的交点A ，B 的横坐标分别为m ，n (m ＞0，n ＞0)．
因为h (x )，F (x )，G (x )关于直线y ＝x 对称， 所以A ，B 两点关于直线y ＝x 对称．
又因为y ＝x 和h (x )＝4－x 交点的横坐标为2， 所以m ＋n ＝4.
又m ＞0，n ＞0，所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·m ＋n
4
＝14⎝ ⎛
⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝
⎛⎭
⎪⎫
2＋2
n m ×m n ＝1. 当且仅当n m ＝m
n ，即m ＝n ＝2时等号成立． 所以1m ＋1
n 的最小值为1.
11．(2016·高考山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
|x |，x ≤m ，
x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，
使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是__(3，＋∞)__． 解析：
f (x )的图象如图所示，
若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2＜m ，解之得m ＞3或m ＜0，又m ＞0，所以m ＞3.
12．函数f (x )＝4cos 2 x 2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为__2__.
解析：因为f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|
＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，所以函数f (x )的零点个数为函数y ＝sin 2x 与y ＝|ln(x ＋1)|图象的交点的个数．函数y ＝sin 2x 与y ＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．
13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
1－|x ＋1|，x ＜1，
x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为__2__.
解析：由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0得，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1，作出y ＝f (x )，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12|x |－1的图象，由图象
可知共有2个交点，故函数的零点个数为2.。