2019-2020学年云南省昆明市高二下学期期中联考数学(理)试题(解析版)

云南省昆明市2019-2020学年高二下学期期中联考数学（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：人教A 版选修2—2占50%，必修1，2，3，4，5占50%．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数31i
z i
=
+的虚部为（ ） A ．32-
B ．32
C ．32i -
D ．32
i 2．已知集合{|67},{|47}A x x A B x x =-<<⋂=-<<，则集合B 可能为（ ） A ．{|67}x x -<< B ．{|48}x x -<< C ．{|45}x x -<< D ．{|68}x x -<<
3．为了比较甲、乙、丙三组数据的线性相关性的强弱，小郑分别计算了甲、乙、丙三组数据的线性相关系数，其数值分别为0.939，0.937，0.948，则（ ） A ．甲组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱 B ．乙组数据的线性相关性最强，丙组数据的线性相关性最弱 C ．丙组数据的线性相关性最强，甲组数据的线性相关性最弱 D ．丙组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱
4．已知函数()sin3cos ,()f x x x f x '=+为()f x 的导函数，则()f x '=（ ） A ．3cos3sin x x - B ．cos3sin x x - C ．cos3sin x x + D ．3cos3sin x x + 5．已知1
153
213,,log 325a b c ⎛⎫⎛⎫
==-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则（ ） A ．b c a << B ．c b a << C ．b a c << D ．a b c <<
6．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若2
2
()(2a c b ac +=++，则角B 的大小为（ ） A ．
6π B ．4
π
C ．34π
D ．56π
7．已知幂函数(
)
2
()3m
f x m x =-在(0,)+∞上是减函数，则函数
()()1g x f x x =-+的零点所在的
区间为（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
8．港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内，是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界．2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩短．为了解实际通行所需时间，随机抽取了n 台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[35,50]的范围内，按通行时间分为
[35,38),[38,41),[41,44),[44,47),[47,50]五组，其中通行时间在[38,47)的车辆有182台，频率分布直方
图如图所示，则n =（ ）
A ．280
B ．260
C ．250
D ．200
9．要得到函数1()sin 222
f x x x =-
+的图象，只需把函数()sin 2g x x =的图象（ ） A ．向左平移
6π个单位长度 B ．向右平移6π
个单位长度 C ．向左平移
3π个单位长度 D ．向右平移3
π
个单位长度 10．函数()(sin )cos f x x x x =+的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中记载这样一个问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数试问这些士兵总人数可能为（ ）
A ．2006
B ．2111
C ．2113
D ．2141
12．设函数()f x 的定义域为R ，(1)2f x +-为奇函数，且当1x 时，2ln ()x x
f x x
+=，若()f x 最大值为M ，最小值为N ．现有下列四个结论： ①2M N e -=
；②4M N +=；③211MN e =-；④2
2
M e N e +=-．
其中所有正确结论的编号为（ ）
A ．①②
B ．②③④
C ．①②③
D ．①②③④
第Ⅱ卷
一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上．
13．若复数21()z m mi m =-+∈R 在复平面内的对应点位于第二象限，则m 的取值范围是______． 14．已知向量(0,2),(23,)a b x ==，且a 与b 的夹角为
3
π
，则x =
_______． 15
O 的球面上，则球O 的表面积为______．
16．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这是一种无限与有限的转化过程，
比如在正数
12
1211++
中的“…”代表无限次重复，设
12
1211x =
++
，则可以利用方程121x x =+，求得x ，
=
_________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知方程2
(4)40()x i x ai a ++++=∈R 的两根分别为12,z z ，且1z ∈R ． （1）求a 的值；
（2）复数12,z z 对应的向量为12,OZ OZ ，求以12,OZ OZ 为邻边的平行四边形的面积． 18．（12分）
已知{}n a 是等差数列，且12412,11a a a +==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19．（12分）
已知函数3
2
3()242
f x x x =-
+． （1）求()f x 的单调区间；
（2）若曲线()y f x =与直线y m =有三个不同的交点，求m 的取值范围． 20．（12分）
如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，E ，F 分别是棱1,CC AB 的中点．
（1）证明：//CF 平面1AEB ．
（2）若14,90AC BC AA ACB ===∠=︒，求三棱锥1B ECF -的体积． 21．（12分）
已知a ，b ，c 为正数，且9a b c ++=．证明： （1）
111
1a b c
++； （2
92． 22．（12分）
已知函数()e (,)x
f x a bx a b =+∈R ．
（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))
P f 处的切线方程为2y x =+，求()f x 的解析式；
（2）当1b =时，若()f x 在区间(,1]-∞上的最大值为3-，求a 的值．
高二期中考试数学 参考答案（理科）
1．B 333331222i i z i i +=
==++，虚部为32
． 2．B 四个选项中，只有B 选项中的集合满足{|47}A B x x ⋂=-<<，故选B ．
3．D 因为线性相关系数的绝对值越大则线性相关性越强，所以丙组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱．
4．A 因为()sin3cos f x x x =+，所以()3cos3sin f x x x '=-．
5．C 因为15
21(0,1),0,log 312a b c ⎛⎫
=∈<=> ⎪⎝⎭
，所以b a c <<．
6．A 由2
2
()(2a c b ac +=++，得2
2
2
a c
b +-=，因为222cos 2a
c b B ac +-==6
B π
=
．
7．B 因为()f x 是幂函数，所以2
31m -=，解得2m =-或2m =．当2m =-时，2
()f x x -=，在(0,)+∞上是减函数；当2m =时，2
()f x x =，在(0,)+∞上是增函数，不符合题意．故2m =-，即
2
()1g x x x -=-+．因为(1)0,(2)0g g ><，且()g x 为减函数，所以函数2()()log 1g x f x x =-+的零点所在的区间为(1,2)．
8．D 因为[38,47)对应的频率为1(0.010.02)30.91-+⨯=，所以182
2000.91
n =
=． 9．C ∵()cos 2sin 2sin 26623f x x x x ππππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=+
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，∴只需把()sin 2g x x =的图象向左平移
3
π
个单位长度，即可得到()f x 的图象． 10．D 因为函数()f x 为奇函数，故排除B ，又因为当0,
2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，当,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()0f x <，
故排除C ，A ．
11．B 据题意可设总人数为x ，除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10.2006不满足除以6余5，2113不满足除以5余1，2141不满足除以11余10，2111全都满足．故选B ． 12．A 由已知得()f x 的图象关于点(1,2)对称，当1x 时，2ln 1ln ()2,()x x
f x f x x x
-'=+
=，所以当[1,)x e ∈时，()0f x '>，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，作出函数()f x 的简图如下：
所以函数()f x 的最大值1()2M f e e ==
+，最小值11422N e e ⎛⎫
=-+=- ⎪⎝⎭
，所以2M N e -=，
4M N +=，2
14MN e =-
，21
21
M e N e +=-，所以①②正确． 13．10,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
由题意得210,
0,
m m -<⎧⎨
>⎩解得102m <<．
14．2 因为
1
cos
32
π==，所以0x >，且2x =2x =．
15．10π 因为球O 的半径2
R =
=，所以球O 的表面积2
410S R ππ==．
16．4 依题意可设x =
4x =．
17．解：（1）设1,z b b =∈R ，则2
44()0b b a b i ++++=， 2分
根据复数相等的概念，得2440,
0,
b b a b ⎧++=⎨+=⎩ 4分
解得2,2b a =-=． 5分
（2）由（1）可知2b =-，即12z =-， 6分
1242z z i =+，所以22z i =--， 8分
所以以12,OZ OZ 为邻边的平行四边形的面积为212⨯=． 10分
18．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为12412,11,a a a +=⎧⎨
=⎩所以11212,
311,
a d a d +=⎧⎨+=⎩ 2分
解得15,
2,
a d =⎧⎨
=⎩则52(1)23n a n n =+-=+， 4分
所以数列{}n a 的通项公式为23n a n =+． 5分 （2）因为111
(23)(25)
n n n b a a n n +=
=++， 6分
所以11122325n b n n ⎛⎫
=
- ⎪++⎝⎭， 8分
所以111111125779
2325n S n n ⎛⎫
=
-+-++
- ⎪++⎝⎭
， 10分
即11125255(25)
n n
S n n ⎛⎫=
-= ⎪
++⎝⎭． 12分 19．解：（1）2
()633(21)f x x x x x '=-=-， 2分 当0x <或12x >
时，()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞和1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增； 4分 当102x <<
时，()0f x '<，所以()f x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减． 6分 （2）由（1）知()f x 的极大值为(0)4f =，极小值为131
28
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭， 8分 由图象可知，当
31
48
m <<时，曲线()y f x =与直线y m =有三个不同的交点． 11分 故m 的取值范围为31,48⎛⎫
⎪⎝⎭
． 12分 20．（1）证明：取1AB 的中点G ，连接,EG FG ． ∵F ，G 分别是棱1,AB AB 的中点，∴111
//,2
FG BB FG BB =
． 1分 又∵111
//,2
EC BB EC BB =
，∴//,FG EC FG EC =， 2分
∴四边形FGEC 是平行四边形， 3分 ∴//CF EG ． 4分
又∵CF ⊄平面1,AEB EG ⊂平面1AEB ， 5分 ∴//CF 平面1AEB ． 6分
（2）解：∵14BC AA ==，E 是1CC 的中点，∴1B EC 的面积为
1
4242
⨯⨯=． 7分 ∵AC BC ⊥，F 是AB 的中点，∴三棱锥1F B CE -的高为
1
22
AC =， 9分 ∴三棱锥1F B CE -的体积为18
4233
⨯⨯=
， 11分 即三棱锥1B ECF -的体积为83
． 2分
21．证明：（1）111()3a b c b a c a b c a b c b a b c c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 2分 因为a ，b ，c 为正数，
所以111()3232229a a b c a b c b ⎛⎫
+++++⋅=+++=
⎪⎝⎭
， 4分
当且仅当3a b c ===时取等号． 所以
111
1a b c
++． 6分 （2）因为222a b ab +，所以(
)
22
22222()a b
a a
b b a b +++=+，
即222
()2
a b a b
++2||)a b a b +=+． 8分
222
2
(),()2
2
b c c a c a +++． 10分
2()a b c ++=． 12分
22．解：（1）()x
f x ae b '=+． 1分
由导数的几何意义得(0)1f a b '=+=． 2分
∵切点(0,(0))P f 在直线2y x =+上，∴(0)2f a ==， 3分 ∴1b =-， 4分
∴函数()f x 的解析式为()2x
f x e x =-． 5分 （2）()1x
f x ae '=+．
①若0a ，∵0x e >，∴()0,()f x f x '>在区间(,1]-∞上为增函数，max ()13f x ae =+=-，∴4
0a e
=-<，舍去； 7分 ②若1
0a e
-
<，∵(,1]x ∈-∞，∴10x ae +，∴()0,()f x f x '在区间(,1]-∞上为增函数，max ()13f x ae =+=-，∴41
a e e
=-<-，舍去； 9分
③若1a e <-
，当1,ln x a ⎛⎫⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0,()f x f x '>在区间1,ln a ⎛⎫
⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭上为增函数， 当1ln ,1x a ⎛⎤⎛⎫∈-
⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦时，()0,()f x f x '<在区间1ln ,1a ⎛⎤⎛⎫- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦
上为减函数， max 11()ln 1ln 3f x f a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，∴21a e e =-<-． 11分
综上，2
a e =-． 12分。