2019年北京市东城区中考数学一模试卷含答案解析

2019年北京市东城区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．数据显示，2019年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）
A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×108
2．下列运算中，正确的是（）
A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y2
3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）
A．B．C．D．
4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）
A．52°B．38°C．42°D．60°
6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）
A．29米B．58米C．60米D．116米
7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）
A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）
8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）
A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣3
9．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．C．
D．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．分解因式：ab2﹣ac2=______．
12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是______．
13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是______边形．
14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是______．
15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”
译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数
为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”
设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为______．
16．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：
甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．
请你判断哪位同学的作法正确______；
这位同学作图的依据是______．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．
18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．
21．列方程或方程组解应用题：
在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批
所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多
少元？
22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例
函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．
（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．
24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8“”
（1）求出本次随机抽取的学生总人数；
（2）分别求出统计表中的x，y的值；
（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．
25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．
26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．
定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．
小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是______；
（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；
（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．
27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．
28．如图，等边△ABC ，其边长为1，D 是BC 中点，点E ，F 分别位于AB ，AC 边上，且∠EDF=120°．
（1）直接写出DE 与DF 的数量关系；
（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）
（3）思考：AE +AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．
29．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线．
（1）当⊙O 的半径为1时，
①分别判断在点D （，），E （0，﹣），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有______； ②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；
③点P 在直线y=﹣x +3上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围；
（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=﹣与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．
2019年北京市东城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．数据显示，2019年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）
A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：51 660 000用科学记数法表示应为5.166×107，
故选A．
2．下列运算中，正确的是（）
A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y2
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘；同底数幂的除法底数不变指数相减；差的平方等于平方和减积的二倍；可得答案．
【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；
B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；
D、差的平方等于平方和减积的二倍，故D错误；
故选：C．
3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】根据有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，其中奇数有1，3，5，共3个，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵共有5个数字，奇数有3个，
∴抽出的数字是奇数的概率是．
故选C．
4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示
A．甲B．乙C．丙D．丁
【考点】方差．
【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布越稳定进行比较即可．
【解答】解：∵0.019＜0.022＜0.030＜0.121，
∴乙的方差最小，
∴这四人中乙发挥最稳定，
故选：B
5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）
A．52°B．38°C．42°D．60°
【考点】平行线的性质．
【分析】先求出∠3，再由平行线的性质可得∠1．
【解答】解：如图：
∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），
∴∠1=90°﹣∠3=52°，
故选A．
6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）
A．29米B．58米C．60米D．116米
【考点】全等三角形的应用．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
【解答】解：在△ABC和△DEC中，
，
△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=DE=58米，
故选：B．
7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）
A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，2），即（2，2），
则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2），
故选D．
8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）
A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣3
【考点】配方法的应用．
【分析】利用完全平方公式进行变形即可．
【解答】解：2a2﹣4a﹣1，
=2（a2﹣2a+1）﹣3，
=2（a﹣1）2﹣3．
故选：D．
9．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】设小张同学应该买的球拍的个数为x个，利用购买金额不超过200元得到20×1.5+25x≤200，然后解不等式后求出不等式的最大整数解即可．
【解答】解：设小张同学应该买的球拍的个数为x个，
根据题意得20×1.5+25x≤200，
解得x≤6.8，
所以x的最大整数值为6，
所以小张同学应该买的球拍的个数是6个．
故选B．
10．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，
由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，
∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOD=180°，
∴∠DAO=90°，
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠OAB=∠DAC，
在△OAB和△DAC中，
，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB=CD，
∴CD=x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y=x+1．
故选A．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．分解因式：ab2﹣ac2=a（b+c）（b﹣c）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=a（b2﹣c2）=a（b+c）（b﹣c），
故答案为：a（b+c）（b﹣c）
12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是y=x﹣1（答案不唯一）．．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】首先根据函数经过的象限确定比例系数的符号，然后根据其与y轴的交点确定答案即可．
【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，
∴设一次函数的解析式为y=x+b，
∵经过点（0，﹣1），
∴b=﹣1，
∴解析式为y=x﹣1，
故答案为：y=x﹣1（答案不唯一）．
13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是五边形．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】任何多边形的外角和是360°．用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．
【解答】解：360÷72=5．
故这个多边形是五边形．
故答案为：五．
14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是70千米/时．
【考点】众数；条形统计图．
【分析】根据众数是出现次数最多的数直接写出答案即可；
【解答】解：70千米/时是出现次数最多的，故众数是70千米/时，
故答案为：70千米/时．
15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”
译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数
为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”
设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50元，乙的钱
+甲所有钱的=50元，据此可列方程组．
【解答】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，
根据题意，可列方程组：，
故答案为：．
16．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：
甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．
请你判断哪位同学的作法正确丁同学；
这位同学作图的依据是垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】分别利用线段垂直平分线的性质结合圆的性质分析得出答案．
【解答】解：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．
无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；
乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．
无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；
丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．
无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；
丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点，
可得：AP=BP，则PA+PC=BC．
故答案为：丁；垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1
=+2﹣﹣1﹣2
=﹣1．
18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2（x﹣2）≤3（x﹣1），得：x≥﹣1，
解不等式，得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
不等式组的解集在数轴上的表示如下：
19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=x2+2x+1﹣2x2﹣x=﹣x2+x+1，
由x2﹣x﹣3=0，得到x2﹣x=3，
则原式=﹣3+1=﹣2．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=70°，由角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD=35°，根据平行线的性质得到∠E=∠EAB=35°，于是得到结论．
【解答】解：∠EAC=75°，
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=35°，
∵AE∥BD，
∴∠E=∠EAB=35°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°．
21．列方程或方程组解应用题：
在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批
所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多
少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】可设第二批鲜花每盒的进价是x元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一
批所购鲜花的，列出方程求解即可．
【解答】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有
=×，
解得x=120，
经检验：x=120是原方程的解，
答：第二批鲜花每盒的进价是120元．
22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质；作图—基本作图．
【分析】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得，AB=AF，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质可得∠FAE=∠AEB，然后证明AF=BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB=AF可得四边形ABEF为菱形；
（2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的
长，进而可得AE的长．
【解答】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=FA，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形；
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，AO==4，
∴AE=2AO=8．
23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例
函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．
（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，得出关于k2的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）分两种情况考虑：①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式；
②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式．
【解答】解：（1）将点A（3，1）代入到y=中，得1=，
解得：k2=3．
故反比例函数的解析式为y=．
（2）符合题意有两种情况：
①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，如图1所示．
∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），
∴点C的坐标为（0，﹣2）．
则有，解得：．
∴直线的解析式为y=x﹣2．
②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，如图2所示．
∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），
∴点C的坐标为（0，2）．
则有，解得：．
∴直线的解析式为y=﹣x+2．
24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8“”
请根据以上信息回答下列问题：
（1）求出本次随机抽取的学生总人数；
（2）分别求出统计表中的x，y的值；
（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．
【考点】扇形统计图；用样本估计总体．
【分析】（1）根据题意当3≤n＜5时为“一般”可知一般档次人数为6+7，结合其所占百分比为26%，相除可得总人数；
（2）由良好档次的百分比及总人数可得良好档次的人数，减去阅读本数为5、7的人数可得x的值，将总人数减去其余各项人数可得y的值；
（3）根据样本中优秀档次所占百分比乘以九年级总人数可得．
【解答】解：（1）由表知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，
故被调查的学生数是13÷26%=50（人）；
（2）被调查的学生中“良好”档次的人数为50×60%=30（人），
∴x=30﹣（12+7）=11（人），
y=50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3（人）；
（3）由样本数据可知：“优秀”档次所占的百分比为×100%=8%，
∴估计九年级400名学生中优秀档次的人数为：400×8%=32（人）．
25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．
【考点】切线的判定与性质．
【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；
（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴∠OBP=∠E=90°，
∵OB为圆的半径，
∴PB为圆O的切线；
（2）解：在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，
根据勾股定理得：PD==5，
∵PD与PB都为圆的切线，
∴PC=PB=3，
∴DC=PD﹣PC=5﹣3=2，
在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=4﹣r，
根据勾股定理得：（4﹣r）2=r2+22，
解得：r=，
∴OP==，
∵∠E=∠PCO，∠CPO=∠CPO，
∴△DEP∽△OBP，
∴，
∴DE=．
26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．
定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．
小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是菱形；
（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；
（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据筝形的定义解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质证明；
（3）连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵菱形的四条边相等，
∴菱形是筝形，
故答案为：菱形；
（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等．
已知：四边形ABCD是筝形，
求证：∠B=∠D，
证明：如图1，连接AC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B=∠D；
（3）如图2，连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，
∵∠ABC=120°，
∴∠EBC=60°，又BC=2，
∴CE=BC×sin∠EBC=，
∴S△ABC=AB×CE=2，
∵△ABC≌△ADC，
∴筝形ABCD的面积=2S△ABC=4．
27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，直接计算即可；
（2）根据求根公式，求出两根，由抛物线与x轴的两个交点的横坐标都为正整数，求出m 的值，可得抛物线解析式；
（3）画出图象，找到当y1=y2时，a的值，根据图象，直接判断即可．
【解答】解：（1）由题意可知，△=b2﹣4ac=（3m+1）2﹣4m×3=（3m﹣1）2＞0，
解得m≠，
∵mx2+（3m+1）x+3=0是一元二次方程，
∴m≠0，。