贪婪算法中ROMP算法的原理介绍及MATLAB仿真

压缩感知重构算法之正则化正交匹配追踪(ROMP)
正交匹配追踪算法每次迭代均只选择与残差最相关的一列，自然人们会想：“每次迭代是否可以多选几列呢”，正则化正交匹配追踪(RegularizedOMP)就是其中一种改进方法。

本篇将在上一篇《压缩感知重构算法之正交匹配追踪(OMP)》的基础上给出正则化正交匹配追踪(ROMP)算法的MATLAB函数代码，并且给出单次测试例程代码、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码。

0、符号说明如下：
压缩观测y=Φx，其中y为观测所得向量M×1，x为原信号N×1（M<<N）。

x一般不是稀疏的，但在某个变换域Ψ是稀疏的，即x=Ψθ，其中θ为K稀疏的，即θ只有K个非零项。

此时y=ΦΨθ，令A=ΦΨ，则y=Aθ。

(1) y为观测所得向量，大小为M×1
(2)x为原信号，大小为N×1
(3)θ为K稀疏的，是信号在x在某变换域的稀疏表示
(4)Φ称为观测矩阵、测量矩阵、测量基，大小为M×N
(5)Ψ称为变换矩阵、变换基、稀疏矩阵、稀疏基、正交基字典矩阵，大小为N×N
(6)A称为测度矩阵、传感矩阵、CS信息算子，大小为M×N
上式中，一般有K<<M<<N，后面三个矩阵各个文献的叫法不一，以后我将Φ称为测量矩阵、将Ψ称为稀疏矩阵、将A称为传感矩阵。

1、ROMP重构算法流程：
我将原子选择过程封装成了一个MATLAB函数，代码如下(Regularize.m)：
1.function [val,pos] = Regularize(product,Kin)
2.%Regularize Summary of this function goes here
3.% Detailed explanation goes here
4.% product = A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积
5.% K为稀疏度
6.% pos为选出的各列序号
7.% val为选出的各列与残差的内积值
8.% Reference:Needell D，Vershynin R. Uniform uncertainty principle and
9.% signal recovery via regularized orthogonal matching pursuit.
10.% Foundations of Computational Mathematics, 2009,9(3): 317-334.
11. productabs = abs(product);%取绝对值
12. [productdes,indexproductdes] = sort(productabs,'descend');%降序排列
13. for ii = length(productdes):-1:1
14. if productdes(ii)>1e-6%判断productdes中非零值个数
15. break;
16. end
17. end
18. %Identify:Choose a set J of the K biggest coordinates
19. if ii>=Kin
20. J = indexproductdes(1:Kin);%集合J
21. Jval = productdes(1:Kin);%集合J对应的序列值
22. K = Kin;
23. else%or all of its nonzero coordinates,whichever is smaller
24. J = indexproductdes(1:ii);%集合J
25. Jval = productdes(1:ii);%集合J对应的序列值
26. K = ii;
27. end
28. %Regularize:Among all subsets J0∈J with comparable coordinates
29. MaxE = -1;%循环过程中存储最大能量值
30. for kk = 1:K
31. J0_tmp = zeros(1,K);iJ0 = 1;
32. J0_tmp(iJ0) = J(kk);%以J(kk)为本次寻找J0的基准(最大值)
33. Energy = Jval(kk)^2;%本次寻找J0的能量
34. for mm = kk+1:K
35. if Jval(kk)<2*Jval(mm)%找到符合|u(i)|<=2|u(j)|的
36. iJ0 = iJ0 + 1;%J0自变量增1
37. J0_tmp(iJ0) = J(mm);%更新J0
38. Energy = Energy + Jval(mm)^2;%更新能量
39. else%不符合|u(i)|<=2|u(j)|的
40. break;%跳出本轮寻找，因为后面更小的值也不会符合要求
41. end
42. end
43. if Energy>MaxE%本次所得J0的能量大于前一组
44. J0 = J0_tmp(1:iJ0);%更新J0
45. MaxE = Energy;%更新MaxE，为下次循环做准备
46. end
47. end
48. pos = J0;
49. val = productabs(J0);
50.end
2、正则化正交匹配追踪(ROMP)MATLAB代码(CS_ROMP.m)
这个函数是完全基于上一篇中的CS_OMP.m修改而成的。

1.function [ theta ] = CS_ROMP( y,A,K )
2.%CS_ROMP Summary of this function goes here
3.%Version: 1.0 written by jbb0523 @2015-04-24
4.% Detailed explanation goes here
5.% y = Phi * x
6.% x = Psi * theta
7.% y = Phi*Psi * theta
8.% 令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta
9.% 现在已知y和A，求theta
10.% Reference:Needell D，Vershynin R．Signal recovery from incomplete and
11.% inaccurate measurements via regularized orthogonal matching pursuit[J]．
12.% IEEE Journal on Selected Topics in Signal Processing，2010，4(2)：310—316.
13. [y_rows,y_columns] = size(y);
14. if y_rows<y_columns
15. y = y';%y should be a column vector
16. end
17. [M,N] = size(A);%传感矩阵A为M*N矩阵
18. theta = zeros(N,1);%用来存储恢复的theta(列向量)
19. At = zeros(M,3*K);%用来迭代过程中存储A被选择的列
20. Pos_theta = zeros(1,2*K);%用来迭代过程中存储A被选择的列序号
21. Index = 0;
22. r_n = y;%初始化残差(residual)为y
23. %Repeat the following steps K times(or until |I|>=2K)
24. for ii=1:K%迭代K次
25. product = A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积
26. %[val,pos] = max(abs(product));%找到最大内积绝对值，即与残差最相关的列
27. [val,pos] = Regularize(product,K);%按正则化规则选择原子
28. At(:,Index+1:Index+length(pos)) = A(:,pos);%存储这几列
29. Pos_theta(Index+1:Index+length(pos)) = pos;%存储这几列的序号
30. if Index+length(pos)<=M%At的行数大于列数，此为最小二乘的基础(列线性无关)
31. Index = Index+length(pos);%更新Index，为下次循环做准备
32. else%At的列数大于行数，列必为线性相关的,At(:,1:Index)'*At(:,1:Index)将不可逆
33. break;%跳出for循环
34. end
35. A(:,pos) = zeros(M,length(pos));%清零A的这几列(其实此行可以不要因为它们与残差正交)
36. %y=At(:,1:Index)*theta，以下求theta的最小二乘解(Least Square)
37. theta_ls = (At(:,1:Index)'*At(:,1:Index))^(-1)*At(:,1:Index)'*y;%最小二乘解
38. %At(:,1:Index)*theta_ls是y在At(:,1:Index)列空间上的正交投影
39. r_n = y - At(:,1:Index)*theta_ls;%更新残差
40. if norm(r_n)<1e-6%Repeat the steps until r=0
41. break;%跳出for循环
42. end
43. if Index>=2*K%or until |I|>=2K
44. break;%跳出for循环
45. end
46. end
47. theta(Pos_theta(1:Index))=theta_ls;%恢复出的theta
48.end
3、ROMP单次重构测试代码
以下测试代码与上一篇中的OMP单次测试代码基本完全一致，除了M和K参数设置及调用CS_ROMP函数三处之外。

1.%压缩感知重构算法测试
2.clear all;close all;clc;
3.M = 128;%观测值个数
4.N = 256;%信号x的长度
5.K = 12;%信号x的稀疏度
6.Index_K = randperm(N);
7.x = zeros(N,1);
8.x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的
9.Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
10.Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵
11.A = Phi * Psi;%传感矩阵
12.y = Phi * x;%得到观测向量y
13.%% 恢复重构信号x
14.tic
15.theta = CS_ROMP(y,A,K);
16.x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
17.toc
18.%% 绘图
19.figure;
20.plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号
21.hold on;
22.plot(x,'r');%绘出原信号x
23.hold off;
24.legend('Recovery','Original')
25.fprintf('\n恢复残差：');
26.norm(x_r-x)%恢复残差
运行结果如下：（信号为随机生成，所以每次结果均不一样）
1）图：
2）Commandwindows
Elapsed time （运行时间）is 0.022132 seconds.
恢复残差：
ans=
7.8066e-015
4、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码
以下测试代码与上一篇中的OMP测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码基本完全一致。

本程序在循环中填加了“kk”一行代码并将“M = M_set(mm)”一行的分号去掉，这是为了在运行过程中可以观察程序运行状态、知道程序到哪一个位置。

重构调用CS_ROMP函数并将save命令的文件名改为
ROMPMtoPercentage1000，以防止将OMP存储的数据覆盖（因为本人的所有代码都在一个目录下）。

1.clear all;close all;clc;
2.%% 参数配置初始化
T = 1000;%对于每组(K,M,N)，重复迭代次数
4.N = 256;%信号x的长度
5.Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
6.K_set = [4,12,20,28,36];%信号x的稀疏度集合
7.Percentage = zeros(length(K_set),N);%存储恢复成功概率
8.%% 主循环，遍历每组(K,M,N)
9.tic
10.for kk = 1:length(K_set)
11. K = K_set(kk);%本次稀疏度
12. M_set = K:5:N;%M没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了
13. PercentageK = zeros(1,length(M_set));%存储此稀疏度K下不同M的恢复成功概率
14. kk
15. for mm = 1:length(M_set)
16. M = M_set(mm)%本次观测值个数
17. P = 0;
18. for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次
19. Index_K = randperm(N);
20. x = zeros(N,1);
21. x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的
22. Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵
23. A = Phi * Psi;%传感矩阵
24. y = Phi * x;%得到观测向量y
25. theta = CS_ROMP(y,A,K);%恢复重构信号theta
26. x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
27. if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
28. P = P + 1;
29. end
30. end
31. PercentageK(mm) = P/CNT*100;%计算恢复概率
32. end
33. Percentage(kk,1:length(M_set)) = PercentageK;
34.end
35.toc
36.save ROMPMtoPercentage1000 %运行一次不容易，把变量全部存储下来
37.%% 绘图
38.S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];
39.figure;
40.for kk = 1:length(K_set)
41. K = K_set(kk);
42. M_set = K:5:N;
43. L_Mset = length(M_set);
44. plot(M_set,Percentage(kk,1:L_Mset),S(kk,:));%绘出x的恢复信号
45. hold on;
46.end
47.hold off;
48.xlim([0 256]);
49.legend('K=4','K=12','K=20','K=28','K=36');
50.xlabel('Number of measurements(M)');
51.ylabel('Percentage recovered');
52.title('Percentage of input signals recovered correctly(N=256)(Gaussian)');
本程序在联想ThinkPadE430C笔记本（4GBDDR3内存，i5-3210）上运行共耗时871.829395秒（上篇中OMP运行共耗时1171.606254秒），程序中将所有数据均通过“save ROMPMtoPercentage1000”存储了下来，以后可以再对数据进行分析，只需“load ROMPMtoPercentage1000”即可。

程序运行结果比文献[4]的Fig.1要差（OMP仿真结果比文献中的要好），原因不详。

我调用了文献[2]中的ROMP函数，效果和这里的CS_ROMP差不多。

文献[4]中的Fig.1：
5、结语
国内引用ROMP文献时一般为[4]和[5]，文献[4]更早一些，其实它们有关ROMP的叙述基本是一样子的，下面分别是文献[4]和[5]中的ROMP步骤：
文献[4]：
文献[5]：
其实它们基本是一样的，除了综上迭代的条件略有不同，本文的CS_ROMP中都进行了考虑。

其实若要看ROMP的原理，建议看文献[4]的1.4节：
另外，针对ROMP的改进算法也很多，后面看些文献再叙吧。

推荐看看文献[6][7]两篇重构算法的综述性文献，本文第一句话就来自文献[6]。

比较本文的ROMP仿真结果与上一篇中OMP的仿真结果可以发现效果远没有OMP好，当然本文文献[4]中的Fig.1比上一篇文献[1]中的Fig.1，其中原因不详。

参考文献：
【1】沙威.CS_OMP，http://www.eee.hku.hk/~wsha/Freecode/Files/CS_OMP.zip
【2】lsz137105，正则化正交匹配追踪代码，/detail/lsz137105/4511935
【3】angshul，ROMP，/downloads150/sourcecode/math/detail648814.html
【4】Needell D，VershyninR. Uniform uncertainty principle and signal recovery via regularized orthogonalmatching pursuit. Foundations of Computational Mathematics, 2009,9(3): 317-334.
【5】Needell D，VershyninR．Signal recovery from incompleteand inaccurate measurements via regularized orthogonal matching pursuit[J]. IEEEJournal on Selected Topics in Signal Processing, 2010, 4(2): 310—316.
【6】杨海蓉，张成，丁大为，韦穗. 压缩传感理论与重构算法[J].电子学报，2011，39(1)：142-148.
【7】杨真真，杨震，孙林慧. 信号压缩重构的正交匹配追踪类算法综述[J]. 信号处理，2013，29(4)：486-496.。