第1章 弹性力学基本理论

杆、板、壳、块、 三维体
偏微分方程 困难 宽
5
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学是一门基础理论，把弹性力学理论直接用于工程
问题分析具有很大的困难，其主要原因主要是在于它的基本方
程即偏微分方程边值问题求解通常比较困难。由于经典的解析
方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发
展中的一个重要任务。弹性力学问题的近似求解方法，如差分
（1.11）
17
1.1.4 应变
因此，剪应变 xy 为
应变通常是一个很小的值，而且无量纲
xy
1
2

u y x

ux y
应变分量的矩阵型式
（1.12）
ε yxx
xy y

xz yz

zx yy z
（1.13）
除了上面的两种应变，还有一种体积应变(Volume Starin)。体 积应变表示弹性体体积的扩张或收缩，按线弹性理论，体积应变 的大小等于三个线应变的和，即

x1 y1


cos sin
s in c os
0x 0 y
z1 0
0 1z
（a）
22
1.2.1 应力坐标变换
第二次旋转确定了x’y’z’坐标，它们与 x1y1z1 坐标的关系如下
x' 1

y
'
图 1-3 应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x

ux x
相应地，y轴方向的正应变为：
y

u y y
（1.9） （1.10）
x-y 平面内的剪应变：
tan 1

u y x
;
tan 2

ux y
（1）棱边长度的伸长量，即正应变(或线应变, Linear Strain) （2）两棱边间夹角的改变量（用弧度表示），即剪应变（或 角应变, Shear Strain）。
16
1.1.4 应变
ux u y
y
x
ux
(a) x方向的线应变 (b) )y方向的线应变
2 y
1
x
u y
(c) xy面内的剪应变
在物体表面P点处取一微小面积S，假设其上作用有表面力
F，则P点所受的表面力定义为
QS

lim
S 0
F S
（1.1）
通常用各坐标方向上的分量来表示面力，即
X
QS


Y


X,
Y,
T
Z

Z

（1.2）
10
1.1.2 外力与内力
体力(Body Force)一般是指分布在物体体积内的外力，作用 于弹性体内每一个体积单元。通常与物体的质量成正比、且是各 质点位置的函数，如重力、惯性力、磁场力等。作用在物体内P 点上的体力，可按面力定义方式进行定义，即在P点处取一微小
也就是说，物体的弹性常数不随方向而变化。正交各向异性
（5）小位移和小变形的假定。假定物体受力以后，物体所有
各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都 小于1。保证在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形前的 尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，在考察物 体的变形及位移时，对于转角和应变的二次幂或其乘积都可以 略去不计。几何非线性
法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而不断发展的有
限单元法，为解决工程实际问题开辟了广阔的前景。
解析 法
数值算法
6
1.1.1 弹性力学及其基本假设
五个基本假设——理想弹性体 弹性力学的研究对象是理想弹性体，所谓理想弹性体应符
合下述的五个假定。
（1） 连续性假定。也就是假定整个物体的体积都被组成该
剪应力互等定理：
xy yx
xz zx
y z zy
（1.8）
6个独立的应力分量
σ x
y
z
xy
yz
T zx
15
1.1.4 应变
物体在外力作用下，其形状要发生改变，变形(Deformation) 指的就是这种物体形状的变化。因此，为了考察物体内某一点处 的应变(Strain)，可在该点处从物体内截取一单元体，研究其棱边 长度和各棱边夹角之间的变化情况。对于微分单元体的变形，将 分为两部分讨论：
4
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学与材料力学的区别
弹性力学与材料力学(Strengths of Materials)在研究对象、研究 内容和基本任务方面有许多是相同的，但是二者的研究方法有较大 差别。
研究对象几何形状
描述方程 求解难易程度
适用范围
材料力学
杆状构件
常微分方程 容易 窄
弹性力学

V V
x
y
z
（1.14）
18
1.2 应力状态的描述
弹性体在外力作用下产生应力场，弹性体内任意一点的应力 状态可以用6个应力分量描述。一点的应力状态与所选定的坐标系 相关。以下从应力坐标变换、任意截面的应力分解实现对一点的 应力状态进行分析，并介绍主应力等概念。
19
1.2.1 应力坐标变换
同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面
上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。（不方便）
（用三维直角坐标系下的应力分量）如
C
z
图1-2所示，正方体各面上的应力可按坐标轴
方向分解为一个正应力和两个剪应力，即每
个面上的应力都用三个应力分量来表示。这 y
样，用9个应力分量来表示正方体各面上的应
cos 0
s in c os
0
100
x y z

=

c os sin coຫໍສະໝຸດ sin sinsin cos cos cos sin
力，即
σij yxx
xy y

xz yz

（1.7）
z
A
o
y
x
zy
zx
x
yx xz xy
yz x P
xy
xz zx
yz
y yx
B
zy z
zx zy z
图1-2 微小正方体元素的应力状态
其中，σ为正应力，下标表示作用面和作用方向；τ是剪应力，第
7
1.1.1 弹性力学及其基本假设
五个基本假设——理想弹性体
（3） 均匀性假定。假定整个物体由同一材料组成。保证整个
物体的所有各部分具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不 会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分 析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。
（4）各向同性假定。假定物体的弹性在所有各方向上都相同。
3
1.1 弹性力学的基本概念
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学（Elastic Theory）
弹 性 力 学 是 一 门 基 础 学 科 ， 弹 性 力 学 是 固 体 力 学 (solid
mechanics)的一个分支，其基本任务是针对各种具体情况，确 定弹性体内应力与应变的分布规律。也就是说，当已知弹性体 的形状、物理性质、受力情况和边界条件时,确定其任一点的应 力、应变状态和位移(所要求解的量值15个)。在机械、航空、 航天、土建和水利等领域的结构分析中,都需要应用弹性力学的 基本理论。
用一个斜面切过实体，并与三个互相垂直的坐标面相交，就
会隔离出关于一点的四面体单元。设 x轴为斜面的外法线，y和z 与该斜平面相切，x，y 和 z 构成新的直角坐标系。斜面的外法线 方向角定义为x'x，x'y 和 x'z ，即 x轴分别与x，y，z轴的夹角。如 图1-4，这些夹角的余弦值定义为 轴的方向余弦。分别为：
1
第一章 弹性力学基础理论
2
第1章 弹性力学基础理论
本章概述
本章主要介绍弹性力学的基本理论，主要包括：线弹性问 题的几个假设；应力、应变的定义和性质；应力平衡方程、几 何方程和物理方程等弹性力学基本方程的推导。这些是进行机 械结构有限元分析的重要力学理论基础。
要求: 学习并掌握应力、应变基本概念和主要性质，掌握 弹性力学基本方程、应力边界条件、协调方程等。
（1.5）
B
m A P

G T n
T就是P点处的应力。
通常将应力沿截面A的法向和
o
A
切向进行分解，相应的分量就是常用
y
的正应力和剪应力。它们满足
x 图1-1 物体内任意点处的应力
Tn
2


2 n


2 n
（1.6）
13
1.1.3 应力
应力状态
在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有
nx'x cos x'x nx'y cos x'y nx'z cosx'z （1.15） y
三个方向余弦满足如下关系：
n2 x'x
nx2'y

n2 x'z
1
（1.16）
y'
x
X
z' Z 图1-4 一点附近的坐标系及其旋转变换
20
1.2.1 应力坐标变换
相应地，分别求解y， z轴的方向余弦，新坐标系三个轴
向的方向余弦写成如下矩阵形式 y
T

nnxy
'x 'x
nx'y ny'y
n n
x y
'z 'z

nz'x nz'y nz'z
T即为应力变换矩阵。
（1.17）
根据静力学平衡条件可知
σ TσT T
（1.18）
y'
x
X
z' Z
图1-4 一点附近的坐标系及其旋转变换
其中，T T是 T 的转置矩阵。σ, σ 分别为新坐标系和 原坐标系下的一点的应力矩阵（应力状态）。
一下标表示截面外法线方向，第二下标表示剪应力的方向。
14
1.1.3 应力
应力分量的符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴 的正方向一致，则该面上的应力分量就以沿坐标轴的正方向为正 ，沿坐标轴的负方向为负。相反，如果应力作用面的外法线是指 向坐标轴的负方向，那么该面上的应力分量就以沿坐标轴的负方 向为正，沿坐标轴的正方向为负。
体积V，假定其上作用有体力R，则P点所受的体力可定义为
QV
lim R V 0 V
（1.3）
一般也是用各坐标方向上的分量来表示体力，即
X
QV

Y



X
,
Y,
ZT
Z
（1.4）
11
1.1.2 外力与内力
（2）内力
物体在外力作用下，其内部 将产生抵抗变形的“附加”内力 。若假想用一经过物体内P点的截 面mn将物体分为两部分A和B，移 去其中的一部分B。显然，在截面 mn上必定有某种力存在使A平衡 x ，这种力就称为内力，实际上也 就是物体内部的相互作用力。

= 0

z
'

0
0
cos sin
0
s in


x1 y1

cos z1
将第一式代入上式，可得
（b）
x'

y
'

1
= 0

z
'

0
0 cos sin
0 cos
sin


sin
物体的介质所填满，不存在任何空隙。保证物体内一些物理 量（应力、应变、位移等）的连续性，从而可以用坐标的连 续函数来描述。
（2）完全弹性假定。这是假定物体服从胡克定律，即应变
与引起该应变的应力成正比。保证物体在任意瞬时的应变将 完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而 与加载的历史和加载顺序无关。
21
1.2.1 应力坐标变换
例题：
某一点在xyz坐标系内的应力状态已知，其应力矩阵如下
8 6 2
σ


6
4
2

2 2 5
MPa
如该坐标系先绕z轴旋转45°，然后再绕新的x轴旋转30°，
试确定该点在新的坐标系下的应力矩阵。
解：对于每一次旋转，都可以通过一系列的坐标变换得到弹性 体表面的法线向量，并可将该法向向量分别投影到x,y,z轴，得到 三个方向上的向量分量。其中第一次旋转得到的向量分量为
z
B
G

T
m A P

n
A
o y
图1-1 物体内任意点处的应力
12
1.1.3 应力
1.1.3 应力 所谓一点处某个截面上的应力(Stress)
就是指该截面上的“附加内力”，即应力是
内力在该点处的集度。如图1-1所示，在截面
mn上P点处取一微小面积A，假设作用于
A上的内力为G，则
z
T lim G A0 A
8
1.1.2 外力与内力
（1）外力
作用于物体的外力通常可分为两类： 面力(Surface Force) 体力(Body Force)
9
1.1.2 外力与内力
面力是指分布在物体表面上的外力，包括分布力(Distributed Force)和集中力(Concentrated Force)，如压力容器所受到的内压、 水坝所受的静水压力、物体和物体之间的接触压力等等。通常情 况下，面力是物体表面各点的位置坐标的函数。