2021-2023三年新高考立体几何大题-含答案
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)点 F 满足 EF DA ，求二面角 D AB F 的正弦值考真题）如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积为 4， A1BC 的面 积为 2 2 ．
(1)求 A 到平面 A1BC 的距离； (2)设 D 为 A1C 的中点， AA1 AB ，平面 A1BC 平面 ABB1A1 ，求二面角 A BD C 的正 弦值．
(1)证明： B2C2∥A2D2 ； (2)点 P 在棱 BB1 上，当二面角 P A2C2 D2 为150 时，求 B2P ． 【答案】(1)证明见解析； (2)1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设 P(0, 2, )(0 4) ，利用向量法求二面角，建立方程求出 即可得解. 【详解】（1）以 C 为坐标原点， CD, CB, CC1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系， 如图，
（2）设 P(0, 2, )(0 4) ，
则 A2C2 (2, 2, 2),PC2 (0, 2,3 ), D2C2 =( 2,0,1) ，
设平面 PA2C2 的法向量 n (x, y, z) ，
则
nn
A2C2 2 x 2 PC2 2 y (3
y
2 )
z z
0 ， 0
令 z 2 ，得 y 3 , x 1 ，
试卷第 3页，共 6页
4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥 P ABC 的高，PA PB ，AB AC ， E 是 PB 的中点． (1)证明： OE / / 平面 PAC ； (2)若 ABO CBO 30 ， PO 3 ， PA 5 ，求二面角 C AE B 的正弦值．
2021-2023 三年新高考立体几何大题
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AB 2, AA1 4 ．点 A2 , B2 , C2 , D2 分别在棱 AA1, BB1,CC1 , DD1 上， AA2 1, BB2 DD2 2,CC2 3 ．
(1)证明： BC DA ；
(2)点 F 满足 EF DA ，求二面角 D AB F 的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 3 ．
3
【分析】（1）根据题意易证 BC 平面 ADE ，从而证得 BC DA ； （2）由题可证 AE 平面 BCD ，所以以点 E 为原点，ED, EB, EA 所在直线分别为 x, y, z
试卷第 4页，共 6页
5．（2021·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 A BCD 中，平面 ABD 平面 BCD ， AB AD ， O 为 BD 的中点.
（1）证明： OA CD ； （2）若 OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE 2EA ，且二面角 E BC D 的大小为 45 ，求三棱锥 A BCD 的体积.
轴，建立空间直角坐标系，再求出平面 ABD, ABF 的一个法向量，根据二面角的向量公 式以及同角三角函数关系即可解出． 【详解】（1）连接 AE, DE ，因为 E 为 BC 中点， DB DC ，所以 DE BC ①， 因为 DA DB DC ， ADB ADC 60 ，所以 ACD 与△ABD 均为等边三角形， AC AB ，从而 AE BC ②，由①②， AE DE E ， AE, DE 平面 ADE ，
试卷第 5页，共 6页
6．（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥 Q ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD 2,QD QA 5,QC 3 ． （1）证明：平面 QAD 平面 ABCD ； （2）求二面角 B QD A 的平面角的余弦值．
试卷第 6页，共 6页
1．(1)证明见解析； (2)1
n ( 1,3 , 2) ，
设平面 A2C2D2 的法向量 m (a, b, c) ，
则
mm
A2C2 D2C2
2a 2a
2b 2c c0
0
，
令 a 1 ，得 b 1,c 2 ，
m (1,1, 2) ，
cos n, m
n m
6
cos150
3 ，
n m 6 4 ( 1)2 (3 )2
2
化简可得， 2 4 3 0 ， 解得 1或 3， P(0, 2,1) 或 P(0, 2,3) ，
B2P 1.
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 A BCD 中， DA DB DC ， BD CD ， ADB ADC 60 ，E 为 BC 的中点．
试卷第 2页，共 12页
2．(1)证明见解析； (2) 3 ．
3
3．(1) 2 (2) 3
2
4．(1)证明见解析 11
(2) 13
5．(1)证明见解析；(2) 3 . 6
6．（1）证明见解析；（2）
2 3
.
参考答案：
答案第 1页，共 1页
2021-2023 三年新高考立体几何大题
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AB 2, AA1 4 ．点 A2 , B2 , C2 , D2 分别在棱 AA1, BB1,CC1 , DD1 上， AA2 1, BB2 DD2 2,CC2 3 ．
(1)证明： B2C2∥A2D2 ； (2)点 P 在棱 BB1 上，当二面角 P A2C2 D2 为150 时，求 B2P ．
试卷第 1页，共 6页
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 A BCD 中， DA DB DC ， BD CD ， ADB ADC 60 ，E 为 BC 的中点． (1)证明： BC DA ；
则 C(0, 0, 0),C2 (0, 0,3), B2 (0, 2, 2), D2 (2, 0, 2), A2 (2, 2,1) ，
B2C2 (0, 2,1), A2D2 (0, 2,1)，
试卷第 1页，共 12页
B2C2∥A2D2 ，
又 B2C2，A2D2 不在同一条直线上，
B2C2∥A2D2 .
(1)求 A 到平面 A1BC 的距离； (2)设 D 为 A1C 的中点， AA1 AB ，平面 A1BC 平面 ABB1A1 ，求二面角 A BD C 的正 弦值．
(1)证明： B2C2∥A2D2 ； (2)点 P 在棱 BB1 上，当二面角 P A2C2 D2 为150 时，求 B2P ． 【答案】(1)证明见解析； (2)1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设 P(0, 2, )(0 4) ，利用向量法求二面角，建立方程求出 即可得解. 【详解】（1）以 C 为坐标原点， CD, CB, CC1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系， 如图，
（2）设 P(0, 2, )(0 4) ，
则 A2C2 (2, 2, 2),PC2 (0, 2,3 ), D2C2 =( 2,0,1) ，
设平面 PA2C2 的法向量 n (x, y, z) ，
则
nn
A2C2 2 x 2 PC2 2 y (3
y
2 )
z z
0 ， 0
令 z 2 ，得 y 3 , x 1 ，
试卷第 3页，共 6页
4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥 P ABC 的高，PA PB ，AB AC ， E 是 PB 的中点． (1)证明： OE / / 平面 PAC ； (2)若 ABO CBO 30 ， PO 3 ， PA 5 ，求二面角 C AE B 的正弦值．
2021-2023 三年新高考立体几何大题
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AB 2, AA1 4 ．点 A2 , B2 , C2 , D2 分别在棱 AA1, BB1,CC1 , DD1 上， AA2 1, BB2 DD2 2,CC2 3 ．
(1)证明： BC DA ；
(2)点 F 满足 EF DA ，求二面角 D AB F 的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 3 ．
3
【分析】（1）根据题意易证 BC 平面 ADE ，从而证得 BC DA ； （2）由题可证 AE 平面 BCD ，所以以点 E 为原点，ED, EB, EA 所在直线分别为 x, y, z
试卷第 4页，共 6页
5．（2021·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 A BCD 中，平面 ABD 平面 BCD ， AB AD ， O 为 BD 的中点.
（1）证明： OA CD ； （2）若 OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE 2EA ，且二面角 E BC D 的大小为 45 ，求三棱锥 A BCD 的体积.
轴，建立空间直角坐标系，再求出平面 ABD, ABF 的一个法向量，根据二面角的向量公 式以及同角三角函数关系即可解出． 【详解】（1）连接 AE, DE ，因为 E 为 BC 中点， DB DC ，所以 DE BC ①， 因为 DA DB DC ， ADB ADC 60 ，所以 ACD 与△ABD 均为等边三角形， AC AB ，从而 AE BC ②，由①②， AE DE E ， AE, DE 平面 ADE ，
试卷第 5页，共 6页
6．（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥 Q ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD 2,QD QA 5,QC 3 ． （1）证明：平面 QAD 平面 ABCD ； （2）求二面角 B QD A 的平面角的余弦值．
试卷第 6页，共 6页
1．(1)证明见解析； (2)1
n ( 1,3 , 2) ，
设平面 A2C2D2 的法向量 m (a, b, c) ，
则
mm
A2C2 D2C2
2a 2a
2b 2c c0
0
，
令 a 1 ，得 b 1,c 2 ，
m (1,1, 2) ，
cos n, m
n m
6
cos150
3 ，
n m 6 4 ( 1)2 (3 )2
2
化简可得， 2 4 3 0 ， 解得 1或 3， P(0, 2,1) 或 P(0, 2,3) ，
B2P 1.
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 A BCD 中， DA DB DC ， BD CD ， ADB ADC 60 ，E 为 BC 的中点．
试卷第 2页，共 12页
2．(1)证明见解析； (2) 3 ．
3
3．(1) 2 (2) 3
2
4．(1)证明见解析 11
(2) 13
5．(1)证明见解析；(2) 3 . 6
6．（1）证明见解析；（2）
2 3
.
参考答案：
答案第 1页，共 1页
2021-2023 三年新高考立体几何大题
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AB 2, AA1 4 ．点 A2 , B2 , C2 , D2 分别在棱 AA1, BB1,CC1 , DD1 上， AA2 1, BB2 DD2 2,CC2 3 ．
(1)证明： B2C2∥A2D2 ； (2)点 P 在棱 BB1 上，当二面角 P A2C2 D2 为150 时，求 B2P ．
试卷第 1页，共 6页
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 A BCD 中， DA DB DC ， BD CD ， ADB ADC 60 ，E 为 BC 的中点． (1)证明： BC DA ；
则 C(0, 0, 0),C2 (0, 0,3), B2 (0, 2, 2), D2 (2, 0, 2), A2 (2, 2,1) ，
B2C2 (0, 2,1), A2D2 (0, 2,1)，
试卷第 1页，共 12页
B2C2∥A2D2 ，
又 B2C2，A2D2 不在同一条直线上，
B2C2∥A2D2 .