2023-2024学年西安市高二数学第一学期期末考试卷附答案解析

2023-2024学年西安市高二数学第一学期期末考试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线350x +=的倾斜角为（）
A ．30
B ．60
C ．120
D ．150
2．已知()
F 为双曲线22
:14x y C m -=的一个焦点，则C 的渐近线的方程为（）
A ．0x =
B 0y ±=
C ．20
x y ±=D ．20x y ±=3．已知数列{}n a 的首项13a =，且
12
2n n
a a +=
-，则9a =
（）
A ．3
B ．2
-C ．43
D ．3
-4．在三棱锥-P ABC 中，M 为AC 的中点，则
PM =
（）
A ．1122BA BC BP ++
B ．1122BA B
C BP +- C ．111222BA BC BP +-
D ．1112
22BA BC BP
++ 5．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面
内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为5.6m ，深度为0.7m ，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（
）
A ．2.1m
B ．2.8m
C ．4.2m
D ．56m .
6．若直线10ax by +-=与圆22
:1O x y +=相离，则过点(),P a b 的直线与椭圆22
165y x +=的交点个数是（）
A ．0或1
B ．0
C ．1
D ．2
7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1354686,12a a a a a a ++=++=，则8S =（
）
A ．8
B ．12
C ．18
D ．24
8．已知双曲线22
22:
1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F .过2F 的直线交双曲线C 右支于,A B 两点，
且
221
3,AF F B AB AF ==，则C 的离心率为（
）
A ．2
B ．3
C 2
D 3
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．关于空间向量，以下说法正确的是（
）
A ．若非零向量a ，b
，c 满足a b ⊥ ，c b ⊥ ，则a c
∥ B ．若对空间中任意一点O ，有121236OP OA OB OC
=+- ，则P ，A ，B ，C 四点共面
C ．若空间向量
()
0,1,1a =
，
()
1,1,2b =
，则a 在b 上的投影向量为11,,122⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．已知直线l 的方向向量为
()
2,1,1a =-
，平面α的法向量为
()
2,1,5b =---
，则l α∥或l ⊂α
10．已知圆22
:60M x y x +-=和圆
22:80,N x y y P ++=是圆M 上一点，Q 是圆N 上一点，则下列说法正确的是（）
A ．圆M 与圆N 有四条公切线
B ．两圆的公共弦所在的直线方程为340
x y +=C ．
PQ
的最大值为12
D ．若
(
2,P ，则过点P 且与圆M 相切的直线方程为60
x -+=11．已知数列{}n a 满足126a =，132n n a a +=-，n S 为{}n a 的前n 项和，则（
）
A ．
{}1n a +为等比数列
B ．{}n a 的通项公式为4
13
1
n n a -=
-C ．
{}n a 为递减数列
D ．当4n =或5n =时，
n
S 取得最大值
12．已知F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点，直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，M ，N 分别
为AF ，BF 的中点，O 为坐标原点，若60MON ∠=︒，则椭圆C 的离心率可能为（
）
A ．2
B ．910
C ．12
D ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．若直线l 与直线10x y +-=关于直线2y =对称，则直线l 的一般式方程为
.
14．已知空间中的三点()()()
0,0,0,0,1,1,1,0,1O A B ，则点A 到直线OB 的距离为
.
15．已知
()
4,1A ，
()
3,0B ，M 是抛物线C ：2
12y x =上的一点，则MAB △周长的最小值为
．
16．如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设n
a 是第n 行数字1的个数，
n
b 是第n 行数字2的个数，则
67a a +=
，
221n n a b ++=
.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知圆C 过点
()
2,0A 和
()
0,0B ，且圆心C 在直线:0l x y -=上.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)经过点()2,1-的直线l '与l 垂直，且l '与圆C 相交于,M N 两点，求MN
.
18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
2
5n S n n =+.(1)求
{}n a 的通项公式；
(2)设
14
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T .
19．一动圆经过点
()
0,2F 且与直线=2y -相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点坐标为()
2,2，求直线l 的方程．
20．在正三棱柱
111
ABC A B C -中，
1AA AC
=，E 为AB
的中点．
(1)证明：1//BC 平面
1A EC
．
(2)求平面
1A EC
与平面
11
C CBB 夹角的余弦值．
21．已知{}
n a 是首项为1的等差数列，
{}n b 是公比为2的等比数列，且12b a =，24b a =．
(1)求{}n a 和
{}n b 的通项公式；
(2)在
{}
n a 中，对每个正整数k ，在k
a 和1
k a +之间插入k 个k
b ，得到一个新数列
{}
n c ，设n T 是数列
{}
n c 的前
n 项和，比较
66T 与20000的大小关系．
22．已知椭圆()
22
22:10x y a b C a b =>>+的上、下顶点分别是,A B ，点P （异于,A B 两点），直线PA 与PB
的斜率之积为4
9-
，椭圆C 的长轴长为6．
(1)求C 的标准方程；
(2)已知(0,1)T ，直线PT 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且直线AP 与BQ 相交于点D ，证明点D 在定直线上.1．C
【分析】根据直线方程可得斜率，进而可知倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为α，则0180α≤<
，
由题意可得：直线350x +=的斜率为k =
则tan α=120α=
.
故选：C 2．B
【分析】根据题意求,,a b c ，即可得渐近线方程.
【详解】由题意可知：2,a c ==x 轴上，可得b =
所以C 的渐近线的方程为b
y x a =±
=0y ±=.
故选：B.3．A
【分析】求出
2345
,,,a a a a ，发现周期，根据周期来求解.
【详解】由题可得22
a =-，
312a =
，44
3a =，53a =，
故
{}n a 是以4为周期的周期数列，
故913
a a ==．
故选：A.4．B
【分析】连接BM ，根据空间向量的运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】连接BM ，根据向量的运算法则，可得1122PM BM BP BA BC BP
=-=+-
.
故选：B.
5．B
【分析】建立平面直角坐标系，得到
()
0.7,2.8A ，代入抛物线方程，求出 5.6p =，从而得到答案.
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则
()
0.7,2.8A ，
将
()
0.7,2.8A 代入22y px =，故2
2.8 1.4p =，解得 5.6p =，
所以该抛物线的焦点到顶点的距离为 2.82p
=m.
故选：B 6．D
【分析】由直线与圆相离得221a b +<，则点(),P a b 在椭圆22
165y x +=的内部，由此即可得解.
【详解】由题意直线10ax by +-=与圆22
:1O x y +=
相离，所以圆心到直线的距离
1d r
=>=，即
2201a b <+<，
而2222116555b a a b ++≤<<，即点(),P a b 在椭圆22
165y x +=的内部，所以过点(),P a b 的直线与椭圆22
165y x +=的交点个数是2.
故选：D.7．D
【分析】直接由等差数列性质以及求和公式即可得解.【详解】由题意
1353468636,312
a a a a a a a a ++==++==，解得
362,4
a a ==，
所以
()
()188368446242a a S a a ⨯+=
=+=⨯=.
故选：D.8．A 【分析】设2F B n
=，根据双曲线定义和线段之间的倍数关系求出
14BF a
=，
18AF AB a
==，由余弦定
理求出
11
cos 4F BA ∠=
，进而得到2
c a =，得到答案.【详解】由已知可设
2F B n
=，则
23AF n
=，
故
2124AF AB A B n
F F +===，
由双曲线的定义有
122a AF AF n
=-=，故
22F B n a
==，
148AF AB n a
===，
故
1224BF a BF a
=+=，
在1AF B
△中，由余弦定理得
2
2
2
22211111664641
cos 22484
BF AB AF a a a F BA BF AB a a ∠+-+-===
⋅⨯⋅.
在12
BF F △中，由余弦定理得
2
2
2
12121212cos F F BF BF BF BF F BA
=+-⋅∠，
即
2221
41622444a a a a c +-⋅⋅⋅
=，
解得22
4c a =，
即2c a =，故C 的离心率为2.
故选：A 9．BCD
【分析】根据a
，c 的方向不确定判断A ；根据空间向量共面定理判断B ；根据投影向量定义判断C ；利用4150a b ⋅=--+=
，可得a b ⊥ ，从而判断D ．
【详解】对于A ，非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥ ，c b ⊥ ，a ，c 的方向不确定，则a
，c 不一定平行，故
A 错误；
对于B ，121236OP OA OB OC =+- ，1211
236+-=，所以P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确；
对于C ，因为=01+11+12=3a b ⋅⨯⨯⨯ ，2
2221+1+2=6
b = ，
所以a 在b
上的投影向量为
111,,12
22a b b b b
b ⋅⎛⎫⋅== ⎪
⎝⎭
，故C 正确；
对于D ，因为直线l 的方向向量为
()
2,1,1a =-
，平面α的法向量为
()
2,1,5b =---
，
所以4150a b ⋅=--+=
，所以a b ⊥ ，则l α∥或l ⊂α，故D 正确．
故选：BCD.10．BCD
【分析】对于A ，判断两圆的位置关系即可；对于B ，两圆方程相减即可；对于C ，由max M N
MN P r r Q =++验算即可；对于D ，点在圆上，利用垂直关系得切线斜率，进一步即可验算.【详解】对于A ，圆
()2
2:39
M x y -+=、
()2
2:416
N x y ++=的圆心、半径依次分别为
()()3,0,3,0,4,4
M N M r N r =-=，
圆心距满足157
N M M N r r MN r r -=<==<+=，所以两圆相交，圆M 与圆N 有两条条公切线，故
A 错误；
对于B ，两圆
()2
2:39
M x y -+=、
()2
2:416
N x y ++=方程相减得，
698167x y -+--=-，化简并整理得两圆的公共弦所在的直线方程为340x y +=，故B 正确；
对于C ，由题意max 53412
M N P MN r r Q ++==++=，当且仅当,,,P Q M N 四点共线，
PQ
取最大值，故
C 正确，对于
D ，
(
)(2
2
239
-+=
，即点
(
2,P 在圆2
2:60M x
y x +-=上面，
又
22023PM k =
=--P 且与圆M
相切的直线方程为)2y x -=-，
化简并整理得，过点P 且与圆M
相切的直线方程为60x -+=，故D 正确.故选：BCD.
11．AC
【分析】利用构造法得()1311n n a a ++=+，判断出{}11
n a ++为首项为27，公比为1
3的等比数列，判断A 选
项；利用等比数列通项公式求出1n a +通项公式，得出
4
113n n a -骣琪=-琪桫，判断B 选项；根据函数
4
1
1
3x y -骣琪=-琪
桫是减函数，判断C 选项；令
n a =，解得4n =，判断D 选项.
【详解】因为132n n a a +=-，所以1331n n a a ++=+，即()1311n n a a ++=+，111
13n n
a a ++=
+，又因为126a =，所以1127
a +=，所以{}11n a ++为首项为27，公比为1
3的等比数列，A 正确；
1
4
11
12733n n n a --骣骣琪琪+=´=琪
琪桫
桫
，所以
4
1
1
3n n a -骣琪=-琪
桫，B 错误；
因为函数
4
1
1
3x y -骣琪=-琪
桫是减函数，所以
{}n a 为递减数列，C 正确；
令0n a =，即4
110
3n -骣琪-=琪桫，解得4n =，所以4n ≤时，
n a ≥，5n ≥时，
n a <，所以当3n =或4n =时，
n
S 取得最大值，D 错误.
故选：AC 12．BD
【分析】根据题意，先画出图象，然后判断四边形
1AF BF
为平行四边形，由60MON ∠=︒可得
1120FAF ∠=︒，
进而结合椭圆的定义与基本不等式可得有关,a c 的不等式，解不等式得到离心率的取值范围，从而逐项判
断四个选项即可得到答案.
【详解】根据题意，图象如图所示：
设
1F 为椭圆C 的左焦点，因为直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，
所以由椭圆的对称性得OA OB =，又1OF OF =，
于是四边形1AF BF 为平行四边形.
因为M ，N 分别为AF ，BF 的中点，O 是1F F 中点，
所以1//AF OM ，1//BF ON ，
平行四边1AF BF 中160AF B MON ∠=∠=︒,1120FAF ∠=︒，
在1AF F 中，222
1112cos 120F F AF AF AF AF =+-∠
()()()()22
22111113AF AF
AF AF AF AF AF AF AF AF ++=+-≥+-=.
因为直线y kx =斜率存在，所以A ，B 两点不在y 轴上，即1AF AF ≠，又在2222:1(0)x y C a b a b +=>>中，112,2AF AF a FF c +==，所以，()2
21134AF AF
F F +>，即2243c a ≥，
又a c >，所以223
14c a <<
，即e <1<.
综上所述，2e ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭；
因为1,222⎛⎫∉ ⎪
⎪⎝⎭，故A ，C
错误；
2
2
758191210010010⎛⎛⎫
=<=< ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，即910⎫∈⎪
⎪⎝⎭，故B 正确；
1244=<<
，即
42⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD ．
13．30
x y -+=【分析】在直线l 上任取一点(,)M x y ，则点M 关于直线2y =对称点(,4)M x y '-在直线10x y +-=上，即可求解.
【详解】设直线l 上任意一点(,)M x y ，则点M 关于直线2y =对称点(,4)M x y '-，
因为直线l 与直线10x y +-=关于直线2y =对称，所以(,4)M x y '-在直线10x y +-=上，
即410x y +--=，得到直线l 的一般式方程为30
x y -+=故答案为：30
x y -+=14
．2
【分析】由题意得OA OB === OA OB OB ⋅
，结合勾股定理即可得解.
【详解】由题意得()()0,1,1,1,0,1OA OB ==
，所以OA OB ===
2
2OA OB OB ⋅==
，
所以点A 到直线OB
2.
故答案为：.
15
．7
7
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】由题可知()3,0B 为抛物线C 的焦点，C 的准线方程为3x =-．
设d 为点M 到C 的准线的距离，则MA MB +=7MA d +≥．
又AB =MAB △周长的最小值为7
故答案为：7
16．161
2n +【分析】由题意可知：
112,n n n n a b b a ++==，且21212,21a b b a ====，进而可得22n n a a +=，结合等比数列运算求解.
【详解】由题意可知：112,n n n n a b b a ++==，且21212,21a b b a ====，
则2122n n n a b a ++==，可得12222n n n a a -=⋅=，2122n n n b a +==，
所以1671221888816,2n n n a a a a b +++=+=+=+=.
故答案为：16；12
n +.17．(1)
()()22112
x y -+-=
【分析】（1）由题意得(),C c c ，()22
22222CA c c c c CB =-+=+=，由此即可得解.
（2）首先得经过点()2,1-且与l 垂直的直线l '为1y x =-+，由弦长公式即可得解.
【详解】（1）由题意设圆心(),C c c ，又圆C 过点()2,0A 和()0,0B ，所以()22
2222
2CA c c c c CB =-+=+=，解得1c =，
所以圆心()1,1C
，半径为r CB ==所以圆C 的标准方程为()()22
112x y -+-=.
（2）由题意经过点()2,1-且与l 垂直的直线l '为()12y x +=--，即1y x =-+，
又圆心()1,1C 到直线1y x =-+
的距离为d =
，r =
所以MN ==18．(1)*
24,N n a n n +∈=(2)()*
,N 33n n
T n n =∈+【分析】（1）由,n n a S 的关系即可得解.
（2）由裂项相消法即可得解.
【详解】（1）由题意116a S ==，当*2,N n n ≥∈时，
所以()()()212
155121524n n n a S S n n n n n n -⎡⎤-+-⎦==+-+--==+⎣，
又1246=+=a ，
所以{}n a 的通项公式为*24,N n a n n +∈=.
（2）由题意()()1441
1
242623n n n b a a n n n n +=
==-++++，
所以()11
1
1
11113445233333n n T n n n n =-
+-++-=-=++++ .
所以数列{}n b 的前n 项和()*
,N 33n n
T n n =∈+.
19．(1)28x y
=(2)220x y -+=．
【分析】（1）根据抛物线的定义和标准方程可以确定曲线C 的方程.
（2）利用点差法结合中点坐标公式和斜率公式求解.
【详解】（1）依题意得该动圆的圆心到点()0,2F 的距离到直线=2y -的距离相等．
又点()0,2F 不在直线=2y -上，
所以根据抛物线的定义可知该动圆圆心的轨迹是以()0,2F 为焦点，
=2y -为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为28x y =．
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则2
11
22288x y x y ⎧=⎨=⎩，
两式相减得()2212128x x y y -=-，即1212
128y y x x
x x -+=-．
因为线段AB 的中点坐标为()2,2，所以124x x +=，则121212y y x x -=-，即直线l 的斜率为1
2，
所以直线l 的方程为()1
222y x -=-，即220x y -+=，
经检验，直线:l 220x y -+=与曲线:C 28x y =相交，满足题意，
所以直线l 的方程为220x y -+=.
20．(1)证明见解析；
(2)；
【分析】（1）利用中位线性质构造线线平行即可证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角.
【详解】（1）连接1AC ，与1A C 交于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点．
因为E 为AB 的中点，所以
1//EF BC ，又1BC ⊂/平面1A EC ，EF ⊂平面1A EC ，
所以1//BC 平面1A EC ．
（2）取
11A B 的中点D ，连接ED ，则1//DE AA ，CE AB ⊥．又1AA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥底面ABC ，
CE ⊂底面ABC ，所以DE CE ⊥，
则可以E 为原点，,,EC EB ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令11AA =，
则()0,0,0E
，C ⎫⎪⎪⎝
⎭，110,,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，10,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
所以EC ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，110,,12EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()10,0,1BB =
，
1,02CB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ．
设平面1A EC 的法向量为(),,n x y z = ，则1102302n EA y z n EC ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ ，
取20,1y x z =⇒==，即()0,2,1n = ．
设平面11C CBB 的法向量为(),,m a b c =
，则101022m BB c m CB b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，
取10a b c =⇒==
，即()m = ，
则cos ,m n m n m n ⋅=== ，
即平面1A EC 与平面11C CBB
夹角的余弦值为．
21．(1)
n a n =，2n n b =(2)6620000
T <【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列的通项公式运算求解；
（2）根据题意分析可知6612111210()(210)T a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+，利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式以及错位相减法运算求解.
【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，
因为1224b a b a =⎧⎨=⎩，则111213b d b d =+⎧⎨=+⎩，解得112d b =⎧⎨=⎩，
所以11n a n n =+-=，1222n n n b -=⨯=．
（2）因为(1)
1232k k k ++++⋅⋅⋅+=，
当10k =时，(1)552k k +=，
可知6612111210()(210)T a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+，且
1211(111)11662a a a +⨯++⋅⋅⋅+==，令{}n nb 的前n 项和为n S ，
则234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，
可得234512122232422n n S n +=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两式相减得()231112(21)22222212221n n n n n n S n n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯=-⨯--，
即1(1)22n n S n +=-⨯+，可得
111210210922b b b ++⋅⋅⋅+=⨯+，所以
1166922661850020000T =⨯++=<．22．(1)29x +2
4y ＝1
(2)证明见解析
【分析】（1）设11(,)P x y ，根据斜率之积和点P 在椭圆上整理可得椭圆C 的标准方程；
（2）设直线PT 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程消去y ，利用P ，Q 坐标表示出直线PA 与PB 的方程，求解出点D 的坐标，然后用韦达定理化简即可得证．
【详解】（1）由题意可得(0,),(0,)A b B b -，且26a =，则3a =.
设11(,)P x y ，则1111,PA PB y b y b k k x x -+==，所以22
121PA PB y b k k x -⋅=*，
因为点P 在椭圆C 上，所以22
11221x y a b +=，
所以()222
1212b y a x b -=，代入*式得
()222
12222124
9
PA PB y b b k k a b y a b -⋅==-
=--，
由29a =代入得24b =，
故椭圆C 的标准方程为：29x +2
4y ＝1；
（2）设22(,)Q x y ，00(,)D x y ，显然直线PT 不垂直于x 轴，
故可设直线PT 的方程为1y kx =+，由22
1,
1,94y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22(49)18270k x kx ++-=，
因为点(0,1)T 在椭圆C 的内部，则直线PT 与椭圆恒有两个交点，所以1212221827
9494,k
x x x x k k -+==-++，
由（1）知，(0,2),(0,2)A B -,
所以直线AP 的方程为112
2y y x x -=+，直线BQ 的方程为2222
y y x x +=-，
由直线AP 与BQ 相交于点00(,)D x y ，则1001
200222
22
y y x x y
y x x -⎧=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，
消0x 得()
()()
1200212222x y y y x y ++=⋅--①，
由（1）知11112249y y x x -+⋅=-，得()11112492y x x y -=-+，
可得()()()()
12121221121229229(3)(3)244x y y y kx kx x y x x x x +++++=-=--()2222121212227183·939999494274494
k k k k x x k x x k k x x k --+++++++=-⋅=-⨯-+()
222275499493427k k k --++=-⋅=-，将()
()12212=3
2x y x y +-代入①式得()00232y y +=-，解得04y =，
即点D 在直线4y =
上．
【点睛】思路点睛：应用韦达定理解决非对称式的关键在于借助圆锥曲线斜率之积为定值，将
()
()122122x y x y +-转化为()()
12129224y y x x ++-对称式结构再处理即可.。