广东省广州市2024年高考考前提分数学仿真卷含解析

2024年高考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）
A ．10000立方尺
B ．11000立方尺
C ．12000立方尺
D ．13000立方尺
2．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）.
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
4．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．
的是( )
A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大
B ．这五年，2015年出口额最少
C ．这五年，2019年进口增速最快
D ．这五年，出口增速前四年逐年下降
6．已知函数()ln 1f x x =+，()1
22x g x e -
=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）
A ．1ln 22
+
B ．2e -
C ．1ln 22
-
D 12
e 7．已知i 是虚数单位，若1z
i i
=-，则||z =（ ） A 2
B ．2
C 3
D ．3
8．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2
()2f x x =，则(3)f =（ ）
A ．18-
B ．18
C ．2-
D ．2
9．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实
质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即222
22
21[()]42
c a b S a c +-=-若ABC ∆的面积112S =
，3a =2b =，则sin A 等于（ ）
A 55
B 11
C 5511
D ．
1120或
11
36
10．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ） A ．55
-
B ．
55
C ．25
5
-
D ．
25
5
11．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )
A ．16163
π+
B ．8163
π+
C ．
32833
π+ D ．
321633
π+ 12．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面
ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）
A ．αβγ≥≥
B ．βαγ≥≥
C ．αγβ≥≥
D ．γαβ≥≥
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与C 的交点为,A B ，若||||5AF BF +=，则直线l 的方程为___________．
14．四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，2AB BD =1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为______
15．在如图所示的三角形数阵中，用().i j a i j ≥表示第i 行第j 个数()
*
,i j N ∈，已知()*.1i 11
12
i a i N -=-
∈，且当3i ≥时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即(). 1.1 1.21i j i j i j a a a j i ---=+≤≤-，若.22019m a >，则正
整数m 的最小值为______.
1
1
112
2
331
4
4
77778
4
4
8
152********
8
28
16
111122n n --⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
-⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
-
16．若3
21()(2)573
f x kx k x k =
+--+在()0,2上单调递减，则k 的取值范围是_______ 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设等差数列{}n a 满足39a =-，105a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最小的n 的值.
18．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面PCD ，
底面ABCD 满足AD ∥BC ，1
22
AP AB BC AD ====，90ABC ∠=︒，E 为AD 的中点，AC 与BE 的交点为O .
（1）设H 是线段BE 上的动点，证明：三棱锥H PCD -的体积是定值； （2）求四棱锥P ABCD -的体积；
（3）求直线BC 与平面PBD 所成角的余弦值．
19．（12分）如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，CB 2GF,BF CF ==.
（1）求证：AB CG ⊥；
（2）若BC CF =，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值. 20．（12分）已知函数()x
f x e ax =+，()ln x
g x e x =.
（1）若对于任意实数0x ≥，()0f x >恒成立，求实数a 的范围；
（2）当1a =-时，是否存在实数[]01,x e ∈，使曲线C ：()()y g x f x =-在点0x 处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；若不存在，说明理由.
21．（12分）如图，己知圆2
2
21:(0)2r x y r r ⎛⎫Γ+-=> ⎪⎝
⎭和双曲线2222:1(0)y x b b Γ-=>，记1Γ与y 轴正半轴、x 轴
负半轴的公共点分别为A 、B ，又记1Γ与2Γ在第一、第四象限的公共点分别为C 、D .
（1）若2r ，且B 恰为2Γ的左焦点，求2Γ的两条渐近线的方程； （2）若2r
，且(,5)AC AD m +=-，求实数m 的值；
（3）若B 恰为2Γ的左焦点，求证：在x 轴上不存在这样的点P ，使得 2.019PA PC -=. 22．（10分）已知函数()sin 2(0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin 44
f A f B A B π
π
-
+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求
ABC ∆的面积．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的
四棱锥的体积
由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈
立方尺．
故选A ．
【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键． 2、C 【解析】
试题分析：根据题意，当2x ≤时，令213x -=，得2x =±；当2x >时，令2log 3x =，得
9x =，故输入的实数值的个数为1．
考点：程序框图． 3、C 【解析】
若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则m S 为n S 的最大值，所以由已知，只需求出n S 取得最大值时的n 即可. 【详解】
由已知，1a >2a >30a >，又三角形有一个内角为120︒，所以222
12323a a a a a =++，
22211111(2)(4)(2)(4)a a a a a =-+-+--，解得17a =或12a =（舍），
故2(1)
7(2)82
n n n S n n n -=+⨯-=-+，当4n =时，n S 取得最大值，所以4m =. 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题. 4、B 【解析】
构造长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m ，n 即可进行判断．
【详解】
如图，取长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，直线AD =直线l 。

若令AD 1＝m ，AB ＝n ，则m ⊥n ，但m 不垂直于l
若m ⊥l ，由平面ABCD ⊥平面11ADD A 可知，直线m 垂直于平面β，所以m 垂直于平面β内的任意一条直线n
∴m ⊥n 是m ⊥l 的必要不充分条件． 故选：B ．
【点睛】
本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m ⊥n ⇒m ⊥l ？和m ⊥l ⇒m ⊥n ？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．
5、D 【解析】
根据统计图中数据的含义进行判断即可. 【详解】
对A 项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A 正确； 对B 项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B 正确；
对C 项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C 正确； 对D 项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D 错误； 故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题. 6、A 【解析】
分析：设()()f m g n t ==，则0t >，把,m n 用t 表示，然后令()h t m n =-，由导数求得()h t 的最小值．
详解：设()()f m g n t ==，则0t >，1t m e -=，11ln
ln ln 2222
t n t =+=-+， ∴11ln ln 22t m n e t --=-+-，令1
1()ln ln 22
t h t e t -=-+-，
则11'()t h t e t -=-，1
21"()0t h t e t
-=+>，∴'()h t 是(0,)+∞上的增函数，
又'(1)0h =，∴当(0,1)t ∈时，'()0h t <，当(1,)t ∈+∞时，'()0h t >， 即()h t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()h 1是极小值也是最小值，
1(1)ln 22
h =
+，∴m n -的最小值是1
ln 22+．
故选A ．
点睛：本题易错选B ，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求b a -的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数()h t 的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错． 7、A 【解析】 直接将
1z
i i
=-两边同时乘以1i -求出复数z ，再求其模即可. 【详解】 解：将
1z
i i
=-两边同时乘以1i -，得 ()11z i i i =-=+
z =故选：A 【点睛】
考查复数的运算及其模的求法，是基础题.
8、C 【解析】
由题设条件()()4f x f x +=，可得函数的周期是4，再结合函数是奇函数的性质将()3f 转化为()1f 函数值，即可得到结论. 【详解】
由题意，()()4f x f x +=，则函数()f x 的周期是4， 所以，()()()3341f f f =-=-，
又函数()f x 为R 上的奇函数，且当()0,2x ∈时，()2
2f x x =，
所以，()()()3112f f f =-=-=-. 故选：C. 【点睛】
本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题. 9、C 【解析】
将2S =，a =2b =，代入S =225,9c c ==，再分类讨论，利用余
弦弦定理求cos A ，再用平方关系求解. 【详解】
已知2
S =
，a =2b =，
代入S =
2
=
即4212450c c -+= ， 解得225,9c c ==，
当2
5c =时，由余弦弦定理得：2
22cos 210
b c a A bc +-==
，sin 10
A ==
.
当2
9c =时，由余弦弦定理得：2225
cos 26
b c a A bc +-== ，11
sin 6
A =
=
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题. 10、D 【解析】
倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果. 【详解】
解：因为直线l 与直线230x y +-=垂直，所以1tan 12θ⎛⎫
⋅-
=- ⎪⎝⎭
，tan 2θ=.
又θ为直线倾斜角，解得sin =5
θ. 故选：D. 【点睛】
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题. 11、B 【解析】
该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为111
V 44244223
π=
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯， 8
163
π=+.
故选B
点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 12、A 【解析】
作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E ,分析可得'DED α,'DAD β=∠,再根据正弦的大小关系判断分析得αβ≥,
再根据线面角的最小性判定βγ≥即可. 【详解】
作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E .
因为平面DAB ⊥平面ABC ,'DD ⊥平面ABC .故,'AC DE AC DD ⊥⊥, 故AC ⊥平面'DED .故二面角D AC B --为'DED α
.
又直线DA 与平面ABC 所成角为'DAD β=∠,因为DA DE ≥, 故''sin '
sin 'DD DD DED DAD DE DA
.故αβ≥,当且仅当,A E 重合时取等号.
又直线AB 与平面ADC 所成角为γ,且'DAD β=∠为直线AB 与平面ADC 内的直线AD 所成角,故βγ≥,当且仅当BD ⊥平面ADC 时取等号. 故αβγ≥≥.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、220x y --= 【解析】
设直线l 的方程为2y x t =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与抛物线C 的方程，得到A ，B 点横坐标的关系式，代入到4AF BF +=中，解出t 的值，即可求得直线l 的方程. 【详解】
设直线()()1122:2,,,,l y x t A x y B x y =+． 由题设得()1,0F ，故122AF BF x x +=++，
由题设可得123x x +=．
由22,4y x t y x
=+⎧⎨=⎩可得()224410x t x t +-+=， 则121x x t +=-， 从而13t -=，得2t =-， 所以l 的方程为22y x =-, 故答案为：220x y --= 【点睛】
本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 14、4π 【解析】
由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求． 【详解】
解：如图，在四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，2AB BD ==，1CB CD ==，
可得90BCD ∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，12， 22211(2)2++=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1． 其表面积为2414ππ⨯=． 故答案为：4π． 【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题． 15、2023
【解析】
根据条件先求出数列,2{}n a 的通项，利用累加法进行求解即可． 【详解】
.11112n n a -=-
， 1.12
1
12
n n a --∴=-，()2n ≥， 下面求数列{}.2n a 的通项，
由题意知，.2 1.1 1.2n n n a a a --=+，()3n ≥，
.2 1.2 1.12
112
n n n n a a a ---∴-==-
，()3n ≥，
()()().2.2 1.2 1.2 2.2 3.2 2.2 2.2215
22
n n n n n n a a a a a a a a n ----∴=-+-+⋅⋅⋅+-+=
+-，
数列{}.2n a 是递增数列，且2021.22022.22019a a <<，
m ∴的最小值为2022.
故答案为：2022. 【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，结合数列的性质求出数列,2{}n a 的通项是解决本题的关键．综合性较强，属于难题． 16、(,1]-∞ 【解析】
由题意可得导数()0f x '
≤在()0,2恒成立，解出即可．
【详解】
解：由题意，2
()2(2)f'x kx k x =+-， 当0k ≤时，显然()0f x '<，符合题意； 当0k >时，()0f x '<在()0,2恒成立， ∴(0)0,(2)0,(0,1]f f k '≤≤∴∈， ∴(,1]k ∈-∞， 故答案为：(,1]-∞． 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）215n a n =-（2）2
(7)49n S n =--；7n =时，n S 取得最小值
【解析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1(1)n a a n d =+-，结合已知，联立方程组，即可求得答案.
（2）由（1）知214n S n n =-，故可得2
(7)49n S n =--，即可求得答案.
【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1(1)n a a n d =+-及39a =-，105a =
得11
29
95a d a d +=-⎧⎨
+=⎩ 解得113
2
a d =-⎧⎨
=⎩
数列{}n a 的通项公式为215n a n =-
（2）由（1）知2
14n S n n =-
2(7)49n S n =--
∴7n =时，n S 取得最小值.
【点睛】
本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 18、（1）证明见解析 （2
）P ABCD V -= （3
【解析】
（1）因为底面ABCD 为梯形，且BC ED =，所以四边形BCDE 为平行四边形，则BE ∥CD ， 又BE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BE 平面PCD ，
又因为H 为线段BE 上的动点，PCD 的面积是定值，从而三棱锥H PCD -的体积是定值. （2）因为PA ⊥平面PCD ，所以PA CD ⊥，结合BE ∥CD ，所以AP BE ⊥， 又因为AB BC ⊥，1
2
AB BC AD ==
，且E 为AD 的中点，所以四边形ABCE 为正方形，所以BE AC ⊥，结合AP AC A ⋂=，则BE ⊥平面APC ，连接PO ，则BE PO ⊥，
因为PA ⊥平面PCD ，所以PA PC ⊥，
因为22AC AB AP ==，所以PAC 是等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，
所以PO AC ⊥，且AC BE O =，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO 是四棱锥P ABCD -的高，
又因为梯形ABCD 的面积为11
()(242622
BC AD AB +⨯=⨯+⨯=）
， 在Rt APC △中，2PO =，所以11
622233
P ABCD ABCD V S PO -=⋅=⨯⨯=梯形.
（3）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，
则B 2，0，0），C （02，0），D （22-2，0），P （0，02）， 则(2,2,0),(2,0,2),(22,2,2)BC PB PD =-=-=-，
设平面PBD 的法向量为(,,)u v w =n ，则0,0
PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即220
,22220u w u v w ⎧=⎪⎨-=⎪⎩则3u w v w =⎧⎨=⎩，
令1w =，得到(1,3,1)n =，
设BC 与平面PBD 所成的角为α，则2123
22sin |cos ,||211
BC α-⨯+⨯===⨯n ， 所以2311
cos 1sin αα=- 所以直线BC 与平面PBD 所成角的余弦值为
311
11
． 19、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）6
4
【解析】
（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF ，易证四边形CDFG 为平行四边形，即//CG DF ，由于BF CF =，D 为BC 的中点，可得到DF BC ⊥，从而得到CG BC ⊥，即可证明CG ⊥平面ABC ，从而得到CG AB ⊥；（Ⅱ）易证DB ，DF ，
DA 两两垂直，以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，求出平面BEG 的
一个法向量为(),,n x y z =，设AE 与平面BEG 所成角为θ，则sin cos ,AE n AE n AE n
θ⋅=〈〉=⋅，即可得到答案．
【详解】
解：（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF .
由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，从而//BC FG . ∵2CB GF =，∴//CD GF ，
∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.
∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB 平面ABC ，
∴CG AB ⊥. （Ⅱ）连结AD .
由ABC ∆是正三角形，且D 为中点，则AD BC ⊥. 由（Ⅰ）知，CG ⊥平面ABC ，//CG DF ， ∴DF
AD ⊥，DF BC ⊥，
∴DB ，DF ，DA 两两垂直.
以DB ，DF ，DA 分别为x ，
y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.
设2BC =
，则(
00A ,，12
2E ⎛-
⎝⎭，()1,0,0B
，()
G -， ∴122
AE ⎛=-- ⎝⎭
，()
BG =-，322BE ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
.
设平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =.
由0
{0BG
n BE n ⋅=⋅
=
可得，20{30
2x
x z -+=-++=. 令x 2y =，1z =-，∴(
)
3,2,1n =
-.
设AE 与平面BEG 所成角为θ，则6
sin cos ,4
AE n AE n AE n
θ⋅=〈〉=
=⋅.
【点睛】
本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题．
20、（1）(),e -+∞；（2）不存在实数[]01,x e ∈，使曲线()y M x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直. 【解析】
（1）分类0x =时，恒成立，0x ≠时，分离参数为x e a x >-，引入新函数()x e H x x
=-，利用导数求得函数最值即
可；
（2）()()()ln x
x
M x f x g x e x e x =-=-+，导出导函数()M x '，问题转化为()0M x '=在[1,]e 上有解．再用导数研
究()M x 的性质可得． 【详解】
解：（1）因为当0x ≥时，()0x
f x e ax =+>恒成立，
所以，若0x =，a 为任意实数，()0x
f x e ax =+>恒成立.
若0x >，()0x
f x e ax =+>恒成立，
即当0x >时，x
e a x
>-，
设()x e H x x =-，()()22
1'x
x x x e
e x e H x x x --=-=
， 当()0,1x ∈时，()'0H x >，则()H x 在()0,1上单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()'0H x <，则()H x 在()1,+∞上单调递减， 所以当1x =时，()H x 取得最大值.
()()max 1H x H e ==-，
所以，要使0x ≥时，()0f x >恒成立，a 的取值范围为(),e -+∞.
（2）由题意，曲线C 为：ln x x
y e x e x =-+.
令()ln x
x
M x e x e x =-+，
所以()1'ln 1ln 11x x x x e M x e x e x e x x ⎛⎫
=+-+=+-+ ⎪⎝⎭
， 设()1ln 1h x x x =
+-，则()22111'x h x x x x
-=-+=， 当[]
1,x e ∈时，()'0h x ≥，
故()h x 在[]1,e 上为增函数，因此()h x 在区间[]1,e 上的最小值()1ln10h ==， 所以()1
ln 10h x x x
=
+-≥， 当[]01,x e ∈时，00x e >，
00
1
ln 10x x +-≥， 所以()0
0001'ln 110x M x x e x ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭
，
曲线ln x x
y e x e x =-+在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程()0'0M x =在[]
1,x e ∈上有实数解.
而()0'0M x >，即方程()0'0M x =无实数解.
故不存在实数[]01,x e ∈，使曲线()y M x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直. 【点睛】
本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键．本题属于困难题． 21、（1
）y =；（2
）m =；
（2）见解析．
【解析】
（1）由圆的方程求出B 点坐标，得双曲线的c ，再计算出b 后可得渐近线方程；
（2）设1122(,),(,)C x y D x y ，由圆方程与双曲线方程联立，消去x 后整理，可得12y y +，
1212(,6)PC PD x x y y +=++-，由(,5)AC AD m +=-先求出b ，回代后求得,C D 坐标，计算12m x x =+；
（3）由已知得2
2314b r =-，设1122(,),(,)C x y D x y ，由圆方程与双曲线方程联立，消去x 后整理，可解得2
12b
y r
=，
2223b y r =-，求出222
1122411y b x b r
=+=+，从而可得2AC =，由2PA PC AC -≤=，可知满足要求的P 点不存在． 【详解】
（1）由题意圆方程为22
(1)4x y +-=，令0y =
得x =，
∴(B ，
即c =
∴b ===1a =
，∴渐近线方程为y =．
（2）由（1）圆方程为22
(1)4x y +-=，(0,3)A ，
设1122(,),(,)C x y D x y ，由22222(1)4
1
x y y x b ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩
得，2222
(1)220b y b y b +--=(*)，
2
122
21b y y b +=+，212221
b y y b =-+， 11221212(,3)(,3)(,6)AC AD x y x y x x y y +=-+-=++-(,5)m =-， 所以1265y y +-=-，即2
22651
b b -=-+，解得1b =，
方程(*)为2
2220y y --=，即2
10y y --=
，12y ±=
221014
x y ±=+=，∵,C D 在
第一、四象限，∴1
x =
，2x =
，
∴12
m x x =+=．
（3）由题意3(0,
)2A r
，(,0)2B r -
，2c r =，222
2314b c a r =-=-
，3
r >， 设1122(,),(,)C x y D x y
由2
2222221r x y r
y x b ⎧⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩
得：22221()02y r y r b ++--=，2222
223(1)04b y rb y b r b +-+-=，
由2
2314b r +=得2224
304r y rb b --=，解得212b y r
=，2223b y r =-，
22
211
22411y b x b r
=+=+，
所以22
2222111323()()22b AC x y r x r r =+-=+-2
22221
222
34()
44414b r b x r r r -=+=++=， 2AC =，
2PA PC AC -≤=，当且仅当,,P A C 三点共线时，等号成立，
∴x 轴上不存在点P ，使得 2.019PA PC -=． 【点睛】
本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题．考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标．难度较大，属于困难题． 22、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
(1)由题意，f(x)2m 2+，2m 2 2.+=而m>0，于是2，f(x)=2sin(x+4
π
).由正弦函数的单调性可得x 满足32k x 2k (k Z)2
4
2π
π
πππ+
≤+
≤+
∈，即52k x 2k (k Z).44
ππππ+≤≤+∈所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为
,.4
π
π［］
(2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得c 3
2R 2 3.sin?C sin60=
==︒化简f (A )f (B )46sinAsin?B 44
ππ-+-=，得6sin Asin B.由正弦定理，得()2R a b 26ab,a b 2ab.+=+=① 由余弦定理，得a 2+b 2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0②
将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或3ab 2=-(舍去)，故ABC 133
S absinC 2∆==。