艺体生复习资料--解三角形总复习汇编
艺体生复习资料--解三角形总复习
2 2 2 2 2 2a =bc -2bccosA,b =a c -2accosB, c 2 =a 2 b 2 -2abcosC.由此可得S LABC = ,s s-a s-b s -c 二sra +b +c 其中， 2 ，r 为内切圆半径， 三、 三角形中大边对大角，反之亦然•四、 a = bcos C +ccos B, b = a cos C + ccos A,c = a cos B +b cos A. 五、 三角形内角的几个常用公式sin A B 二sinC,cos A B 二-cosC, tan A B 二-tanC, .AB C A B . C sin cos ,cossin 2 2 2 2abc2R,、正弦定理：si nA sinB si nB其中R 是三角形外接圆半径.其转化形式学考复习解三角形已知三角形的几个元素，求剩余元素的过程叫做解三角形sin Aa a = 2 R sin Ab = 2 R sin Bc = 2 R sin C« sin sin2 R c FR c 2R2 2 2cosA=」^_,cosB2 2c -b 2ab2aca 2+b 2_c 2 ,cosC2abS ABCabs inC2bcsin A = 2 acsin B. 2abc4R ，R 为外接圆半径、余弦定理一、选择题1 .已知△ ABC 中, a = 4, b = 4 J3，/ A= 30° 则/ B 等于（）2 .已知△ ABC 中, AB= 6,Z A= 30° / B= 120° 则厶 ABC 的面积为（）3 .已知△ ABC 中，则 A ： B ： C=1: 2: 3,则 a:b:c 等于（） 4.在 MBC 中，已知 B =60°,C =45°, BC =8, AD 丄 BC 于 D,b 则0D 长为（ 在厶ABC 中, 在厶ABC 中, 18.在△ ABC 中，若 b= 2csin B,则/ C=19 .已知在△ ABC 中，若si nA:si nB:si nC =7:8:13,则三角形的最大内角为20.已知在 △ ABC 中，三个内角 A 、B 、C 成等差数列，且 AB =1,BC =4，边BC 上 的中线AD 的长为 _________________________） A = 60° b = 1,其面积为 <3，贝U sin A + sinB +sinC 等于（） a =1,b =1,C =120 •，则边 c 的长为（）5. 6. 7. 8. 在厶 ABC 中, A 吐 5, BO 7, AO 8,则 AB BC 的值为（） 在.'ABC 中 ）,若 sin 2 A =s in 2 B sin 2 C 则-A B C 勺形状一定.在• :ABC 中, a 2 = b 2 c 2bc ，贝y A 等于10 . （A . 已知在 )等腰或直角三角形B△ ABC 中，若 ac o Ac oB 贝V △ ABC 的形状.等腰三角形•直角三角形 D •等边三角形a = 3,b = 4,c »37，则最大内角为 （）A . 60B. 75 C .120D 12、 已知在△ ABC 中 ,若」-cos A （）A . 等腰直角三角形B.等腰三角形13、 已知锐角三角形的边长分别为2、A. “ 5 ■- x :扌13 BC. 2v x v5D14、 已知在△ ABC 中，已知a 150cosBc … cosC ，贝△ ABC 的形状.直角三角形x ，则x 的取值范围是() .13 v x v 5 .5 v x v 5D .等边三角形,b = 1 0c,=,贝U △ ABC 的形状15、已知△ ABC 中, a :16.在 ABC 中，B17.已知△ ABC 的面积为.钝角三角形 b : c = 1 ： 3 =60°, b=7、6,a=14，贝y A =_応,B = 60° b = 4,贝U a = •直角三角形 D •等腰直角三角形：2,贝U A ： B : C 等于() 11、已知在 △ ABC 的三个边为 3、=7 ）B(A .锐角三角形322、 已知△ ABC 的面积为2，且b= 2, c=上，则/ A= _____________ .23、 在厶ABC 中，/ B= 45° / C= 60° a = 2( V 3 + 1)，那么△ ABC 的面积为 24、 在 ABC 中，C = 45 , b = 2, A = 60，求这个三角形的最小边长25、已知在△ ABC 中，已知 sin 2A = sin 2B sin 2C ，sin A = 2sin B cosC ，判断△ ABC的形状.1 326、 I ABC 中，tan A, tan B .45(1)求角C 的大小；(2)若 ABC 最大边的边长为•、17，求最小边的边长。
百强校高考数学艺体生综合篇1：三角函数与解三角形
百强校高考数学艺体生综合篇1：三角函数与解三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．【2018届广东省江门市高三3月模拟（一模）】在△中，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）△的面积，求△的边的长．2．【2018届甘肃省高三第一次诊断性考试】中，三个内角的对边分别为，若，，且.（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，，求的面积.3．设函数.（1）求的最小值，并求使取得最小值的的集合； （2）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.4．【2018届浙江省嵊州市高三第一学期期末】已知函数，（1）求；（2）求的最大值与最小值.5．已知函数()3(0)22f x sin x cos x ωωω=+>的周期为4.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数()g x 的图象， ,P Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低点(如图），求OQP ∠的大小.参考答案1．(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由得，所以，再由可得，从而可得．（Ⅱ）由和正弦定理得，根据面积可得，解得，然后根据余弦定理可得．试题解析：（Ⅰ）由得，，∴，∵，∴，∴，∴．（Ⅱ）设角、、所对边的长分别为、、由和正弦定理得，又，∴解方程组，得（负值舍去），在△中，由余弦定理得，∴．2．（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题中向量垂直得到，再由正弦定理得到，从而得到角B；（2）由余弦定理得到，因为，∴，得到，从而求得面积.解析：（Ⅰ）∵，∴，∴∴，∴，∴.（Ⅱ）根据余弦定理可知，∴，又因为，∴，∴，∴，则.3．（1）最小值为，取最小值时的的集合为；（2）详见解析. 【解析】（1），故当，即当，函数取最小值，即，此时，函数取最小值时的取值集合为；（2）解法一：先将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，然后再将函数的图象的纵坐标伸长为原来的倍即可得到函数的图象；解法二：先将函数的图象的纵坐标伸长为原来的倍得到函数的图象，然后再将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象.4．（1）1；（2）最大值；最小值.【解析】试题分析：（1）将代入函数解析式，利用特殊角的三角函数求解即可；（2）利用两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简，由，求得，结合正弦函数的图象，利用正弦函数的单调性可得的最大值与最小值.试题解析：（1），所以（2）.因为，所以.又因为在区间上是递增，在区间上递减.所以，当，即时， 有最大值；当，即时， 有最小值.5．(1) ()23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ (2) 6OQP π∠=【解析】试题分析：（1）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为()3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数的周期为24πω=，求得ω 的值，可得()f x 的解析式；（2）由条件根据()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，可得函数()2g x x π=，求出,P Q 的坐标，可得2,4,OP PQ OQ ===利用余弦定理求得cos θ的值，从而得θ的值．试题解析：（1）()3cos 2f x x x ωω=+1sin cos 22x x ωω⎫=+⎪⎪⎭sin cos cos sin 33x x ππωω⎫=+⎪⎭3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵4,0T ω=>，∴242ππω==.∴()23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数()2g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴((,3,P Q .∴2,4,OP PQ OQ ===∴222cos 2OQ PQ OP OQP OQ QP +-∠==⋅. ∴6OQP π∠=.。
(完整版)解三角形复习
即 2sin Acos B sinC cos B cosC sin B 0
2sin Acos B sin(B C) 0
Q sin(B C) sin( A) sin A
10
例 4、在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C
的对边，且 cos B b . cos C 2a c
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 b= 13 ，a＋c=4，求 a 的值.
2sin Acos B sin A 0
Q 在△ABC中，sin A 0 cos B 1 ，即B 120o
2
11
例 5、在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C
的对边，且 cos B b . cos C 2a c
解：Q ABC的面积为S 1 ab sinC 30sinC 15
sin C 1
2
2
∵a>c , ∴∠C为锐角,故C=30o
Q B 180o C A 150o A
sin A cos B cos(150o A) 3 cos A 1 sin A
2
2
整理得 tan A 3
A 120o 8
第一章《解三角形》复习
1
知识回顾：
正弦定理及其变形：
a b c 2R sin A sin B sinC
其中,R是△ABC外接圆的半径
边化角
公式变形：a =_2_R_s_i_n_A_,b =___2_R_s_i_n_B,c =____2_R_s_i_nC
a
b
c
sin A _2_R__, sin B _2_R__, sinC _2_R__
∠C=60o
13
例3、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
艺术生高考数学专题讲义：考点20 正弦定理、余弦定理及解三角形
考点二十正弦定理、余弦定理及解三角形知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab2.三角形面积公式：S△ABC＝12ah(h表示边a上的高)；S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B；S△ABC＝abc 4R；S△ABC＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3．三角形解的判断在△ABC中，已知a、b和A时，三角形解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解典例剖析题型一 利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝________.答案 59解析 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.变式训练 在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________． 答案 23解析 在△ABC 中，AC sinB ＝BC sinA ，∴ AC ＝BC·sinBsinA＝32×2232＝2 3.解题要点 如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理． 题型二 利用余弦定理解题例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________. 答案332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.变式训练 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ .答案 4或5解析 设BC ＝x ，则由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C 得5＝25＋x 2－2·5·x ·910，即x 2－9x ＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5.解题要点 如果已知两边一角或是已知三边解三角形时，通常用余弦定理． 题型三 综合利用正余弦定理解题例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0. (1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．解析 (1)由已知及正弦定理得：(sin B －2sin A )cos C ＋sin C cos B ＝0，sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos C ，sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，∴sin A ＝2sin A cos C . 又sin A ≠0，得cos C ＝12.又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，b ＝3a ，解得a ＝1，b ＝3.故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.变式训练 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解析 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac .所以a ＝3，c ＝2 3.解题要点 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．当堂练习1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________. 答案332解析 由c 2＝(a －b )2＋6，可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6.① 由余弦定理及C ＝π3，可得a 2＋b 2－c 2＝ab .②所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.2．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝30°，C ＝15°，则a 等于________. 答案 2 2解析 A ＝180°－30°－15°＝135°， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a 22＝212，即a ＝2 2. 3. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________.答案 3＋1解析 A ＝π－(B ＋C )＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝7π12， 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，则a ＝b sin Asin B ＝2sin7π12sin π6＝6＋2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×(6＋2)×22＝3＋1.4．(2015重庆理)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 答案6解析 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin 120°，解得sin ∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2AB cos 30°＝ 6. 5．(2015江苏)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解析 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 课后作业一、 填空题1． (2015广东文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于________. 答案 2解析 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2.2．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c ＝________. 答案 25或 5解析 ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于________. 答案 5解析 由题意知，23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，即cos 2A ＝125， 又因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，由余弦定理知72＝b 2＋62－2b ×6×15，即b 2－125b －13＝0，即b ＝5或b ＝－135(舍去).4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________. 答案 直角三角形解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A . 又∵sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．5．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为________. 答案 19解析 ∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC ＝19.6．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________. 答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：1sin A ＝3sin B ，又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A ，∴cos A ＝32，∴∠A ＝30°， ∴∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴c ＝12＋(3)2＝2.7．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________.答案31010解析 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝2＋9－2×2×3×22＝5，即得AC ＝ 5.由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，即522＝3sin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝31010.8．(2014年江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________. 答案332解析 因为c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，所以由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即－2ab ＋6＝－ab ，ab＝6，因此△ABC 的面积为12ab sin C ＝3×32＝332.9．(2015福建文)在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________. 答案2解析 ∵A ＝45°，C ＝75°，∴B ＝60°. 由正弦定理AC sin B ＝BCsin A. ∴BC ＝AC sin B ·sin A ＝332×22＝ 2.10． (2015重庆文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sinB ，则c ＝________.答案 4解析 由3sin A ＝2sin B ，得3a ＝2b ，∴b ＝32a ＝32×2＝3，在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，解得c ＝4. 11． (2015北京文)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.答案 π4解析 由正弦定理得sin B ＝b sin Aa＝6sin 2π33＝22，因为A 为钝角，所以B ＝π4. 二、解答题12． (2015天津文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值． 解析 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6 ＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. 13．(2015新课标Ⅰ文)(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.。
解三角形知识点总结
选择题在解三角形时，若已知两边及其夹角，通常使用哪种方法？A. 正弦定理B. 余弦定理（正确答案）C. 三角形面积公式D. 勾股定理若三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a² = b² + c² - bc，则角A的大小为？A. 30°B. 60°（正确答案）C. 90°D. 120°在解三角形中，若已知三边长度，求角的大小，最适合使用的方法是？A. 正弦定理（正确答案）B. 余弦定理C. 三角形面积公式D. 直角三角形性质三角形ABC中，若a = 3, b = 4, c = 5，则该三角形是？A. 锐角三角形B. 直角三角形（正确答案）C. 钝角三角形D. 等边三角形正弦定理在解三角形中的主要作用是？A. 求边长B. 求角度（正确答案）C. 求面积D. 判断三角形类型已知三角形ABC中，角A = 60°，边a = √3，b = 1，则角B的大小为？A. 30°（正确答案）B. 45°C. 60°D. 90°在使用余弦定理时，若已知三角形的三边长度，可以求出？A. 三角形的面积B. 三角形的任一角度（正确答案）C. 三角形的高D. 三角形的外接圆半径三角形ABC中，若a = 2, b = 2√3, 角A = 30°，则角B的大小可能为？A. 30°B. 60°（正确答案）C. 90°D. 120°解三角形时，若已知两角及非夹角的边，通常使用哪种方法？A. 正弦定理（正确答案）B. 余弦定理C. 三角形面积公式D. 直角三角形性质。
完整版)解三角形知识点归纳总结
完整版)解三角形知识点归纳总结第一章解三角形一、正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 sinA/a = sinB/b = sinC/c = 2R （其中R是三角形外接圆的半径）。
变形：1) sinA/sinB/sinC = (a/b/c)/(2R)，化边为角；2) a:b:c = = sinA/sinB，化角为边；3) a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC，化边为角；4) sinA = a/2R，sinB = b/2R，sinC = c/2R，化角为边。
利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，求解：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c。
②已知两边和其中一个角的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A，求解：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再使用正弦定理求出c边。
4.在△ABC中，已知锐角A，边b，则①a<bsinA时，B无解；②a=bsinA或a≥b时，B有一个解；③bsinA<a<b时，B有两个解。
二、三角形面积1.SΔABC = absinC = bcsinA = acsinB；2.SΔABC = (a+b+c)r，其中r是三角形内切圆半径；3.SΔABC = p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2；4.SΔABC = abc/4R，R为外接圆半径；5.SΔABC = 2R²sinAsinBsinC，R为外接圆半径。
三、余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 a² = b² + c² -2bccosA，b² = a² + c² - 2accosB。
解三角形知识点复习
解三角形知识点复习三角形是平面几何中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
解三角形即求解给定的三角形中的各个要素（边长、角度、面积等）。
1.三角形的分类：根据边长和角度的关系，三角形可分为等边三角形、等腰三角形、普通三角形和直角三角形。
等边三角形的三条边相等，三个角均为60度；等腰三角形的两边相等，两个底角相等；普通三角形的三边和三个角均不相等；直角三角形有一个90度的角。
2.三角形的性质：三角形的内角和为180度，即三个内角的和等于180度。
外角等于其对内角的补角，即外角＝180°－内角。
三角形的两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3.三角形的面积公式：三角形的面积可以通过周长和半周长以及三边长来计算。
设三角形的三边长分别为a，b，c，半周长为s，则三角形的面积可以使用海伦公式计算：面积=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
4. 三角形的角度计算：利用余弦定理和正弦定理可以计算三角形的角度。
余弦定理：c²=a²+b²-2abcos(C)，其中a,b为两边的长度，C为夹角；正弦定理：a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)，其中a,b,c为边长，A,B,C为角度。
5. 三角形的边长计算：根据已知的角度和边长，可以通过正弦定理和余弦定理计算未知边长。
正弦定理：a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)，其中a,b,c为边长，A,B,C为角度；余弦定理：c²=a²+b²-2abcos(C)，其中a,b为两边的长度，C为夹角。
6.特殊三角形：特殊三角形包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形。
等边三角形的三边相等，三个角均为60度；等腰三角形的两边相等，两个底角相等；直角三角形有一个90度的角，并且满足勾股定理：a²+b²=c²。
7.三角形的重心、外心和内心：三角形的重心是三条中线的交点，外心是三条垂直平分线的交点，内心是三条角平分线的交点。
解三角形知识点归纳总结
解三角形知识点归纳总结一、基本概念三角形：由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
三角形的元素：三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c。
二、三角形的分类按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
锐角三角形：三个内角都小于90度。
直角三角形：有一个内角等于90度。
钝角三角形：有一个内角大于90度。
按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
等腰三角形：两边相等的三角形，相等的两边称为腰，另一边称为底边。
等边三角形：三边都相等的等腰三角形，也是特殊的等腰三角形。
三、三角形的性质三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。
三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，具有稳定性。
四、解三角形的常用定理和公式正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中R是三角形的外接圆半径。
余弦定理：c² = a² + b² - 2ab·cosC（以及针对其他角的类似公式）。
面积公式：S = 1/2 * bc * sinA（以及针对其他角的类似公式），或者S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]，其中p是半周长，即p = (a + b + c) / 2。
五、解三角形的过程解三角形通常涉及已知三角形的几个元素（如两个角和一条边，或三条边等），然后利用上述定理和公式求出其他未知元素的过程。
六、应用解三角形在实际问题中有广泛应用，如在航海、测量、地理、工程等领域中，经常需要利用三角形的性质进行角度和距离的计算。
通过学习和掌握这些知识点，可以更深入地理解三角形的性质和应用，为解决实际问题提供有力工具。
同时，解三角形也是培养逻辑思维和空间想象能力的重要途径。
解三角形方法与技巧例题和知识点总结
解三角形方法与技巧例题和知识点总结一、解三角形的基本概念在平面几何中，三角形是一个非常重要的图形。
解三角形就是通过已知的三角形的一些元素（如边、角），求出其他未知元素的过程。
三角形中的基本元素包括三个角（通常用 A、B、C 表示）和三条边（通常用 a、b、c 表示）。
解三角形的主要依据是三角形的内角和定理（A ＋ B ＋ C ＝ 180°）以及正弦定理和余弦定理。
二、正弦定理正弦定理的表达式为：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼）。
正弦定理可以用于以下两种情况：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。
例如：在三角形 ABC 中，已知角 A ＝ 30°，角 B ＝ 45°，边 c ＝10，求边 a 和边 b。
首先，根据三角形内角和定理，角 C ＝ 180° 30° 45°＝ 105°。
然后，利用正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），可得\（a ＝＼frac{c\sin A}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 30°｝｛＼sin 105°｝＼）。
同样，＼（＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），＼（b ＝＼frac{c\sin B}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 45°｝｛＼sin 105°｝＼）。
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和其他边。
例如：在三角形 ABC 中，已知边 a ＝ 6，边 b ＝ 8，角 A ＝ 30°，求角 B。
由正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＼），可得\（＼sin B ＝＼frac{b\sin A}｛a} ＝＼frac{8\times\sin 30°｝｛6} ＝＼frac{2}｛3}＼）。
解三角形(总结+题+解析)
解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。
解三角形复习资料(上课)
解三角形专题复习解三角形基本知识一.正弦定理：1.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::=②角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===③边化角 RcC R b B R a A 2sin 2sin 2sin ===如：△ABC 中，①B b A a cos cos =②B a A b cos cos =3.三角形内角平分线定理：如图△ABC 中，AD 是A ∠4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，a 无解；②A b a sin =或b a ≥时，a 有一个解； ③b a A b <<sin 时，a 有两个解。
如：①已知32,2,60===O b a A ,求(有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解) 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC)(21++=∆,其中r 是三角形内切圆半径. 注:由面积公式求角时注意解的个数 三.余弦定理1.余弦定理：)cos 1(2)(cos 22222A bc c b A bc c b a +-+=-+= )cos 1(2)(cos 22222B ac c a B ac c a b +-+=-+= )cos 1(2)(cos 22222C ab b a C ab b a c +-+=-+= 注：后面的变形常与韦达定理结合使用。
2.变形：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a 3.三角形中线：△ABC 中， D 是BC 的中点，则222221BC AC AB AD -+= 4.三角形的形状①若222c b a >+时,角C 是锐角 ②若222c b a =+时,角C 是直角 ③若222c b a <+时,角C 是钝角如:锐角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 钝角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 5.应用①用余弦定理求角时只有一个解 ②已知32,2,60===O b a A ,求边c四.应用题1.步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量；③将实际问题转化为数学问题； ④答2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。
2021年艺术生高考数学总复习：解三角形
第 1 页 共 5 页2021年艺术生高考数学总复习：解三角形1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.三角形面积公式：S △ABC ＝12 ah (h 表示边a 上的高) ；S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；[玩转典例]题型一 已知边角元素解三角形例1（2018•浙江）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a 2b =，60A =︒，则sin B = ，c = ．例2（2015•广东）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =1sin 2B =，6C π=，则b = ．例3（2018•北京）若ABC ∆222)a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠= ． 例4（（2019北京15）在中，， ， ． （Ⅰ）求b ,c 的值； （Ⅱ）求 的值.ABC △a =3b -c =21cos 2B =-sin(B -C )第 2 页 共 5 页[玩转跟踪]1.（2018•北京）在ABC ∆中，7a =，8b =，1cos 7B =-．（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）求AC 边上的高．2.（2017•新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．题型二 已知边角关系解三角形例5 （2019天津理15）在中，内角所对的边分别为.已知，.（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值.例6（2019•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则(bc= )ABC △,,A B C ,,a b c 2b c a +=3sin 4sin c B a C =cos B sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭第 3 页 共 5 页A ．6B ．5C ．4D ．3[玩转跟踪]1.（2018•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．例8（2019•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C ．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．[玩转练习]1.（2019•江苏）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若3a c =，b =，2cos 3B =，求c 的值； （2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值．第 4 页 共 5 页2.（2020•桂林一模）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(22)cos cos c b A a B c -=-． （1）求证：2b c =； （2）若sin A =，2a =，求ABC ∆的面积．3.【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学试题】在ABC △中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、Ccos sin (cos cos )A A a C c A =+.（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC △的面积为4，求ABC △的周长．4.（2020·河南省实验中学高三二测（理））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c sin2B ﹣b sin （A +B ）＝0（1）求角B 的大小；（2）设a ＝4，c ＝6，求sin C 的值．5.（2020·北京市平谷区高三一模）在ABC ∆中，3B π∠=，b =， .求BC 边上的高.①sin 7A =，②sin 3sin A C =，③2a c -=，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.第 5 页 共 5 页6.（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知26sin cos sin 2Aa Bb A =. （1）求cos A ； （2）若5a b c =+=，求ABC ∆的面积.7．（2020·北京市西城区高三一模）已知ABC 满足 ，且23b A π==，求sinC 的值及ABC 的面积.（从①4B π=，②a =③a =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）8.（2020·黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2b C a c =+. （Ⅰ）求B ；（Ⅰ）若2a =，D 为AC的中点，且BD =，求c .。
2024届高三艺术生人教版数学复习：第22讲+解三角形课件
=3 6.故选 D.
9
解三角形问题常运用正弦定理或余弦定理求解,其隐含条件是三角形的内角和等于
180°.
10
对点练 2
a=( A ).
A.
4
B.
3
2
3
D. 2
C.
3
4
1
(2)已知钝角△ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=( B ).
2
B. 5
A.5
C.2
D.1
1
1 2
3
3
2 2
【解析】(1)在△ABC 中,cos A= ,则 sin A= 1-( ) =
3
.
11
3π
当 B= 时,根据余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2+2=5,
4
∴AC= 5,此时△ABC 为钝角三角形,符合题意;
π
当 B= 时,根据余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2=1,
4
∴AC=1,此时 AB2+AC2=BC2,△ABC 为直角三角形,不符合题意.
求:
(1)a 的值;
(2)sin C 和△ABC 的面积.
1
条件①:c=7,cos A=- .
7
1
9
8
16
条件②:cos A= ,cos B= .
【解析】若选择条件①.
1
(1)∵c=7,cos A=- ,a+b=11,∴b=11-a,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A,即 a2=(117
2
若选择条件②.
1
9
2019年高考数学艺术类考生专用复习资料：余弦定理与解三角形
又cosC= ,所以sinC= = ,
故cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC= .
(2)由正弦定理 = ,得 = = .
因为ac=24,所以a=4,c=6.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=25,所以b=5,
所以△ABC的周长为a+b+c=15.
(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
当堂反馈
1.(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在△ABC中,已知AB=1,AC= ,B=45°,那么BC的长为.
2.(2018·无锡期末)在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA= ,C=2A.
3.(必修5P17习题5改编)在△ABC中,若c=2acosB,则△ABC是三角形.
4.(必修5P15习题3改编)在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是.
真题演练
1.(2018·浙江卷)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a= ,b=2,A=60°,则sinB=,c=.
当堂反馈
1. 【解析】在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由题知c=1,b= ,B=45°,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得a2- a-1=0.因为a>0,所以a= ,即BC= .
2.【解答】(1)因为cosA= ,C=2A,所以cosC=cos2A=2cos2A-1=2× -1= .
(1)求cosB的值;(2)若ac=24,求△ABC的周长.
专题19解三角形《2021年高考数学备考艺体生百日冲刺系列(通用)》(原卷版)
专题1. 9解三角形解三角形这部分内容，高考一般命制一大或一小. 考查的主要方向有：1.正弦定理、余弦定理的简单应用；2.结合平面图形，解直角三角形；3.正弦定理、余弦定理的应用问题，往往与三角恒等变换相结合，近几年，综合考查正弦定理与余弦定理应用问题，呈现一种新趋势.本专题主要围绕客观题进行讲练，主观题方面的讲练在第二篇完成..一、正弦定理正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B二、余弦定理余弦定理： ， ，.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab【典例1】（2020·全国高考真题（理））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【典例2】（2020·全国高考真题（文））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ） AB ．C ．D ．2222cos a b c ab C +-=2222cos b c a ac A +-=2222cos c a b ac B +-=【答案】C 【解析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C【典例3】（2019·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc=（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【典例4】（2019·浙江高考真题）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】5 10【解析】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,5AC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =cos cos()coscos sinsin 44ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【典例5】（2020·海南省高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+ 【解析】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =,所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，52OQ r =-，72DQ r =-，因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以212522-=-，解得r =等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=；扇形AOB 的面积(2213324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+.故答案为：542π+. 【典例6】（2020·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos30132112CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【总结提升】1.三角形中的三角函数关系式()()(2222(.2()()()()222sin A B sin C sinC cos A B cos C cosC tan A B tan C tanC A B C Csinsin cos A B C C cos cos sin πππππ++++＋＝－＝；＋＝－＝－；＋＝－＝－；＝)＝；＝)＝ 2.应用正弦定理的技巧方法：（1）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． （2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则a ＜b sin A a ＝b sin Ab sin A ＜a＜ba ≥b a ＞b a ≤b一解 3.余弦定理的应用常见题型：1．（2018年全国卷Ⅲ文）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，所以，，，故选C.b ，2．（2020·浙江月考）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知14Cπ，ABC 的面积2S =，则ABC 的外接圆的直径为（ ）A ．B ．5C ．D ．【答案】C 【解析】由三角形面积公式in 12s S ab C =得2a ==由余弦定理可得5c ====则ABC 的外接圆的直径25sin c R C ===故选：C3.（2017·全国高考真题（文））△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B 【解析】sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A=3π4， 由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a=2，，∴sinC=sin c A a=12=22， ∵a ＞c ，∴C=π6， 故选B ．4.（2020·内蒙古高三期末）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，6b =，且a c +=A 的大小为（ ）A ．25πB ．27π C ．512π D ．12π【答案】D 【解析】由正弦定理得6sin sin sin3a c A C π==2sin sin sin sin 3a c a c A C A A π++==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则243sin sin3a c A Aπ⎡⎤⎛⎫+=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3143sin cos sin22A A A⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦3sin cos22A A⎤=+⎥⎦112sin cos12sin226A A Aπ⎤⎛⎫=+=+⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，又∵a c+=12sin6Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭sin62Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，于是64Aππ+=或34π（舍），故12Aπ=.故选：D5．（2020·山东省东明县第一中学高三月考）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知60A︒=，a=，4b=，则cos B=（）．A B C D或【答案】D【解析】由正弦定理可得，4sinsin60sin︒=⇒=BB,,60︒<∴<∴>a b A B B，cos5∴=±B故选：D6．（2020·山东德州市·高三期中）在ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c．若3Aπ∠=，4AC=，ABCS=，则sin sina bA B+=+（）A．BCD【答案】D 【解析】由三角形面积公式可得：1sin 2bc A =14sin 23c π⨯⨯⨯=，解得：3c =，结合余弦定理可得：222222cos 43243cos133a b c bc A π=+-=+-⨯⨯⨯=，则a =，由正弦定理有：2sin sin sin a b c R A B C =====结合合分比定理可得：sin sin a b A B ++=. 故选：D.7.（2019·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.【答案】34π. 【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 8．（2020·威海市文登区教育教学研究培训中心高三期中）如图所示，一块长为5m ，宽为3m 缺一角A 的长方形木板，EF 是直线段.木工师傅想要在BC 的中点M 处作EF 延长线的垂线，可是直角曲尺长度不够，无法直接画出此线.请帮忙在BF 边上找到一点N ，使得木工师傅能精准地完成该项任务，此时FN 的长度为______m.【答案】2.4 【解析】如图所示，假设MN EF ⊥，则AEF BNM ∽， 又由0.8AE m =，0.6AF m =， 1.5BM m =，则有AE BN AF BM =，即0.80.6 1.5BN=， 得2BN m =，此时520.6 2.4FN m =--=． 故答案为：2.4．9．（2020·武汉市黄陂区第二中学高三月考）设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.【解析】()cos cos A C B -- ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，②①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=- ()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A CB --=， 得()1cos cos 12A CB -=+=， 0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD ∆=⋅()()122224a a a a =-⨯=- ()224a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立．即ACD ∆10．（2020·浙江开学考试）如图，三角形ABC 中，D 是边AC 上的一点，若24CD DA ==，且cos 2cos 4ABD ADB ∠=∠=，则AB =______；BC =______.【答案】3 6 【解析】依题意cos 2cos 4ABD ADB ∠=∠=，三角形中角的正弦值为正数，所以sin 48ABD ADB ∠==∠==， 在三角形ABD 中，由正弦定理得sin sin sin sin AB AD ADAB ADB ADB ABD ABD=⇒=⋅∠∠∠∠3==. ()cos cos A ABD ADB =-∠+∠sin sin cos cos ABD ADB ABD ADB =∠∠-∠∠81324===. 在三角形ABC中，由余弦定理得BC =6==. 故答案为：3；611.（2018·北京高考真题（文））若ABC △222)a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】60 (2,)+∞ 【解析】)2221sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=，2222a c b ac +-∴=cos B =，sin cos 3B B B π∴=∠=，则21sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)1tan 0,,3tan A A ⎛⎫∴∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 12．（2020·山东临沂市·高三期中）如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC 的斜边AB 、直角边BC 、AC ，N 为AC 的中点，点D 在以AC 为直径的半圆上.已知以直角边AC ，BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，3sin 5DAB ∠=，则cos DNC ∠=______．【解析】因为以直角边AC ，BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，所以:6AC BC CAB π=∴∠=,设DAB α∠=，则62ππα<<，且2()263DNC ππαα∠=-=-，由已知得：4sin 5α，整理得3cos 5α=，所以27cos 22cos 125αα=-=-，24sin 225α=．所以cos cos(2)cos2cos sin 2sin 333DNC πππααα∠=-=+=．13. （2018·江苏高考真题）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.14.（2020·内蒙古高三期末）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC ∆的面积()2214S a c =+，若2sin sin B A C =，则角B 的值为______. 【答案】512π 【解析】 因为1sin 2S ac B =，又()2214S a c =+，所以()2211sin 42a c ac B += 所以222sin a c ac B +=，由余弦定理得2222cos a cb ac B +=+所以22sin 2cos ac B b ac B =+由2sin sin B A C =结合正弦定理，得2b =所以2sin 2cos ac B ac B =+)sin cos 1B B -=，所以1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，所以得46B ππ-=，或546B ππ-=（舍去），所以512B π∠=. 故答案为：512π15．（2020·浙江高三月考）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，记△ABC 的面积为S ，外接圆半径为R ，1a b c =⋅=，b cc b+=S R ⋅=______，cos A =______．【答案】14【解析】由题意，结合正弦定理知：2sin sin sin a b cR A B C===① 而△ABC 的面积为S ，结合三角形面积公式：1sin 2S bc A =② ∴由①知：sin 2a A R =代入②中，得4abc S R=且1a b c =⋅= ∴14S R ⋅=又由余弦定理知：222cos 2b c a A bc+-=，而b c c b +=22b c +=∴1cos 2A =故答案为：1416．（2020·浙江省东阳中学其他模拟）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(2)cos (2cos cos )a b C c B A -=-，ABC 的面积为2sin2A Ba +，则C =__，ABC 的形状为__三角形（填等腰、等边、直角）.【答案】3π直角 【解析】由题意，因为(2)cos (2cos cos )a b C c B A -=-根据正弦定理得sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos A C B C C B C A -=-， 即：sin cos sin cos 2(sin cos sin cos )A C C A B C C B +=+，可得：sin()2sin()A C B C +=+，即sin 2sin B A =，所以2b a =，又因为ABC 的面积为21sinsin 22A B a ab C +=，可得sin()sin 2CC π-=， 可得cos2sin cos 222C C C=， 因为(0,)C π∈，则(0,)22C π∈，可得cos 02C>， 所以1sin22C =，可得26C π=，可得3C π=， 又由余弦定理可得2222222423c a b ab a a a a =+-=+-=，整理得22222234a c a a a b +=+==. 所以ABC 为直角三角形. 故答案为：3π，直角.。
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学考复习 解三角形
已知三角形的几个元素，求剩余元素的过程叫做解三角形 一、正弦定理：2,sin sin sin a b c R A B B ===其中R 是三角形外接圆半径.其转化形式
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===R c
C R c B R a A C R c B R b A R a 2sin 2sin 2sin ,sin 2sin 2sin 2 二、余弦定理
2222222222cos ,2cos ,
2cos .
a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-
由此可得 222222222
cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab +-+-+-===. .111sin sin sin .222ABC S
ab C bc A ac B === ()()(),4ABC abc S s s a s b s c sr R =---==
其中，2a b c s ++=
，r 为内切圆半径，R 为外接圆半径.
三、三角形中大边对大角，反之亦然.
四、cos cos ,cos cos ,cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+ 五、三角形内角的几个常用公式 ()()()sin sin ,cos cos ,
tan tan ,
sin cos ,cos sin .2222A B C A B C A B C A B C A B C +=+=-+=-++==
一、选择题
1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝34，∠A ＝30°，则∠B 等于( )
2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )
3．已知△ABC 中，则A ∶B ∶C=3:2:1，则c b a ::等于（）
4．在ABC ∆ 中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D, 则
AD 长为（ ） 5．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A c b a sin sin sin ++++等于( )
6．在△ABC 中， 120,1,1===C b a ，则边c 的长为（ ）
7．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ⋅的值为( )
8.在ABC ∆中,若222sin sin sin A B C =+，则A B C ∆的形状一定是
( )
9．在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于 ( )
10．已知在ABC △中，若c o s c o a A b B =，则ABC △的形状为 （ ） A ．等腰或直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形
11、已知在ABC △的三个边为37,4,3=
==c b a ，则最大内角为（） A ． 60 B ． 75 C ． 120 D ． 150
12、已知在ABC △中，若cos cos cos a b c A B C
==，则ABC △的形状为 （ ）
A ．等腰直角三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等边三角形
13、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是( )
A ．135<<x
B ．13＜x ＜5
C ．2＜x ＜5
D ．5＜x ＜5
14、已知在ABC △中，已知7,10,a b c ===，则ABC △的形状为 （ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
15、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )
16．在ABC ∆ 中，060,76,14B b a === ，则A=
17．已知△ABC 的面积为3，B ＝60°，b ＝4，则a ＝________；c ＝________．
18．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________
19．已知在ABC △中，若sin :sin :sin 7:8:13A B C =，则三角形的最大内角为
_______
20．已知在ABC △中，三个内角A 、B 、C 成等差数列，且1,4AB BC ==，边BC 上
的中线AD 的长为 _______
21．已知ABC △的面积4
S =，则角C 的大小为________ 22、已知△ABC 的面积为23
，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．
23、在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为
24、 在ABC ∆中， 60,2,45===A b C ，求这个三角形的最小边长
25、已知在ABC △中，已知222sin sin sin A B C =+，sin 2sin cos A B C =⋅，
判断ABC △的形状.
26、ABC ∆中，13tan ,tan 45
A B ==. （1）求角C 的大小； （2）若ABC ∆最大边的边长为17，求最小边的边长。
27、在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=．若ABC △的面积等于3，求a b ，；
28、在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2
b a
c =，且22a c ac bc -=-，求A 的大小及sin b B c 的值. 29. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,A=3π
,a=3,b=1，则c=( )
30.在△ABC 中，若C c B b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（ ）
（A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形.
31. ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）
32. 在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
33.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC
（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.
（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
34. 在△ABC 中，A=60°，a=,b=，则B 等于( )
A.45°或135°
B.135°
C.45°
D.以上答案都不对
35. △ABC 中，a=2bcosC ，则此三角形一定是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
36. 在△ABC 中，2
cos 22A b c c +=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为
( )
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
37.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若
223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=
38. 在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =
A －223
B 223
C －63
D 6
3
39．已知()()3a b c b c a bc +++-=则∠A=_________.
40. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =,sin cos 2B B +=,则角A 的大小为__________
41. 在ABC ∆中。
若1b =，3c =，23c π∠=，则a= _____ 。
42.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= ______
43. 在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b +=，则
tan tan tan tan C C A B +=_________。
解答题
44.在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.
45 在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且
2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++
（Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.45ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12
cos 13A =。