运筹学 图与网络分析PPT学习教案

ij
min{ V1到Vj中间最多经过t-2个点 P1j（t-1）=
P1j（t-2）
+wij}
终止原则：
1）当P1j（k）= P1j（k+1）可停止，最短路P1j*= P1j（k） 2）当P1j（t-1）= P1j（t-2）时，第1再9页多/共迭59页代一次P1j（t） ，若P1j（t） =
P1j（t-1） ，则原问题无解，存在负回路。
图与网络模型Graph Theory
最短路问题
v1，u1 =（M，W，G，H）； v2，u2 =（M，W，G）；
v3，u3 =（M，W，H）；
v4，u4 =（M，G，H）；
v5，u5 =（M，G）。
此游戏转化为在下面的二部图中求从 v1 到 u1 的最短路问题。
v1
v2
v3
v4
v5
u5
u4
例： 求下图所示有向图中从v1到各点 的最短路。
2 v1
v2
4
5 -2 v3 6
-3 4
v4
7
v6 -3 2
v5
3
4
v8
-1
v7
第20页/共59页
wij
d(t)(v1,vj)
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6
v1 0 2 5 -3
0 0 0 00 0
参加的游客众多，游客甚至不惜多花机票钱暂转取道它地也愿参加
此游。旅行社只好紧急电传他在全国各地的办事处要求协助解决此
问题。很快，各办事处将其已订购机票的情况传到了总社。根据此
资料，总社要作出计划，最多能将多少游客从成都送往北京以及如
何取道转机。下面是各办事处已订购机票的详细情况表：
第3页/共59页
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
各办事处已订购机票情况表
成都 重庆 武汉 上海 西安 郑州 沈阳 昆明 广州 北京
成
10
5 15
8
都
10
6
重
庆
10
12 10 30
15
25
武
15 8
汉
8
6
上
14
8
海
18
西
安
8
10
郑
8
2
6
10
州
沈
阳
第4页/共59页
昆 明
广
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
将此问题通过图的模型描述：
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛，内容极其丰富。
正如一位数学家所说：“可以说，图论为任何一个包含了某种二元
关系的系统提供了一种分析和描述的模型。”
下面我们来看一个案例——
国庆大假期间旅游非常火爆，机票早已订购一空。成都一家旅
行社由于信誉好、服务好，所策划的国庆首都游的行情看好，要求
图的生成树——若G图的一个点生成子图是一个树，则称此树是G图 的一个生成树。
树的权——若Tk是加权图G的一棵树，则树T的全部边的权之和称为 树Tk的权，记为 （ Tk ）= （e）； e Tk
最小树——T*是加权图G的一棵最小树，即（
T*
）=min{
k
(Tk)
}
第11页/共59页
图与网络模型Graph Theory
aij = k
当且仅当vi与vj之间有条边时
0 其它
第8页/共59页
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
邻接矩阵
v1
e1 v2
e2
e3
e5 e6
v4
e9
v6
e1
e1
v5 2
0
e11 v7
e4
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
v3
e7
v8
v1
01001000
e8
v
10101000
第1年
购买费
13
使用年数 0-1
维修费
8
第2年 14 1-2 10
第3年 16 2-3 13
第4年 19 3-4 18
第5年 24 4-5 27
[解]设以vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年初购进一台 新设备”这种状态，以v6表示“第5年末”这种状态 ；以弧(vi, vj)表示“第i年初购置的一台设备一直使 用到第j年初”这一方案，以wij表示这一方案所需购 置费和维护费之和。
6
2
2
7
2
起点到 该点的
最短距
0
5
∞5
2
1∞70
离的上
界
第15页/共59页
人、狼、羊、草渡河游 戏
一个人带着一条狼、一只羊、 一筐白菜过河蛤由于船太小， 人一次只能带一样东西乘船过 河。狼和羊、羊和白菜不能单 独留在同岸，否则羊或白菜会 被吃掉。
人—— M（Man）， 狼—— W（Wolf），第16页/羊共59页—— G （Goat），草—— H（Hay）。
v2 0 -2
4
v3
0
6
v4
40
22 2 50 0 -3 -3 -3
22 2 00 0 -3 -3 -3
v5
0
6 633 3
v6
-3 0
4
11 6 6 6 6
v7
7
20
14 9 9
v8
3
20
15 10 10 10
说明：表中空格处为+。
第21页/共59页
例 设备更新问题
制订一设备更新问题，使得总费用最小
最小树问题
破圈法，避圈法求生成树： 生成树T
图G
生成树T
第12页/共59页
图与网络模型Graph Theory
最小树问题
破圈法，避圈法求最小生成树： 生成树T
1
2 1
1 1
4
1
2
3
1
1
1
4
4
2
3
2
5
5
2
4
5
3
2
图G
1
2
1
1
1
生成树T
第13页/共59页
2
3
2
图与网络模型Graph Theory
v
8
图与网络模型Graph Theory
最小树问题
二、树（Tree）和最小树
树是图论中一类重要的图，实际中有很多系统的结构都是树。
树——连通且不含圈的图，简记为 T 。
下面的说法是等价的：
T是一个树。 T无圈，且 m = n-1。 T连通，且 m = n-1。 T无圈，但每加一条新的边即出现唯一一个圈。 T连通，但每舍 去一条边就不连通。 T中任意两点，有唯一的一条链相连。 T是边数最少的连通图。
用Dijkstra标号法，求得最短路为 v1v3v6
偶次点——
链——
圈——
路——
回路—— 赋权图——
2、连通图
在众多各类图中有一类在实际应用中占有重要地位的图
连通图——在图中，任意两点间至少存在着一条链
连通图
第7页/共59页
不连通图
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
3、图与矩阵
在图与网络分析的应用中，将面临一个问题——如何分析、计算
第22页/共59页
() 0， V1 v2
22 21
44
(0，Vvs1)
89
62
31
32 63 45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3) v6
32
v3 (31, V1)
34
第23页/共59页
v5 (62,V1)
这样，可建立本例的网络模型。于是，该问题就 可归结为从图中找出一条从v1到v6的最短路问题 。
的第一本专著《有限图与无限图的理论》。
在图论的发展过程中还有两位著名科学家值得一提，他们是克
希霍夫和凯莱。克希霍夫在研究电网络时对图的独立回路理论作出
了重要的贡献，而化学家凯莱在对碳氢化合物的同分异构体的数量
进行计数时推动了图论中树的计数问题的研究。
图论的历史上最具有传奇色彩的问题也许要数著名的“四色猜
下图中，点——各城市，带箭头连线——从箭尾城市到箭头城市已
订购有机票，带箭头连线旁的数字——机票数量。
郑州办事处已订
有的到北京的
西
郑
机票数量。
重 8
成 武
昆 上
广
京 沈
第5页/共59页
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
一、图及其分类和术语
1、 图论中所研究的图并非几何学中的图，也不是绘画中的图。在
第18页/共59页
2、情况二： ≤ wij 0
设从V1到Vj(j=1,2,…,t)的最短路长为P1j
V1到Vj无任何中间点
P1j（1）= wij
min{ +w } V1到Vj中间最多经过一个点 P1j（2）=
P1j（1）
ij
V1到Vj中间最多经过两个点 …….
min{ +w } P1j（3）=
P1j（2）
u3
u2
u1
第17页/共59页
图与网络模型Graph Theory
最短路问题
在 E.W.Dijkstra 算法中必须满足一个条件 —
— 在图 G 中所有边的权 lij ≥ 0。若在图 G 中存在
有负权边（当然，这种情形只针对有向图而言） 时必须对E.W.Dijkstra 算法加以修改 —— 称为修 改的 E.W.Dijkstra 算法。
最短路问题
三、路（Path）和最短路
最短路问题是网络分析中应用最广泛的问题之一。尽管前面介
绍了用动态规划方法求解，但有时却较困难，此时图论的方法却十
分有效。
最短路问题的一般描述：
G = （V，E）是连通图，图中各边（vi，vj）有权lij（=表示vi，vj间 无边），vs 、vt为图中任意两指定点，求一条路 µ，使其是从 vs到 vt 的所有路中最短（路中各边的权之和最小）的一条路。即
边（无向边）——没有方向的连线
弧（有向边）——带有方向的连线
无向图—— 有向图——
简单图——
多重图——
完全图—— 二部图（偶图，双图）——
第6页/共59页
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
子图——
真子图——
生成子图—— 点生成子图——
边生成子图——
点的次——
奇次点——
2 01001002
v
A=（aij） nn= 3
v
00000110 11100001
4
0 0 0 1 0 0 10
v
0 0 0 1 1 1 00
5 0 0 2 0 1 0 00
v
6
v
7
第9页/共59页
v
8
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
关联矩阵——对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有mn阶矩
这里我们所关心的仅仅是图中有多少个点，点与点之间有无线来连 接，也就是说我们研究的是某个系统中的元素——点，以及这些元 素之间的某种关系——连线。
定义：图——一个图G是一个有序二元组（V，E），记为G=（V，E） 其中（1） V是一个有限非空的集合，其元素称为G的点或顶点，而 称V为G的点集 V={v1，v2，···，vn}；（2）E是V中元素的无序对(vi， vj)所构成的一个集合，其元素称为G的边，一般表示为 e =(vi，vj)， 而称E是G的边集。
阵M=（mij） mn，其中
mij = 2 当且仅当 vi是边ej 的两个端点
1 当且仅当 vi是边ej 的一个端点
例——
0 其它
v1
v4
e9
v6
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12
e1 v2
e2
e3
e5 e6
v3
v5
e1
e1
2
0
v1
v 2
e11 v7
v
e4
想”了——历史上许许多多数学猜想之一。它描述对一张地图着色
的问题，曾经有一位数学家这样说：“对于这个问题，一位数学家
可以用不到五分钟的时间向马路上任何一位行人讲述清楚它，然后，
两人都明白这一问题，但是，两人都无能为力。”幸运的是在 1970‘s
终于由美国的两位数学家借助大型计算机将其证明了。
第2页/共59页
运筹学 图与网络分析
会计学
1
图与网络模型Graph Theory
引言
十八世纪的哥尼斯堡城中流过一条河（普雷.格尔河），河上有
7 座桥连接着河的两岸和河中的两个小岛。当时那里的人们热衷于这
样一个游戏：一个游者怎样才能一次连续走过这 7 座桥，回到原出
发点，而每座桥只允许走一次。没有人想出走法，又无法说明走法
L（
µ ） = min
lij
（vi，vj） µ
第14页/共59页
图与网络模型Graph Theory
最短路问题
E.W.Dijkstra 算法（标号算法）
X（ P标 号 ）
算法基本思路分析：（逐步向外搜索）
∞75
1
∞161
8
1∞02
5
2
8
9
1
∞2
1
∞63
∞192
9
起点到 该点的 最短距
离
Y（ T标 号 ）
一个较大型的网络，这当然需借助快速的计算工具——计算机。那么，
如何将一个图表示在计算机中，或者，如何在计算机中存储一个图呢？
现在已有很多存储的方法，但最基本的方法就是采用矩阵来表示一个
图，图的矩阵表示也根据所关心的问题不同而有——邻接矩阵、关联
矩阵、权矩阵等。
邻接矩阵——对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方 矩阵A=（aij） nn，其中
不存在，这就是著名的“哥尼斯堡 7 桥”难题。
A
D C
B
第1页/共59页
图与网络模型Graph Theory
引言
“哥尼斯堡 7 桥”难题最终在 1736 年由数学家 Euler 的一篇论文
给予了完满的解决，这是图论的第一篇论文。在后来的两百年间图
论的发展是缓慢的，直到 1936 年匈牙利数学家 O.König写出了图论
M=（mij） 3
1 0 1 0 0
010000000 0
100100000 0 0 100011100 0 0 000000010 0
=
v1
e7
v8
4 0011110000 0 0
v

e8
5 0000000011 0 0
v
6 0000000001 1 1
v 0001001100 0 0
第10页/共759页