7.7第七节 立体几何中的向量方法
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①②③ (2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α， β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos 〈n1，n2〉．
4．空间距离的求法 (1)利用|A→B|2＝A→B·A→B可以求空间中有向线段的长度． (2)点面距离的求法．
已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离为|B→O|＝|A→B|·|cos〈A→B，n〉|＝|A→|Bn·|n|.
(2)
如图，取 AD 的中点 G，连接 PG，GB，∵PA＝PD，∴PG⊥AD， 又平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥GB. 在菱形 ABCD 中，∵AB＝AD，∠DAB＝60°，G 是 AD 的中 点， ∴AD⊥GB.
(2)
如图，过点 C1 作 C1D⊥A1B1，交直线 A1B1 于点 D，连接 AD. 由 AB1⊥平面 A1B1C1 得平面 A1B1C1⊥平面 ABB1， 由 C1D⊥A1B1 得 C1D⊥平面 ABB1，
所以∠C1AD 是 AC1 与平面 ABB1 所成的角．
由 B1C1＝
5，A1B1＝2
由题意知各点坐标如下：
A(0，－ 3，0)，B(1,0,0)，A1(0，－ 3，4)，B1(1,0,2)，C1(0， 3，1)．
因此A→B1＝(1， 3，2)，A→1B1＝(1， 3，－2)，A→1C1＝(0,2 3， －3)．
由A→B1·A→1B1＝0 得 AB1⊥A1B1. 由A→B1·A→1C1＝0 得 AB1⊥A1C1. 又 A1B1∩A1C1＝A1， 所以 AB1⊥平面 A1B1C1.
解析：在 Rt△SAB 中，SA＝SB，
S△SAB＝12×SA2＝8， 解得 SA＝4. 设圆锥的底面圆心为 O，底面半径为 r，高为 h， 在 Rt△SAO 中，∠SAO＝30°， 所以 r＝2 3，h＝2， 所以圆锥的体积为13πr2·h＝13π×(2 3)2×2＝8π. 答案：8π
考向一 向量法求直线与平面所成的角 [互动讲练型] [例 1]
10 10 .
答案：D
3．[2018·全国卷Ⅰ]在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC ＝2，AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30°，则该长方体的体积为 ()
A．8 B．6 2 C．8 2 D．8 3
解析：如图，连接 AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面 BB1C1C， ∴∠AC1B 为直线 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角，∴∠AC1B ＝30°.又 AB＝BC＝2，
n1，n2 的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另 一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同 时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、 易错点．
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．( × ) (2)已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6，2)，则 a∥c，a⊥b.( √ ) (3)已知向量 m，n 分别是直线 l 的方向向量和平面 α 的法向
大值为( )
33 23 A. 4 B. 3
C.3 4 2
D.
3 2
解析：如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，平 面 AB1D1 与棱 A1A，A1B1，A1D1 所成的角都相等，又正方 体的其余棱都分别与 A1A，A1B1，A1D1 平行，故正方体 ABCD －A1B1C1D1 的每条棱所在直线与平面 AB1D1 所成的角都相 等．
量，若 co〈s m，n〉＝－12，则直线 l 与平面 α 所成的角为 120°.( × ) (4)已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两
平面所成的二面角的大小为 45°.( × )
2．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 C1D1 的中点，则异面 直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为( )
如图所示，取棱 AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD 的 中点 E，F，G，H，M，N，则正方体 EFGHMN 所在平面与平面 AB1D1 平行
且面积最大，此截面面积为
S
正六边形 EFGHMN＝6×12×
22×
22sin60°＝3
4
3 .
故选 A.
答案：A
5．过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD，若 AB＝PA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为________．
解析：如图所示，建立空间直角坐标系 A－xyz，设 AB＝PA ＝1，知 A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，由题 意，AD⊥平面 ABP，设 E 为 PD 的中点，连接 AE，则 AE⊥PD.
又因为 CD⊥平面 PAD，所以 AE⊥CD， 又 PD∩CD＝D，
所以
sinθ＝|cos〈A→C1，n〉＝
→ |AC1·n| →
＝
39 13 .
|AC1|·|n|
因此，直线
AC1
与平面
ABB1
所成的角的正弦值是
39 13 .
考向二 向量法求二面角[互动讲练型] [例 2]
[2019·宝安，潮阳，桂城等八校模拟]如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且∠ABC＝120°.点 E 是棱 PC 的 中点，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F.
二、必明 3 个易误点 1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出
答案而忽视了夹角为0，π2. 2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对
值应为线面角的正弦值．
3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或
钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时 cosθ＝||nn11|·|nn22||；由图 形知二面角是钝角时，cosθ＝－||nn11|·|nn22||.当图形不能确定时，要根 据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量
A．－
10 10
B．－210
1
10
C.20
D. 10
解析：
如图建立空间直角坐标系 D－xyz，设 DA＝1，A(1,0,0)，
C(0,1,0)，E0，12，1，则A→C＝(－1,1,0)，D→E＝0，12，1，设异
面直线
DE
与
AC
所成的角为
θ，则
cosθ＝|cos〈A→C，D→E〉|＝
又 BF⊂平面 ABFD，所以平面 PEF⊥平面 ABFD.
(2)如图，作 PH⊥EF，垂足为 H. 由(1)得，PH⊥平面 ABFD. 以 H 为坐标原点，H→F的方向为 y 轴正方向，|B→F|为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系 H－xyz.
由(1)可得，DE⊥PE.
又 DP＝2，DE＝1，所以 PE＝ 3.
解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成
的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．
解法一
(1)由 AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB 得 AB1＝A1B1 ＝2 2，
所以 A1B21＋AB12＝AA21，故 AB1⊥A1B1. 由 BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC 得 B1C1＝ 5， 由 AB＝BC＝2，∠ABC＝120°得 AC＝2 3， 由 CC1⊥AC，得 AC1＝ 13，所以 AB21＋B1C12＝AC12，故 AB1⊥B1C1. 又 B1C1∩A1B1＝B1， 因此 AB1⊥平面 A1B1C1.
又 PE＝1，EF＝2，所以 PE⊥PF.
所以 PH＝ 23，EH＝32.
则
H(0,0,0)
，
P
0，0，
3 2
，
D
－1，－32，0
，
→ DP
＝
1，32， 23，H→P＝0，0， 23.
又H→P为平面 ABFD 的法向量，
设 DP 与平面 ABFD 所成角为 θ，
[2018·全国卷Ⅰ]如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别 为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达 点 P 的位置，且 PF⊥BF.
(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．
解析：(1)证明：由已知可得 BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝ F，所以 BF⊥平面 PEF.
2，A1C1＝
21得 cos∠C1A1B1＝
6， 7
sin∠C1A1B1＝
1 ，所以 7
C1D＝
3，
故
sin∠C1AD＝CA1CD1＝
39 13 .
因此，直线
AC1
与平面
ABB1
所成的角的正弦值是
39 13 .
解法二 (1)
如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x， y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O－xyz.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2018·浙江卷，19]如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A， B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1， AB＝BC＝B1B＝2.
(1)证明：AB1⊥平面 A1B1C1； (2)求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值．
2.直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n， 直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sinφ＝|cosθ|＝③||ee|·|nn||.
3.二面角的求法 (1)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈A→B，C→D〉．
所以 AE⊥平面 CDP. 所以A→D＝(0,1,0)，A→E＝0，12，12分别是平面 ABP， 平面 CDP 的法向量，且〈A→D，A→E〉＝45°，
所以平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为 45°. 答案：45°
6．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相 垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30°.若△SAB 的面积为 8，则该圆 锥的体积为________．
则
sinθ＝
→→ HP·DP →→
＝
|HP||DP|来自百度文库
3 4＝ 3
3 4.
所以
DP
与平面
ABFD
所成角的正弦值为
3 4.
悟·技法 向量法求线面角的两大途径 (1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量， 转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面 的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 提醒：在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线 上取两个点可构成一个法向量.
(1)求证：AB∥EF； (2)若 PA＝PD＝AD＝2，且平面 PAD⊥平面 ABCD，求平面 PAF 与平面 AE 所成的锐二面角的余弦值．
解析：(1)∵底面 ABCD 是菱形，∴AB∥CD， 又 AB⊄平面 PCD，CD⊂平面 PCD，∴AB∥平面 PCD， ∵A，B，E，F 四点共面，且平面 ABEF∩平面 PCD＝EF， ∴AB∥EF.
(2)设直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角为 θ. 由(1)可知A→C1＝(0,2 3，1)A→B＝(1， 3，0)，B→B1＝(0,0,2)． 设平面 ABB1 的法向量 n＝(x，y，z)．
n·A→B＝0， 由n·B→B1＝0，
即2x＋z＝03，y＝0，
可取 n＝(－ 3，1,0)．
在 Rt△ABC1 中，AC1＝sin230°＝4， 在 Rt△ACC1 中，CC1＝ AC21－AC2＝ 42－22＋22＝2 2， ∴V 长方体＝AB×BC×CC1 ＝2×2×2 2＝8 2. 故选 C. 答案：C
4．[2018·全国卷Ⅰ]已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直
线与平面 α 所成的角都相等，则 α 截此正方体所得截面面积的最
第七节 立体几何中的向量方法
【知识重温】
一、必记 4 个知识点
1．异面直线所成角的求法
设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，则
a 与 b 的夹角 β l1 与 l2 所成的角 θ
范围
[0，π]
①0，π2
求法 cosβ＝|aa|·|bb| cosθ＝|cosβ|＝②||aa|·|bb||
4．空间距离的求法 (1)利用|A→B|2＝A→B·A→B可以求空间中有向线段的长度． (2)点面距离的求法．
已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离为|B→O|＝|A→B|·|cos〈A→B，n〉|＝|A→|Bn·|n|.
(2)
如图，取 AD 的中点 G，连接 PG，GB，∵PA＝PD，∴PG⊥AD， 又平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥GB. 在菱形 ABCD 中，∵AB＝AD，∠DAB＝60°，G 是 AD 的中 点， ∴AD⊥GB.
(2)
如图，过点 C1 作 C1D⊥A1B1，交直线 A1B1 于点 D，连接 AD. 由 AB1⊥平面 A1B1C1 得平面 A1B1C1⊥平面 ABB1， 由 C1D⊥A1B1 得 C1D⊥平面 ABB1，
所以∠C1AD 是 AC1 与平面 ABB1 所成的角．
由 B1C1＝
5，A1B1＝2
由题意知各点坐标如下：
A(0，－ 3，0)，B(1,0,0)，A1(0，－ 3，4)，B1(1,0,2)，C1(0， 3，1)．
因此A→B1＝(1， 3，2)，A→1B1＝(1， 3，－2)，A→1C1＝(0,2 3， －3)．
由A→B1·A→1B1＝0 得 AB1⊥A1B1. 由A→B1·A→1C1＝0 得 AB1⊥A1C1. 又 A1B1∩A1C1＝A1， 所以 AB1⊥平面 A1B1C1.
解析：在 Rt△SAB 中，SA＝SB，
S△SAB＝12×SA2＝8， 解得 SA＝4. 设圆锥的底面圆心为 O，底面半径为 r，高为 h， 在 Rt△SAO 中，∠SAO＝30°， 所以 r＝2 3，h＝2， 所以圆锥的体积为13πr2·h＝13π×(2 3)2×2＝8π. 答案：8π
考向一 向量法求直线与平面所成的角 [互动讲练型] [例 1]
10 10 .
答案：D
3．[2018·全国卷Ⅰ]在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC ＝2，AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30°，则该长方体的体积为 ()
A．8 B．6 2 C．8 2 D．8 3
解析：如图，连接 AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面 BB1C1C， ∴∠AC1B 为直线 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角，∴∠AC1B ＝30°.又 AB＝BC＝2，
n1，n2 的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另 一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同 时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、 易错点．
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．( × ) (2)已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6，2)，则 a∥c，a⊥b.( √ ) (3)已知向量 m，n 分别是直线 l 的方向向量和平面 α 的法向
大值为( )
33 23 A. 4 B. 3
C.3 4 2
D.
3 2
解析：如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，平 面 AB1D1 与棱 A1A，A1B1，A1D1 所成的角都相等，又正方 体的其余棱都分别与 A1A，A1B1，A1D1 平行，故正方体 ABCD －A1B1C1D1 的每条棱所在直线与平面 AB1D1 所成的角都相 等．
量，若 co〈s m，n〉＝－12，则直线 l 与平面 α 所成的角为 120°.( × ) (4)已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两
平面所成的二面角的大小为 45°.( × )
2．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 C1D1 的中点，则异面 直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为( )
如图所示，取棱 AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD 的 中点 E，F，G，H，M，N，则正方体 EFGHMN 所在平面与平面 AB1D1 平行
且面积最大，此截面面积为
S
正六边形 EFGHMN＝6×12×
22×
22sin60°＝3
4
3 .
故选 A.
答案：A
5．过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD，若 AB＝PA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为________．
解析：如图所示，建立空间直角坐标系 A－xyz，设 AB＝PA ＝1，知 A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，由题 意，AD⊥平面 ABP，设 E 为 PD 的中点，连接 AE，则 AE⊥PD.
又因为 CD⊥平面 PAD，所以 AE⊥CD， 又 PD∩CD＝D，
所以
sinθ＝|cos〈A→C1，n〉＝
→ |AC1·n| →
＝
39 13 .
|AC1|·|n|
因此，直线
AC1
与平面
ABB1
所成的角的正弦值是
39 13 .
考向二 向量法求二面角[互动讲练型] [例 2]
[2019·宝安，潮阳，桂城等八校模拟]如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且∠ABC＝120°.点 E 是棱 PC 的 中点，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F.
二、必明 3 个易误点 1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出
答案而忽视了夹角为0，π2. 2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对
值应为线面角的正弦值．
3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或
钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时 cosθ＝||nn11|·|nn22||；由图 形知二面角是钝角时，cosθ＝－||nn11|·|nn22||.当图形不能确定时，要根 据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量
A．－
10 10
B．－210
1
10
C.20
D. 10
解析：
如图建立空间直角坐标系 D－xyz，设 DA＝1，A(1,0,0)，
C(0,1,0)，E0，12，1，则A→C＝(－1,1,0)，D→E＝0，12，1，设异
面直线
DE
与
AC
所成的角为
θ，则
cosθ＝|cos〈A→C，D→E〉|＝
又 BF⊂平面 ABFD，所以平面 PEF⊥平面 ABFD.
(2)如图，作 PH⊥EF，垂足为 H. 由(1)得，PH⊥平面 ABFD. 以 H 为坐标原点，H→F的方向为 y 轴正方向，|B→F|为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系 H－xyz.
由(1)可得，DE⊥PE.
又 DP＝2，DE＝1，所以 PE＝ 3.
解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成
的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．
解法一
(1)由 AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB 得 AB1＝A1B1 ＝2 2，
所以 A1B21＋AB12＝AA21，故 AB1⊥A1B1. 由 BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC 得 B1C1＝ 5， 由 AB＝BC＝2，∠ABC＝120°得 AC＝2 3， 由 CC1⊥AC，得 AC1＝ 13，所以 AB21＋B1C12＝AC12，故 AB1⊥B1C1. 又 B1C1∩A1B1＝B1， 因此 AB1⊥平面 A1B1C1.
又 PE＝1，EF＝2，所以 PE⊥PF.
所以 PH＝ 23，EH＝32.
则
H(0,0,0)
，
P
0，0，
3 2
，
D
－1，－32，0
，
→ DP
＝
1，32， 23，H→P＝0，0， 23.
又H→P为平面 ABFD 的法向量，
设 DP 与平面 ABFD 所成角为 θ，
[2018·全国卷Ⅰ]如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别 为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达 点 P 的位置，且 PF⊥BF.
(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．
解析：(1)证明：由已知可得 BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝ F，所以 BF⊥平面 PEF.
2，A1C1＝
21得 cos∠C1A1B1＝
6， 7
sin∠C1A1B1＝
1 ，所以 7
C1D＝
3，
故
sin∠C1AD＝CA1CD1＝
39 13 .
因此，直线
AC1
与平面
ABB1
所成的角的正弦值是
39 13 .
解法二 (1)
如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x， y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O－xyz.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2018·浙江卷，19]如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A， B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1， AB＝BC＝B1B＝2.
(1)证明：AB1⊥平面 A1B1C1； (2)求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值．
2.直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n， 直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sinφ＝|cosθ|＝③||ee|·|nn||.
3.二面角的求法 (1)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈A→B，C→D〉．
所以 AE⊥平面 CDP. 所以A→D＝(0,1,0)，A→E＝0，12，12分别是平面 ABP， 平面 CDP 的法向量，且〈A→D，A→E〉＝45°，
所以平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为 45°. 答案：45°
6．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相 垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30°.若△SAB 的面积为 8，则该圆 锥的体积为________．
则
sinθ＝
→→ HP·DP →→
＝
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3 4＝ 3
3 4.
所以
DP
与平面
ABFD
所成角的正弦值为
3 4.
悟·技法 向量法求线面角的两大途径 (1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量， 转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面 的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 提醒：在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线 上取两个点可构成一个法向量.
(1)求证：AB∥EF； (2)若 PA＝PD＝AD＝2，且平面 PAD⊥平面 ABCD，求平面 PAF 与平面 AE 所成的锐二面角的余弦值．
解析：(1)∵底面 ABCD 是菱形，∴AB∥CD， 又 AB⊄平面 PCD，CD⊂平面 PCD，∴AB∥平面 PCD， ∵A，B，E，F 四点共面，且平面 ABEF∩平面 PCD＝EF， ∴AB∥EF.
(2)设直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角为 θ. 由(1)可知A→C1＝(0,2 3，1)A→B＝(1， 3，0)，B→B1＝(0,0,2)． 设平面 ABB1 的法向量 n＝(x，y，z)．
n·A→B＝0， 由n·B→B1＝0，
即2x＋z＝03，y＝0，
可取 n＝(－ 3，1,0)．
在 Rt△ABC1 中，AC1＝sin230°＝4， 在 Rt△ACC1 中，CC1＝ AC21－AC2＝ 42－22＋22＝2 2， ∴V 长方体＝AB×BC×CC1 ＝2×2×2 2＝8 2. 故选 C. 答案：C
4．[2018·全国卷Ⅰ]已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直
线与平面 α 所成的角都相等，则 α 截此正方体所得截面面积的最
第七节 立体几何中的向量方法
【知识重温】
一、必记 4 个知识点
1．异面直线所成角的求法
设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，则
a 与 b 的夹角 β l1 与 l2 所成的角 θ
范围
[0，π]
①0，π2
求法 cosβ＝|aa|·|bb| cosθ＝|cosβ|＝②||aa|·|bb||