2020-2021人教版数学七年级下册 专项测试卷(二)新定义数学问题

人教版数学七年级下册 专项测试卷（二）新定义数学问题
一、按要求做题
1．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ．规定a ※b =ab ²+2ab+a ，如1※2=1x2²+2x1x2+1=9.
(1)求(-4)※3；
(2)若2
1+a ※3=-16，求a 的值．
2．定义新运算：对于任意实数a 、b 都有a ▲b=ab -a -b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2▲4= 2x4-2-4+1=3．试根据上述知识解决下列问题．
(1)若3▲x =6，求x 的值；
(2)若▲x 5的值不大于9，求x 的取值范围．
3．对于实数a ，我们规定：用符号[a ]表示不大于a 的最大整数，称为a 的根整数，例如：[9]=3，[10]_3．
(1)仿照以上方法计算：[4]=____，[37]=____.
(2)若[x ]=1，写出满足题意的x 的整数值：____；
如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1．例如：对10连续求根整数2次，[10]=3→[3]=1，这时的结果为1．
(3)对120连续求根整数，____次之后结果为1；
(4)只需进行3次连续求根整数运算，最后结果为1的所有正整数中，最大的是____.
4．对于实数a 、b ，定义两种新运算“※”和“*”：a ※b=a+kb ，a*b=ka+b(其中k 为常数，且k ≠0)．若对于平面直角坐标系xOy 中的点P(a ，b)，有点P'(a ※b ，a*b)与之对应，则称点P 的“k 衍生点”为点P'，例如：P(1，3)的“2衍生点”为P'(1+2x3，2x1+3)，即P'(7，5).
(1)点P( -1，5)的“3衍生点”的坐标为____；
(2)若点P 的“5衍生点”的坐标为(9，-3)，求点P 的坐标；
(3)若点P 的“k 衍生点”为点P'，且直线PP'平行于y 轴，线段PP'的长度为线段OP 长度的3倍，求k 的值．
5．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P ₁(x ₁，y ₁)与P ₂(x ₂，y ₂)的“识别距离”，给出如下定义： 若y y x x 2121-≥-，则点P ₁(x ₁，y ₁)与点P ₂(x ₂，y ₂)的“识别距离”为x x 21-；
若y y x x 2121--＜，则点P ₁(x ₁，y ₁)与点P ₂(x ₂，y ₂)的“识别距离”为y y 21-．
(1)已知点A(-1,0)，点B 为y 轴上的动点．
①若点A 与点B 的“识别距离”为2，则写出满足条件的点B 的坐标为____；
②直接写出点A 与点B 的“识别距离”的最小值为____；
(2)已知点C 的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛+343m m ，点D 的坐标为(0，1)，求点C 与点D 的“识别距离”的最小值及相应的点C 的坐标.
6．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 的“矩面积”，给出如下定义，“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah.例如：三点坐标分别为A(1，2)、B(-3，1)、C(2，-2)，则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”D=ah=20.根据所给定义解决下列问题：
(1)已知点D(1，2)、E(-2，1)、F(0，6)，则这三点的“矩面积”S=____；
(2)若D(1，2)、E(-2，1)、F(0，t)三点的“矩面积”S 为18，求点F 的坐标．
7．[阅读材料，获取新知]
在航空、航海等领域我们经常用距离和角度来确定点的位置，规定如下：在平面内取一个定点O ．叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定单位长度和角度的正方向(通常取逆时针方向)．对于平面内任意一点M ，用p 表示线段OM 的长度(有时也用r 表示)，p 表示从O x 到OM 的角度，p 叫做点M 的极径，ρ叫做点M 的极角，有序数对(p ，θ)就叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系．通常情况下,M 的极径坐标单位为1(长度单位)，极角坐标单位为rad(或°)．
例如：如图①所示，点M 到点O 的距离为5个单位长度，OM 与O x 的夹角为70°(O x 的逆时针方向)．则点M 的极坐标为(5，70°)；点N 到点O 的距离为3个单位长度，ON 与O x 的夹角为50°(O x 的顺时针方向)，则点N 的极坐标为(3，-500)．
[利用新知，解答问题]
如图②所示，已知过点O 的所有射线等分圆周且相邻两射线的夹角为15°，且极径坐标单位为1．
(1)点A 的极坐标是____，点D 的极坐标是____.
(2)请在图②中标出点B(5，45°)，点E(2，-90°)；
(3)怎样从点B 运动到点C?
小明设计的一条路线为点B →(4，45°)→(3，45°)→(3，30°)→点C ．
请你设计一条与小明不同的路线，也可以从点B 运动到点C ．
8．定义：可化为其中一个未知数的系数都为1，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关线性方程组”，如所示，其中k 、b 称为该方程组的“相关系数”．
(1)若关于x 、y 的方程组可化为“相关线性方程组”，则该方程组的解为____，
(2)若某“相关线性方程组”有无数组解，求该方程组的两个“相关系数”之和．
9．阅读下列材料：
我们给出如下定义：数轴上给定不重合的两点A 、B ，若数轴上存在一点M ，使得点M 到点A 的距离等于点M 到点B 的距离，则称点M 为点A 与点B 的“平衡点”．
解答下列问题：
(1)若点A 表示的数为-3。

点B 表示的数为1，点M 为点A 与点B 的“平衡点”，则点M 表示的数为____；
(2)若点A 表示的数为-3，点A 与点B 的“平衡点”M 表示的数为1，则点B 表示的数为____；
(3)点A 表示的数为-5，点C 、D 表示的数分别是-3、-1，点D 为数轴原点，点B 为线段CD 上一点(不与C 、D 重合)．
①设点M 表示的数为m ，若点M 可以为点A 与点B 的“平衡点”，则m 的取值范围是____；
②当点A 以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点C 同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动，设移动的时间为x(t>0)秒，若点O 可以为点A 与点B 的“平衡点”，求t 的取值范围．
10.阅读材料：
我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”即如果a -b=a ÷b ，那么a 与b 就叫做“差商等数对”，记为(a ，b)．例如：4-2=4÷2，29-3=
29÷3，()()121121-÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-,则称数对（4,2）⎪⎭⎫ ⎝⎛3,29，⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1,21是“差商等数对”， 根据上述材料，解决下列问题：
(1)下列数对中，是“差商等数对”的为____ (填序号)；
①(- 8.1，-9) ②⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,21 ③(22+2，2) (2)如果(x ，4)是“差商等数对”，请求出x 的值；
(3)如果(m ，n)是“差商等数对”，那么m=____ (用含n 的代数式表示)．
专项训练卷(二) 新定义数学问题
1．解析：(1)原式= -4x3²+2x(-4)x3+(-4)=-64. (2)∵21+a ※3=-16，∴21+a ×9+2×21+a ×3+ 2
1+a =-16，解得a=-3． 2．解析：(1)∵3▲x =6，∴133+--x x =6，∴22-x =6,∴2x -2=6或2x -2=-6，解得x=4或-2．
(2)根据题意得5▲x ≤9，∴5x -5-x+1≤9．∴4x ≤13，∴x ≤413，∴x 的取值范围是x ≤4
13． 3．解析：(1)∵2² =4，6²= 36，7²=49,∴[4]=2，6<37<7，∴[37]=6．故答案为2;6.
(2)∵1²=1，2² =4，且[x ]=1，∴满足题意的x 的整数值为1，2，3．故答案为1，2，3．
(3)第1次：[120]=10；第2次：[10]=3；第3次：[3]=1．故答案为3．
(4)最大的正整数是255．理由：∵[255]=15，[15]=3，[3]=1，
∴对255只需进行3次连续求根整数运算，最后结果为1．∵[256]=16， [16] =4，[4]=2，[2]=1，∴对256需进行4次连续求根整数运算，最后结果为1，∴只需进行3次连续求根整数运算，最后结果为1的所有正整数中，最大的是255.
4.解：(1)点P(-1，5)的，“3衍生点”的坐标为(- 1+3x5，-1x3+5)．即(14，2)．故答案为(14，2).
(2)设P(x ，y)，依题意得，解得，∴点P 的坐标为(-1,2)．
(3)设P(a ，b)，则P'的坐标为(a+kb ，ka+b)．∵直线PP'平行于y 轴，∴a=a+kb ，即kb=0，又∵k ≠0，∴b=0．∴点P 的坐标为(a ，0)，点P'的坐标为(a ，ka)，∴线段PP'的长度为ka ，线段OP 的长度为a ．根据题意，得ka =3a ，∴k=±3．
5．解析：(1)①(0，2)或(0，-2)．②1.
(2)由题意得13430-+=
-m m ，解得m=8或78-，当m=8时，“识别距离”为8；当m=78-时，“识别距离”为78，所以点C 与点D 的“识别距离”的最小值为78，相应的点C 的坐标为(78-，7
15)． 6．解析：(1)∵点D(1，2)、E(-2，1)、F(0，6)，∴“水平底”a=1-(-2)=3，“铅垂高”h=6-1 =5,∴“矩面积”S=ah=3x5=15。

故答案为15．
(2)由题意可得，“水平底”a=1-(-2)=3，当t>2时，“铅垂高”h=t -1,∴3(t -1)=18，解得t=7，故点F 的坐标为(0，7)；当1≤t ≤2时，“铅垂高”h=2-1=1,“矩面积”S=3x1=3≠18，故此种情况不符合题意；当t<1时，“铅垂高”h=2-t ，∴3(2-t)= 18，解得t =-4，故点F 的坐标为(0，-4)．综上，点F 的坐标为(0，7)或(0，-4)．
7．解析：(1)(4，75°)，(3，-30°)．
(2)如图所示．
(3)点B →(5，30°)→(5，15°)→(4，15°)→点C ．
8．解析：(1)方程组，可整理为，根据“相关线性方程组”的定义，可得21-=n m ，36-=-n ，
∴n=2,m=-1，∴原方程组为，解得，故答案为．
(2)设题中的“相关线性方程组”为，∵该方程组有无数组解，∴b=-b ，k=k 1，∴b=0,k=±1，∴k+b=±1，即该方程组的两个“相关系数”之和为1．或-1.
9．解析：(1)点M 表示的数为2
13+-=-1，故答案为-1． (2)点B 表示的数为1x2-(-3)=5．故答案为5．
(3)①设点B 表示的数为n ，∵点B 为线段CD 上一点(不与C 、D 重合)，
∴-3<n,<-1，又∵点M 可以为点A 与点B 的“平衡点”，点A 表示的数为-5,
∴m 的取值范围为-4<m<-3．故答案为-4<m<-3．
②易知运动过程中点A 表示的数为t -5，点C 表示的数为3t -3，当点O 为点A 与点B 的“平衡点”时，点B 表示的数为5-t ，∵点B 在线段CD 上，∴当点B 与点C 重合时，t=2;当点B 与点D 重合时，t=6，∴2<t<6．综上所述，当2<t<6时，点O 可以为点A 与点B 的“平衡点”．
10．解析：(1)是“差商等数对”的为①③．
(2)根据题中的定义得，x -4 =x ÷4，解得x=
216， (3)根据题意得．m -n=n m ，整理得m=1
2-n n .。