江西省新余市2013届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教A版

新余市2012—2013学年度上学期期末质量检测
高三数学试题卷（理科）
说明：本试卷分为试题卷和答题卷两部分，解答请写在答题卷相应的位置. 全卷共150分，考试时间为120分钟.
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知全集，，}4,3,21,0{=U 集合，，}3,21{=A ，}4,2{=B 则B A C U
)（为 A. }4,2{0，
B.}43,2{，
C. }4,21{，
D.}43,2{0，， 2.等差数列
{}n a 中，若58215a a a -=+，则5a 等于
A.3
B.4
C.5
D.6 3.下列有关命题的说法正确的是
A.命题“若2
1x =，则1x =”的否命题为“若2
1x =，则1x ≠” B ．“1-=x ”是“2
560x x --=”的必要不充分条件
C.命题“对任意2
,10x R x x ∈++<”的否定是“存在
2000,10x R x x ∈++<” D.命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题为真命题
4.将函数
y sin(x )(0,)2π
ωϕωϕ=+><
的图像向左
平移3π
个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω，
ϕ的值为
A.2，－3π
B.1，－3π
C.2，3π
D. 1，3π
5.椭圆122
22=+b y a x (0a b >>)的左右顶点分别是A 、B ,左右焦点分别是1F 、2F ，若
||1AF ，||21F F ，||2AF 成等比数列，则此椭圆的离心率为
A.41
B.21
C.55
D.25-
6.已知函数
()
f x是R上的偶函数，且(1)(1),
f x f x
-=+当[]
0,1
x∈
时，
2
()
f x x
=，则函
数5
()log
y f x x
=-
的零点个数是
A.3
B.4
C.5
D.6
7.已知球O的球面上有S、A、B、C四点，其中O、A、B、C四点共面，ABC
∆是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S ABC
-的体积的最大值为
A.
3
3
3
D.
1
3
8.有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1234567
、、、、、、，从中
任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为
A.42
B.48
C.54
D.60
9.已知函数
9
()4,(0,4)
1
f x x x
x
=-+∈
+，当x a
=时，()
f x取得最小值b，则函数()
g x
1
()x b
a
+
=
的图象为
10.已知定义域为
(0,)
+∞的函数()
f x满足：(1)对任意(0,)
x∈+∞，恒有
1
()()
22
x
f x f
=
成立；(2)当
[1,2]
x∈时，
3
()48
2
f x x
=--
.给出以下结论：
①对任意n N ∈，有1
(32)n f -⋅=21()2n -；
②对任意[1,8]x ∈，不等式()6xf x ≤恒成立；
③存在x N ∈，使得
1(21)()2n n
f +=； ④“函数()f x 在区间(,)(1)a b a >上单调递减”的充要条件是存在k N ∈，使得(,)a b ⊆
11(32,2)n n -+⋅.
其中所有正确结论的序号为
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①②③④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.） 11.设复数
()
2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数, 则
a = .
12.若
3
12a
x dx -=
⎰
，则a 的值为 .
13.已知某算法的流程图如右图所示，则输出 的结果是 ．
14.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2
7
4sin cos 222A B C +-=，
且c =
ABC ∆的面积的最大值为 .
15.已知点),(y x 在不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧≥-+≥--≤-0540340
2y x y x x 所表示的平面区域中，若对任意的点),(y x ，总
存在实数],[b a m ∈，使得等式
)12)(1(2
-+-=x y y mx 成立，则a b -的最小值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）16. (本小题满分12分)
若向量(sin ),m x x ωω=()cos ,sin (0)
n x x ωωω=>,在函数()=x f m n t ⋅+ 的图象中,对称中心到对称轴的最短距离为4π,且当
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πx 时, )(x f 的最大值为3. (1)求函数)(x f 的解析式；
(2)求函数)(x f 的单调递增区间.
17.（本题满分12分）
某班同学在“十八大”期间进行社会实践活动，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次当前投资生活方式----“房地产投资”的调查，得到如下统计和各年龄段人数频率分布直方图：
(1)补全频率分布直方图,并求
,,n a p 的值；
(2)从年龄在[40,50)岁的“房地产投 资”人群中采取分层抽样法抽取18 人参加投资管理学习活动，其中选取
3人作为代表发言，记选取的3名代
表中年龄在
[40,45)岁的人数
为X ，
求X 的分布列和期望EX .
18．（本小题满分12分）
已知数列
{}n a 中，
65
1=
a ，若以n a a a ,,,21 为系数的二次方程2
110(n n a x a x n --+=∈
*,2)N n ≥都有实根βα,，且满足133=+-βαβα．
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设
n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
19．(本小题满分12分)
如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，0
30=∠BAC ，
组数 分组[来 房地产投资的人数 占本组的频率 第一组] [25,30)
120 0.6
第二组 [30,35) 195 p
第三组 [35,40) 100
0.5 第四组 [40,45) a
0.4 第五组 [45,50) 30 0.3 第六组
[50,55]
15
0.3
AC BM ⊥于点M ，⊥EA 平面ABC ，EA FC //， 4=AC ，3=EA ，1=FC .
(1)求证：BF EM ⊥；
(2)求平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值. 20．（本小题满分13分）
设椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1
2F F 、，上顶点为A ，离心率为12，在x 轴的负半轴上有一点B ，且212BF BF =.
(1)若过
2A B F 、、三点的圆恰好与直线330x y --=相切，求椭圆C 的方程；
(2)在(1)的条件下，过右焦点
2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M N 、两点，在x 轴上
是否存在点(,0)P m ，使得以PM PN 、为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，
说明理由． 21．（本小题满分14分）
已知函数
()ln f x x
=，
3()(2a
g x a
x =
-为实数）
(1)当1a =时，求函数()()()x f x g x ϕ=-在[4,)x ∈+∞上的最小值；
(2)若方程()
2()f x e g x =（其中 2.71828
e =）在区间1[,1]
2上有解，求实数a 的取值
范围；
(3)证明：*
1
51[2(21)()(1)]21,460n
k n f k f k f k n n N =+<+--+<+∈∑.
（参考数据：ln 20.6931)≈
新余市2012-2013学年度上学期期末质量检测 高三年级数学 参考答案(理科)
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11.1 12.12+ 13.5 14.4 15.9
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

16. 解：由题意得
2
()sin
cos f x m n t x x x t ωωω=⋅+=+
1sin 2
2sin 223x x t x t πωωω⎛
⎫=+=- ⎪⎝
⎭.…………………3分
(1)中心到对称轴的最小距离为4π
，∴()f x
的最小周期T π=，
∴22ππ
ω=，1ω∴
=，…………………5分
∴()sin 23f x x t
π
⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭.
当
0,3x π⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦时，sin 23x π⎡⎛⎫-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x t t ⎡⎤∴∈⎣⎦. ()max f x t =∴0t =，
∴
()sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，……………………8分 (2)令
222()
2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈，…………………10分
解得：
512
12k x k π
π
ππ-
≤≤+
.…………………12分
17.解：(1)1000,0.65,60n p a ===.………………6分
(2)X 的分布列为：
X 0
1
2
3
P
5204 1568 3368 55204
…………………10分
5153355012322046868204EX ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯=.……………12分
18.解：(1)
111,n n n a a a αβαβ--+=
⋅=, 11
31
1n n n a a a --∴-=,
即
11133n n a a -=+
，…………………2分 1111111
1332211322n n n n a a a a ---+-
-
∴
==--
，又11123a -=， ∴数列12n a ⎧⎫-⎨⎬
⎩⎭是首项为13，公比为13的等比数列，…………………5分 ∴
11111()()2333n n n a --
=⨯=，11()32n n a ∴=+.………………6分
(2)
11()32n n na n n
=+， 2341234
1
(123)
3333
32
n n n S n ∴=++++
+
+++++.………………7分
令=n
T n
n 333323132++++ ，①
则1
43233332313
1+++++=n n n T ，② ①－②得，1
4323313131313132+-+++++=n n n n T ∴
n n n T 343
243⋅+-
=
.………………11分
323(1)4434n n n n n S ++∴=
-+⋅.………………12分
19.解：解法一：
(1)∵EA ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC, ∴EA ⊥BM.………………1分 又BM ⊥AC ，EA
AC A =，∴BM ⊥平面ACFE.
而EM ⊂平面ACFE ，∴BM ⊥EM.………………3分 ∵AC 是圆O 的直径,∴∠ABC=90°， 又∠BAC=30°，AC=4，
∴23AB =，BC=2，即AM=3，CM=1.
∵EA ⊥平面ABC ，FC//EA ，∴FC ⊥平面ABC, 易知△EAM 与△FCM 都是等腰直角三角形,
∴∠EMA=∠FMC=45°，∴∠EMF=90°，即EM ⊥MF ，………………5分 ∵MF
BM M =，∴EM ⊥平面MBF,
而BF ⊂平面MBF ，∴EM ⊥BF.………………6分 (2)延长EF 交AC 的延长线于点G ，连接BG ， 过C 作CH ⊥BG 于点H ，连接FH.
由(1)知FC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，∴FC ⊥BG ， 又CH ⊥BG ，而FC
CH C =,∴BG ⊥平面FCH ，
∵FH ⊂平面FCH ，∴FH ⊥BG ，
∴∠FHC 为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角.………………8分
在Rt △ABC 中，∵∠BAC=30°，23AB =，∴
sin303BM AB =•=， ∵EA//FC ，∴1
3FC GC EA GA ==
，得GC=2，
∴2223BG BM MG =
+=，
又易知GCH ∆∽GBM ∆，∴
GC CH
GB BM =
， ∴
23
123GC BM CH GB •⨯=
==，………………11分
∴△FCH 是等腰直角三角形，∴∠FHC=45°，
即平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为2
.………………12分
解法二：
(1)同解法一，可得AM=3，3BM =,………………3分
如图，以A 为坐标原点，平面ABC 内垂直于AC 的直线为x 轴，AC 、AE 所在的直线为y 轴、
z 轴建立如图空间直角坐标系.
由条件得(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),(3,3,0),(0,4,1)A M E B F , ∴(0,3,3),(3,1,1)ME BF =-=-，………………4分 由0(3)(3)1310ME BF •=⨯-+-⨯+⨯=， 得ME BF ⊥,∴EM ⊥BF.………………6分 (2)由(1)知(3,3,3),(3,1,1)BE BF =--=-, 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =,
由0,0n BE n BF •=•=，得333030x y z x y z ⎧--+=⎪⎨
-++=⎪⎩
,
令3x =，得1y =，2z =， ∴(3,1,2)n =.………………9分 因为EA ⊥平面ABC,
所以取平面ABC 的一个法向量为(0,0,3)AE =, 设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ,
则
3010232
cos cos 322
n AE θ⨯+⨯+⨯=•=
=
⨯,………………11分
∴平面BEF 与平面ABC
所成的锐二面角的余弦值为.………………12分 20.解：(1)由题意21=a c 得
a
c 21=，所以a F F =21. 又
12AF AF a
==,于
212BF BF =，所以1F 为2BF 的中点，
所以
1212AF AF F F a
===,
所以2ABF ∆的外接圆圆心为1(,0)2a F -，半径1r F A a ==.…………………3分
又过
2A B F 、、
三点的圆与直线:30g x -=相切，
1
322a a --∴=,解得2a =，
222
1,3c b a c ==-=. 故所求椭圆方程为22
143x y +=.…………………… 6分
(2)由(1)知
2(1,0)F ,设l 的方程为：)1(-=x k y ，
椭圆联立方程得22
(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，即
22223484120k x k x k +-+-=（）. 设交点为
1122(,),(,)M x y N x y ，因为2340k +>，
则2
1212122
8,(2)34k x x y y k x x k +=+=+-+.……………………8分
若存在点(,0)P m ，使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形， 由于菱形对角线垂直，所以()0PM PN MN +⋅=.
11221212(,)(,)(2,)PM PN x m y x m y x x m y y +=-+-=+-+，
又MN 的方向向量是(1,)k ，故
1212()20k y y x x m +++-=，
21212(2)20k x x x x m ∴+-++-=，即22
2
2288(2)203434k k k m k k -+-=++，
由已知条件知,0R k k ∈≠且22213344k m k k ∴==++，…………………11分 1
04m ∴<<，故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是)
41,0(.………………13分
21.解：(1)当1a =时，13
()()()ln 2x f x g x x x ϕ
=-=+-,
221
11
'(),x x x x x ϕ--=+=令'()0x ϕ>得:1x >,………………2分
()x ϕ∴在(0,1]上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，
故当[4,)x ∈+∞时，13
5
()(4)ln 4ln 4424x ϕϕ≥=+-=-，
()x ϕ∴的最小值为5
ln 44-.………………4分
(2)2()()f x e g x =在1[,1]2x ∈上有解2ln 32x a e x ⇔=-在1[,1]
2x ∈上有解
332a x x ⇔=-在1[,1]
2x ∈上有解.…………………6分
令33
1
(),[,1]22h x x x x =-∈，2231'()33()
22h x x x =-=-， 令'()0h x >，则20x <<，令'()0h x <，则2
1x <≤，
()h x ∴在1
2[,22x ∈上单调递增，在2[2x ∈上单调递减，………………8分 又12
(1)(),(1)()(22h h h h x h <∴<≤，
即12()22h x ≤≤，故12
[
,]
22a ∈.…………………9分
(3)设2(21)()(1)k a f k f k f k =+--+=
2441
2ln(21)ln ln(1)ln (1)k k k k k k k +++--+=+.………………10分
由(1)可得min 5
()ln 40(4),4x x ϕ=->≥3
1
ln (4)
2x x x ∴>-≥.
2441
4(1)k k k k ++>+，
223
(1)511
244144(21)k k k a k k k +∴>-=+⋅+++
5
1
1
5111
()
44(21)(23)482123k k k k >+⋅=+-++++，
1511111115111483557212348323n
k k a n n n n n =⎛⎫
⎛⎫
∴>+-+-++-=+- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑
511151
=4835460n n ⎛⎫≥+-+ ⎪⎝⎭.……………………12分
令()F x ()11ln 24,'()1,
x
x x x F x x x -=-+≥=-=
当4x ≥时，1'()0
x
F x x -=<，()F x ∴在[4,)+∞上单调递减，
即()(4)ln 422(ln 21)0F x F ≤=-=-<
∴当4x >时，ln 2x x <-，
1
1
11
ln(4)4211k a k k k k ∴=+-<+--++，即11
21k a k k <+-+，
11
2121
1n
k k a n n n =∴<+-<++∑.
故*
151[2(21)()(1)]21,460n
k n f k f x f k n n N =+<+-=+<+∈∑.………………14分。