天津市第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

天津市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题
一、单选题
1．设1z i =+（i 为虚数单位），则 2
2
z z
+
=（ ） A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i + D. 1i -
2．曲线2
x y e =在点()
2
4,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A. 2e
B. 24e
C. 22e
D. 292
e 3．下列函数中，在()0,+∞上为增函数的是（ ）
A. ()sin?2f x x =
B. ()ln f x x x =-+
C. ()3
f x x x =- D. ()x
f x xe =
4．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x <'，且()02f =，则不等
式
()2x
f x e >的解集为（ ）
A. (),0-∞
B. ()0,+∞
C. (),2-∞
D. ()2,+∞ 5．用数学归纳法证明“111
12321
n n +
++⋯+<- *1n N n ∈（，＞）”时，由1n k k =（＞）不等式成立，推
证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ） A. 1
2
k - B. 21k
- C. 2k D. 21k
+
6．已知函数()x
e f x mx x
=- (e 为自然对数的底数)，若()0f x >在()0,+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A. (),2-∞
B. (),e -∞
C. 2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D. 2,4e ⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
7．若点P 是曲线2
ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为（ ）
2
8．设函数 ()2
ln f x x ax bx =++，若 1x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. (),1-∞ C. [)1,+∞ D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
9．函数()3
2
f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示,则2212x x +等于（ ）
A.
89 B. 109 C. 169 D. 289
10．已知(){|0}M f
αα==, (){|0}N g ββ==,若存在M α∈， N β∈，使得n αβ
-<，则称函
数 ()f x 与 ()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x
f x -=-与()2x
g x x ae =-互为“1 度零点函数”，
则实数a 的取值范围为（ ） A. 3294,e e ⎛⎤
⎥
⎝⎦ B. 214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 242,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 3349,e e ⎛⎤
⎥⎝⎦
二、填空题
11．已知函数 ()()()2
1221f x f x x f =++'，则 ()2f '的值为__________．
12．曲线 2
y x
=
与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为__________． 13．设m R ∈，若函数 ,x y e mx x R =+∈有大于零的极值点，则m 的范围为__________． 14．对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解式：
2213=+， 2313+5=+， 241357=+++， L ； 3235=+， 337911=++， L ； 4279=+，
L ；按此规律， 45 的分解式中的第三个数为__________．
15．已知函数 ()4
3
2
2f x x ax x b =+++（ x R ∈），其中,a b R ∈．若函数()f x 仅在0x =处有极值，
a 的取值范围为__________．
16．设函数 ()221e x f x x +=， ()2x e x
g x e =，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121
g x f x k k ≤+恒成立，
则正数k 的取值范围是__________．
三、解答题
17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--， *
n N ∈ ，且13a =.
（Ⅰ）求2a 、3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式
18．已知函数()1ln x
f x x ax
-=
+ （Ⅰ）若函数()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上为增函数，求正实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若关于x 的方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内恰有两个相异的实根，求实数m 的取值范围．
19．已知定义在正实数集上的函数()2
122
f x x ax =
+， ()23ln g x a x b =+，其中20a >.设两曲线()y f x =, ()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同
（Ⅰ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （Ⅱ）0x >时，求证： ()()f x g x ≥
20．已知函数()()2
ln 1f x ax x =++．
（Ⅰ）当1
4
a =-
时，求函数 ()f x 的单调区间； （Ⅱ）当[
)0,x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． （Ⅲ）求证： ()()
124821+1+1+1+2335592121n n n
e -⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅⋅< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
┄（*n N ∈， e 是自然对数的底数）.
数学（理）试题答案
一、单选题
1．设1z i =+（i 为虚数单位），则 2
2
z z
+
=（ ） A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i + D. 1i - 【答案】C
【解析】分析：把1z i =+ 代入，利用复数的四则运算法则计算即可.
详解： ()()22
2212111z i i i i z i
+
=++=+-=++，故选C. 点睛：本题考查复数的计算，属于基础题.
2．曲线2
x y e =在点()
2
4,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A. 2e
B. 24e
C. 2
2e D.
292
e 【答案】A
【解析】分析：求出函数的导数后再求切线的斜率，从而求出切线方程，再求该切线的横截距和纵截距可得三角形的面积.
详解： 21'2x y e =，所以2
12k e =，
切线方程为： ()2
2142y e e x -=
-即221
2
y e x e =-. 令0x =，则2
y e =-； 令0y =，则2x =，故面积为
221
22
e e ⨯⨯=，故选A. 点睛：本题考查曲线在某点处切线的求法，属于基础题. 3．下列函数中，在()0,+∞上为增函数的是（ ）
A. ()sin?2f x x =
B. ()ln f x x x =-+
C. ()3
f x x x =- D. ()x
f x xe =
【答案】D
【解析】分析：考虑4个函数在()0,+∞上的导数的符号即可.
详解：对于A 中的函数，有()'2cos2f x x =，当()0,x ∈+∞时， ()f x 的符号有正有负，故()f x 在()0,+∞上不是增函数； 对于B ， ()11'1x
f x x x
-=
-=，当()1,x ∈+∞时， ()'0f x <，故()f x 在()0,+∞上不是增函数；
对于C ， ()2
'31f x x =-=，当x ⎛∈ ⎝⎭
时， ()'0f x <，故()f x 在()0,+∞上不是增函数； 对于D ， ()()'1x
f x x e =+，当()0,x ∈+∞时， ()'0f x >，故()f x 在()0,+∞上是增函数；
故选D.
点睛：如果在区间(),a b 内，有()'0f x >，则()f x 在(),a b 上为单调增函数；如果在区间(),a b 内，有
()'0f x <，则()f x 在(),a b 上为单调减函数.反之，若()f x 在(),a b 上为单调增函数，则()'0f x ≥；
若()f x 在(),a b 上为单调减函数，则()'0f x ≤.
4．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x <'，且()02f =，则不等
式
()2x
f x e >的解集为（ ）
A. (),0-∞
B. ()0,+∞
C. (),2-∞
D. ()2,+∞ 【答案】B
【解析】分析：构建新函数()()x
f x F x e =
，由()'0F x >得到()F x 为R 上的增函数，结合()02F =得
到不等式()2F x >的解集为()0,+∞ . 详解：令()()x
f x F x e
=
，则()()()
''0x
f x f x F x e
-=
>，从而()F x 为R 上的单调增函数，有()02F =，
而
()2x
f x e >即为()2F x >，从而其解集为()0,+∞，故选B.
点睛：注意依据原函数与其导函数的关系构建合适的新函数，再利用导数讨论该函数的单调性，从而求出
不等式的解集.
5．用数学归纳法证明“111
12321
n n +
++⋯+<- *1n N n ∈（，＞）”时，由1n k k =（＞）不等式成立，推
证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ） A. 1
2
k - B. 21k
- C. 2k D. 21k
+
【答案】C
【解析】分析：数学归纳法证明该命题时，归纳假设为“设当n k =时， 11
1
123
21
k k ++++
<- ”，而要归纳证明的结论是：“11111123
21
k k ++
+++
<+-”，所以增加的项数为121212k k k +--+=.
详解：推证1n k =+时，要证明的结论为
1111111
11
1123
21221
2221
k k k k k k +++
+++
++++
+<+-+--，
从而增加的项数为1
2
1212k k k +--+=，故选C.
点睛：在数学归纳法的证明中，我们要关注从归纳假设到归纳证明的不等式之间的变化特点，必要时可写出数列和的末两项或末三项，便于看出规律.
6．已知函数()x
e f x mx x
=- (e 为自然对数的底数)，若()0f x >在()0,+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A. (),2-∞
B. (),e -∞
C. 2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D. 2,4e ⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
【答案】D
【解析】分析：不等式0x e mx x ->在()0,+∞上恒成立等价于2x
e m x
<在()0,+∞上恒成立，可利用导数求()2x
e g x x
=在()0,+∞上的函数的最小值.
详解：因为0x e mx x ->在()0,+∞上恒成立，故在()0,+∞上不等式2x
e m x <总成立， 令()2x
e g x x =，则()()3
2'x e x g x x -=.
当()0,2x ∈时， ()'0g x <，故()g x 在()0,2上为减函数； 当()2,x ∈+∞时， ()'0g x >，故()g x 在()2,+∞上为增函数； 所以()()2min
24e g x g ==，故2
4
e m <，故选D.
点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值. 7．若点P 是曲线2
ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为（ ）
【答案】B
【解析】分析：可设()00,P x y 且P 到直线的距离最小，则曲线在该点处的切线必与已知直线平行，从而可求0x 及点P 到已知直线的距离.
详解：设()00,P x y 且P 到直线的距离最小， 又1'2y x x =-
，令1
21x x
-=，则1x =，故()1,1P .
此时P 到直线20x y --== B.
点睛：曲线上的动点到定直线的最小距离可转化为曲线某点处的切线与已知直线平行的问题.
8．设函数 ()2
ln f x x ax bx =++，若 1x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 1,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. (),1-∞ C. [)1,+∞ D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】A
【解析】分析：先求出()221
'ax bx f x x
++= ，根据()f x 在1x =处取极大值得到221y ax bx =++有零
点1x =且在1x =的左侧附近为0y >，在1x =的右侧附近0y <.分0,0,0a a a =><三种情况讨论即可得到a 的取值范围.
详解： ()2121
'2ax bx f x ax b x x
++=++= ，
因为()f x 在1x =处取极大值，故()'10f =且()'f x 在1x =的左侧附近为正，在1x =的右侧附近为负. 当0a =时， 1b =-，此时()1'x
f x x
-=， 当()0,1x ∈时， ()'0f x >， 当()1,x ∈+∞时， ()'0f x < 故()f x 在1x =处取极大值.
当0a >时， 1x =应为2
210ax bx ++=的较小的正根，故
112a >，故102
a <<； 当0a <时， 2
210ax bx ++=有一个正根和负根，因对应的二次函数开口向下，故正跟为1x =即可，故
0a <时，总存在b 使得1x =为()f x 的极大值点.
综上， a 的取值范围为1,
2⎛⎫
-∞ ⎪⎝⎭
，故选A. 点睛：对于(),a b 上的可导函数()y f x =，
（1）若在()()00,x x x a b =∈处取极大值，则()0'0f x =且()'f x 在0x x =的左侧附近为正，在0x x =的右侧附近为负；
（2）若在()(
)
00,x x x a b =∈处取极小值，则()0'0f x =且()'f x 在0x x =的左侧附近为负，在0x x =的右侧附近为正.
9．函数()3
2
f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示,则2212x x +等于（ ）
A.
89 B. 109 C. 169 D. 289
【答案】C
【解析】分析：根据函数的图像可以得到函数的三个不同的零点及12,x x 为函数的两个不同的极值点，前者
可以得到函数的解析式，后者为函数的导数的零点，从而利用韦达定理求出2212
x x +的值. 详解：由图像可知()0f x =有三个实数解，分别为1,0,2-，
故()()()3
2
122f x x x x x x x =+-=--，所以()2
'322f x x x =--.
注意到12,x x 为()f x 的极值点，故它们也是()'0f x =的两个根.
又()2
22
1212124416
2939
x x x x x x +=+-=
+=，故C. 点睛：题设中的函数图像隐含了函数的零点及其函数的极值点，解题时注意扑捉这些有用的信息.另外，当我们知道函数的零点后，可以类比二次函数的双根式得到三次函数的解析式的形式. 10．已知(){|0}M f
αα==, (){|0}N g ββ==,若存在M α∈， N β∈，使得n αβ
-<，则称函
数 ()f x 与 ()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x
f x -=-与()2x
g x x ae =-互为“1 度零点函数”，
则实数a 的取值范围为（ ） A. 3294,e e ⎛⎤
⎥⎝⎦ B. 214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 242,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 3349,e e ⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】B
【解析】分析： 详解： {}2M =，所以
21β-<， 13β<<，
故()2
x
g x x ae =-在()1,3内存在零点，也就是2x a x e -=在()1,3内存在零点.
令()2x
h x x e -= ，故()()
2'2x
h x x x e -=-.
当()1,2x ∈时， ()'0h x >， ()h x 在()1,2上为增函数； 当()2,3x ∈时， ()'0h x <， ()h x 在()2,3上为减函数， 故()h x 在()1,3上的值域为214,
e e ⎛⎤
⎥
⎝⎦
，故选B. 点睛：本题为导数中的新定义题，其本质为含参数的函数在确定的范围上存在零点，可利用参变分离把零点问题转化为不含参数的函数的值域问题.
二、填空题
11．已知函数 ()()()2
1221f x f x x f =++'，则 ()2f '的值为__________．
【答案】-6
【解析】分析：函数表达式中有两个参数()()1,'1f f ，因此需要构建()()1,'1f f 的方程组求出它们的值后才能求()'2f 的值．
详解：令1x =，则()()1'12f f +=-①．
又()()'2'12f x f x =+，故令1x =得()'12f =-，
由①得()10f =，故()2
22f x x x =-+， ()'42f x x =-+，所以()'26f =-．
填6-．
点睛：本题考查函数解析式的求法，因原函数中含有特定导数值，故常利用导函数构建与特定导数值相关的方程或方程组，解出它们的值即可．
12．曲线 2
y x
=
与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为__________． 【答案】42ln2-
【解析】分析：封闭图形为两个曲边梯形的面积之差，故可以利用定积分求它的面积．
详解：令2
1x x
-=
，解得1x =-（舎）或2x =．如图， 所求面积为()4
242221
12ln |42ln22x dx x x x x ⎡⎤--=--=-⎢⎥⎣
⎦⎰
．
点睛：曲边梯形的面积可由定积分求出，这类问题是基础题．
13．设m R ∈，若函数 ,x y e mx x R =+∈有大于零的极值点，则m 的范围为__________．
【答案】1m <-
【解析】分析：若函数有大于零的极值点，则导函数有大于零的零点，从而可以求出实数m 的取值范围．
详解： 'x y e m =+，令'0y =，则方程0x e m +=有正根，即x
m e -=．
又,0x y e x =>的值域为()1,+∞，故1m ->即1m <-．填1m <-．
点睛：若函数()y f x =在(),a b 内可导，且在()()
00,x x x a b =∈取极值，则()0'0f x =，反之，若
()0'0f x =，则0x x =未必是()y f x =的极值点．
14．对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解式：
2213=+， 2313+5=+， 241357=+++， L ； 3235=+， 337911=++， L ； 4279=+，
L ；按此规律， 45 的分解式中的第三个数为__________．
【答案】125
【解析】分析：从题设的条件可以看出， 2n 是n 个连续奇数的和， 3n 是从n 个连续奇数的和，故4n 也是n 个连续奇数的和．
详解：令4
52121232527k k k k k =-++++++++，则6251015k =+，故61k =，
从而4
5121123125127129=++++，其分解式中的第三个数为125，填125．
点睛：本题考查合情推理，属于基础题，解题的关键是从特殊情况归纳出一般结论．
15．已知函数 ()4
3
2
2f x x ax x b =+++（ x R ∈），其中,a b R ∈．若函数()f x 仅在0x =处有极值，
a 的取值范围为__________．
【答案】88,33
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】分析：导函数()()
2
'434f x x x ax =++，因此代数式2434x ax ++在R 上为非负，利用判别式
非正得到实数a 的取值范围．
详解： ()()
322
'434434f x x ax x x x ax =++=++，
因为()f x 仅在0x =取极值，故24340x ax ++≥对任意的x R ∈恒成立， 故29640a ∆=-≤，解得88,33a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，填88,33
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
．
点睛：函数的导函数为()()',f x xg x x R =∈，该函数仅在0x =处取极值的充要条件是()g x 在R 上恒非负或恒非正．
16．设函数 ()221e x f x x +=， ()2x e x
g x e =，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121
g x f x k k ≤+恒成立，
则正数k 的取值范围是__________．
【答案】1k ≥
【解析】分析：因任意()12,0,x x ∈+∞，总有
()()121
g x f x k
k ≤
+，所以
()()max
min 1
g x f x k
k ≤
+，可利用基本不
等式和导数分别求出()()min max f x g x ， ，从而解出k 的范围．
详解：因为在()0,+∞上， ()2
1'2f x e x e x =+
≥， 当且仅当1
x e
=等号成立， 故()f x 在()0,+∞的最小值为2e ． 又()()21'x
e x g x e -=
，则
当()0,1x ∈时， ()'0g x >，故()g x 在()0,1为增函数； 当()1,x ∈+∞时， ()'0g x <，故()g x 在()1,+∞为减函数， 故()()max 1g x g e ==． 因任意()12,0,x x ∈+∞，总有
()()121
g x f x k
k ≤
+，所以
()()max
min 1
g x f x k
k ≤
+，
故2{ 10
e e k k k ≤
+>，解得1k ≥， 填1k ≥．
点睛：（1）任意[][]
12,,,x a b x m n ∈∈，总有()()12g x f x ≤，所以()()max min g x f x ≤； （2）任意[]1,,x a b ∈存在[]2,x m n ∈，使得()()12g x f x ≤成立，所以()()max max g x f x ≤； （3）存在[
]
1,,x a b ∈存在[
]
2,x m n ∈，使得()()12g x f x ≤成立，所以()()min max g x f x ≤．
三、解答题
17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--， *
n N ∈ ，且13a =.
（Ⅰ）求2a 、3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式
【答案】（Ⅰ）25a =， 37a =; （Ⅱ）见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）分别令1,2n n ==就可以求得25a =， 37a =. （Ⅱ）根据（Ⅰ）猜测21n a n =+，利用数学归纳可证明该猜测. 详解：(Ⅰ) 25a =， 37a =. （Ⅱ）由题意得13222
n n S n
a n +=
++， 由（1）知13a =， 25a =， 37a =，猜想21n a n =+，则数列{}n a 为等差数列， ①假设当1,2,
n =， ()
*
k k N ∈时，猜想成立，即()211,2,3,
,i a i i k =+=，则有
()()
()132122
2
k k k a a k k S k k +++=
=
=+，
②当1n k =+时，有()()123322232112222
k k k k S k
k a k k k k ++=
++=++=+=++， 这说明当1n k =+时，猜想也成立，
结合①②，由归纳原理知，对任意*
n N ∈， 21n a n =+.
点睛：与自然数有关的问题，可以用数学归纳法，在归纳假设中，我们一般设当n k =时，命题()P k 成立，也可以假设0n n k ≤≤时，命题()P n 成立，然后再证明1n k =+， ()1P k +也成立.
18．已知函数()1ln x
f x x ax
-=
+ （Ⅰ）若函数()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上为增函数，求正实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若关于x 的方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1
,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内恰有两个相异的实根，求实数m 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）2a ≥;（Ⅱ）13{|
ln2}22
e m m --<≤. 【解析】分析：（Ⅰ）先求出函数()
f x 的增区间为1
,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
应为其子集，故可求实数a 的范围.
（Ⅱ）方程在1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个实数根可以转化为直线y m =与函数()1ln 2x
g x x x -=+的图像有两个不同的交点，利用导数刻画()g x 的图像后可以得到实数m 的取值范围. 详解：（Ⅰ） ()22
111
ax f x x ax ax ='-=
-， 因为a 为正实数，由定义域知0x >，所以函数的单调递增区间为1
,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 因为函数()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上为增函数，所以11
02
a <
≤，所以2a ≥. （Ⅱ）因为方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内恰有两个相异的实根，故
方程
1ln 02x x m x -+-=在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根即 方程
1ln 2x x m x -+=在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内恰有两个相异的实根. 令()1ln 2x g x x x -=+，则()221121
22x g x x x x
-=-+='， 当11,
2x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0g x < ， ()g x 在11,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为减函数； 当1,2x e ⎛⎫∈
⎪⎝⎭时， ()'0g x > ， ()g x 在1,2e ⎛⎫
⎪⎝⎭
为增函数.
()111ln 10222e e e
g e e e e e --+=
+=+=> 111112ln ln20122222g -⎛⎫=
+=-< ⎪⎝⎭⨯ ()111113ln 101222e e e g g e e e e ---⎛⎫=
+=-=<< ⎪⎝⎭⨯ ()y g x =的图像如图所示：
要使函数()1ln 2x g x x x -=
+的图象与函数y m =的图象在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内恰有两个交点，则要满足112g m g e ⎛⎫⎛⎫
<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以m 的取值范围为13ln222e m --<≤
. 点睛：含参数的方程的解的个数的讨论，可以参变分离后转化为动直线与定曲线的交点的个数.定曲线的刻
画需以导数为工具讨论函数的单调性、极值及区间端点处的函数值等. 19．已知定义在正实数集上的函数()2
122
f x x ax =
+， ()23ln g x a x b =+，其中20a >.设两曲线()y f x =, ()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同
（Ⅰ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （Ⅱ）0x >时，求证： ()()f x g x ≥
【答案】（Ⅰ）22
53ln 2b a a a =-,2
332
e ; （Ⅱ）见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）可设公共点为()00,x y ，由()()
()()
0000{
''f x g x f x g x == 得到0a x =且225
3ln 2b a a a =-，利
用导数讨论该函数的单调性就可以得到实数b 的取值范围.
（Ⅱ）构建新函数()()()F x f x g x =-，利用导数可求得()F x 的最小值点为
x a =，从而
()()()min 0F x f a g a =-=，也就是()()f x g x ≥.
详解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点()00,x y 处的切线相同.
∵()2f x x a '=+,()23a g x x
'=,由题意()()00f x g x =， ()()00f x g x =''.
即2
2000200
1232{ 32x ax a lnx b a x a x +=++=
，由2
00
32a x a x +=得： 0x a =或03x a =-（舍去）.
即有2222215
23ln 3ln 22b a a a a a a a =
+-=-， 令()22
53ln (0)2
h t t t t t =->，则()()213ln h t t t =-'.于是
当()13ln 0t t ->，即13
0t e <<时， ()0h t '>； 当()13ln 0t t -<，即1
3
t e >时， ()0h t '<.
故()h t 在130,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在1
3,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
为减函数，
于是()h t 在()0,+∞的最大值为12
3
332
h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭.
（Ⅱ）设()()()2
2123ln (0)2
F x f x g x x ax a x b x =-=
+-->， 则 ()()()2332(0)x a x a a F x x a x x x
-+=+-=>'. 故()F x 在()0,a 为减函数，在()0,+∞为增函数，于是函数()F x 在()0,+∞上的最小值是
()()()()0000F a F x f x g x ==-=.
故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时， ()()f x g x ≥．
点睛：切线问题的核心是切点的横坐标，通过它沟通切线的斜率和函数在切点横坐标的导数．函数不等式
的证明可以构建新函数，通过导数求出新函数的最小值为零即可． 20．已知函数()()2
ln 1f x ax x =++．
（Ⅰ）当1
4
a =-
时，求函数 ()f x 的单调区间； （Ⅱ）当[
)0,x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． （Ⅲ）求证： ()()
124821+1+1+1+2335592121n n n
e -⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅⋅< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
┄（*n N ∈， e 是自然对数的底数）.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,+∞;（Ⅱ）(]
,0-∞; （Ⅲ）见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，分别解不等式()'0f x >、()'0f x <，可求得()f x 的增区间和减区间.
（Ⅱ）构建新函数()()2
ln 1,0g x ax x x x =++-≥， 不等式()f x x ≤在[
)0,+∞上恒成立等价于
()0g x ≤在[)0,+∞恒成立，而()()221'1
x ax a g x x ⎡⎤+-⎣⎦
=+，分0,0,0a a a =><三种情形讨论可得实数a
的取值范围为(]
,0-∞. （
Ⅲ
）
由
（
Ⅱ
）
得
不等式
()ln 1x x
+≤，
[)
0,x ∈+∞，故有
()()
()()
1
1211
ln 1221212121n
n n
n n --⎛⎫⎡⎤
⎪⎢⎥+≤- ⎪++++⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦
，利用累加及其裂项相消法可以得到： ()()
1
2282ln 1ln 1ln 1ln 112335592121n
n n
-⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎢⎥++++++
++< ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣
⎦
，化简后可得到要证明的不等式.
详解：（Ⅰ）当14a =-
时， ()()2
1ln 114
f x x x x =-++>-（）， ()()()()
2111
(1)2121x x f x x x x x +-=-+=->-++'.
由()0f x '>解得11x -<<，由()0f x '<解得1x >， 故函数()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,+∞
（Ⅱ）因当[
)0,x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即()2
ln 10ax x x ++-≤恒成立.
设()()()2
ln 10g x ax x x x =++-≥，只需()max 0g x ≤即可.
由()()22112111
x ax a g x ax x x ⎡⎤+-⎣⎦='+
-=++,
（ⅰ）当0a =时， ()1
x
g x x -'=
+， 当0x >时， ()0g x '<，函数()g x 在()0,+∞上单调递减， 故()()00g x g ≤=成立； （ⅱ）当0a >时，由()()22101
x ax a g x x ⎡⎤+-⎣⎦
+'==，因[)0,x ∈+∞，所以1
12x a
=
-， ①若
1102a -<，即12
a >时，在区间()0,+∞上， ()0g x '>，则函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ()g x 在[
)0,+∞上无最大值； ②若
1102a -≥，即102a <≤时，函数()g x 在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，同样()g x 在[
)0,+∞上无最大值，不满足条件； （ⅲ）当0a <时，由()()2211
x ax a g x x ⎡⎤+-⎣⎦'=+，∵[)0,x ∈+∞，∴()2210ax a +-<， ∴()0g x '<，故函数()g x 在[
)0,+∞上单调递减，故()()00g x g ≤=成立. 综上所述，实数a 的取值范围是(]
,0-∞.
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当0a =时， ()ln 1x x +≤在
[)
0,+∞上恒成立，又
(
)()
1121
1221212121n n n
n n --⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭
， ∵()()
1
2482ln 11112335592121n n n
-⎡⎫
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎢++++= ⎪⎪⎪
⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎣
⎭
()()
1
2282ln 1ln 1ln 1ln 12335592121n n n
-⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎢⎥++++++
++ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣
⎦
()()
12482233559
2121
n
n n
-<++++⨯⨯⨯++ ][1111111111
12212335592121221n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
∴()()
1
24821+1+1+12335592121n n n
e -⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣
⎦
. 点睛：复杂函数的性质的讨论，可以通过导数先刻画函数的单调性（与导数的正负有关），再刻画函数的极
值，从而讨论与函数相关的不等式恒成立问题.而数列不等式的证明往往需要利用题设条件构建新的函数不等式，通过赋予自变量特殊的值求得数列不等式，最后利用新的数列不等式去证明题设中的不等式.。