初四数学解三角函数作业
初四数学解直角三角函数作业
初四数学解直角三角函数ABCD卷备注：共4份试题，每次可以做一组。
本试卷为复习试卷，仅供复习使用。
出题人：刘老师审核人：___________ 姓名：________________A组1.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°，∠A=60°,AC=10,试求CD的长．2.综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。
如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB 上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。
请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08）3.为倡导“地摊生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图，车架档AC 与CD的长分别为45cm，60cm，且它们相互垂直，座杆CE的长为20cm，点,,A C E在同一条直线上，且75CAB∠=︒，如图2.（1）求车架档AD的长（2）求车座点E到车架档AB的距离.（记过精确到1cm，参考数据：sin750.959cos750.2588tan75 3.7321︒≈︒≈︒≈，，）4.如图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，如图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A 点到楼顶D的距离为5m，每层楼高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面．(1)求16层楼房DE的高度；(2)若EF=16m，求塔吊的高CH 的长（精确到0.1m）.5.丁丁要制作一个形如图1的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图2 阴影所示的梯形翅膀，请你根据图2中的数据帮助丁丁计算出BE，CD的长度（精确到个位，7.13 ）6.如图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形。
2021年初中数学三角函数实际应用专项(40题含答案)-实用必备
2020级第10题专项一．选择题（共40小题）1．小明在某个斜坡AB上，看到对面某高楼BC上方有一块宣传“中国国际进口博览会”的竖直标语牌CD，小明在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，并且测得斜坡AB的坡度为i＝1：（B、C、D在同一条直线上），已知斜坡AB长20米，高楼高19米（即BC＝19米），则标语牌CD的长是（）米．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°＝0.74，tan42°≈0.9，≈1.73）A．2.3B．3.8C．6.5D．6.62．轨道环线通车给广大市民带来了很大便利，如图是渝鲁站出口横截面平面图，扶梯AB 的坡度i＝1：2.4，在距扶梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得扶梯终端B处的仰角为14°，扶梯终端B距顶部2.4米，则扶梯的起点A与顶部的距离是（）（参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）A．7.5米B．8.4米C．9.9米D．11.4米3．小蓉从格致楼底楼点A处沿立人大礼堂旁的台阶AB拾阶而上，步行20米后到达万象楼楼底点B，再从点B直线行进15米到达直通博雅楼的台阶底端C，然后沿台阶CD步行至博雅楼底楼的小平台D．在D点处测得竖立于百汇园旁的万象楼BE的楼顶点E的仰角为30°．如图所示，已知台阶AB与水平地面夹角为45°，台阶CD与水平地面夹角为60°，CD＝12米，点A，B，C，D，E在同一平面．则格致楼楼底点A到万象楼楼顶点E的垂直高度约为（）（参考数据：≈1.7，≈1.4）A．22.1米B．35.2米C．27.3米D．36.1米4．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C 处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB 的高度为（）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．60B．70C．80D．905．如图所示，小明所住高楼AB高为100米，楼旁有一座坡比为3：1的山坡CE，小明想知道山坡的高度，于是小明来到楼顶B俯视坡底C，测得俯角为45°，仰视坡项E，测得仰角为27°，请根据小明提供的信息，帮小明求出斜坡CE的高度ED的值．（结果均精确到0.1米．参考数据：sin27°≈0.45，cos37°≈0.89，tan27°≈0.51）（）A．151.1米B．168.7米C．171.6米D．181.9米6．重庆一中寄宿学校正校门上方的石雕题写着“求知求真”的校训，引领着学校的前进和发展．“求知求真”校训背后是节节高升的“百步梯”．如图，石雕的上边缘点A距地面高度为AB，点B距“百步梯”底端C的距离BC＝10米，“百步梯”底端C与顶端D的连线可视作坡度为1：0.75的斜坡，且CD＝45米．若A、B、C、D四点在同一平面内，且在点D看石雕上边缘点A的俯角为24°，则校训石雕上边缘距地面的高度AB约为（）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）A．16.65B．17.35C．18.65D．19.357．“重庆自然博物馆”坐落在美丽的缙云山脚下，该馆现有藏品11万余件，是全国中小学生研学实践教育基地，西大附中某数学兴趣小组，想测量博物馆的高度，他们先在博物馆正对面的大楼楼顶A处，测得博物馆底部B处的俯角为50°，测得博物馆顶端C的俯角为45°，再从楼底O经过平地到达F，再沿着斜坡向上到达E，最后经过平台达到B，测得OF＝20米，平台EB的长为28.8米，已知，楼OA高为60.5米，斜坡EF的坡度i ＝1：2.4，A、O、F、E、B、C在同一平面内，则博物馆的高约为（）米．（参考数据：tan50°≈1.2）A．10.5B．10.0C．12.0D．12.28．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为t＝12：5，小张从与点C相距65米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（）米．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．12.9B．22.2C．24.9D．63.19．“行千里•致广大”是重庆人民向大家发出的旅游邀请．如图，某建筑物上有一个旅游宣传语广告牌，小亮在A处测得该广告牌顶部E处的仰角为45°，然后沿坡比为5：12的斜坡AC行走65米至C处，在C处测得广告牌底部F处的仰角为76°，已知CD与水平面AB平行，EG与CD垂直，且EF＝2米，则广告牌顶部F到CD的距离EG为（）（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24．tan76°≈4）A．46B．44C．71D．6910．如图，斜坡AP的坡比为1：2.4，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔顶B的仰角∠BAC为76°，坡顶A到塔底C处的距离为4米，则斜坡AP长度约为（）（点P、A、B，C，D在同一个平面内，sin76°≈0.97，cos76°≈0.22，tan76°≈4.5）A．24 米B．26米C．28米D．30米11．“不览夜景，未到重庆”，重庆两江游是指乘坐观光游船，夜游长江和嘉陵江．如图，小洋在长江边D处，测得江面上的“交运明月”号游船A的俯角为40°，若DE＝41米，DE⊥CE，CE＝27米，CE平行于AB，BC的坡角的正切值为，坡长BC＝135米，则AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．67.4米B．69.4米C．71.4米D．73.4米12．如图，CD是一长为5米的斜坡（坡度为i＝1：0.75，AB是与CD底部相平的一棵树．在坡顶C处测得树顶A点的仰角α＝31°，在坡底部D处测得树顶A点的仰角β＝60°，则树高AB为（结果精确到0.1，sin31°＝0.52，tan31°＝0.6，）（）A．8.2B．8.3C．8.8D．8.913．位千重庆市汇北区的照母山森林公园乘承“近自然”生态理念营造森林风景，“虽由人作，宛自天开“，凸显自然风骨与原生野趣．山中最为瞩目的经典当属揽星塔．登临塔顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰新区，领略附近楼宇的壮美；亦可远眺两江胜景．登临此塔，让你有飘然若仙的联想又有登高远眺，“一览众山小“的震撼，我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，已知揽星塔AB位于坡度l＝：1的斜坡BC上，测量员从斜坡底端C处往前沿水平方向走了120m达到地面D处，此时测得揽星塔AB顶端A的仰角为37°，揽星塔底端B的仰角为30°，已知A、B、C、D在同一平面内，则该塔AB的高度为（）米，（结果保留整数，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）A．31B．40C．60D．13614．缙云山是国家级自然风景名胜区，上周周末，小明和妈妈到缙云山游玩，登上了香炉峰观景塔，从观景塔底中心D处水平向前走14米到点A处，再沿着坡度为0.75的斜坡A 走一段距离到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟，在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°再往前沿水平方向走27米到C处，观察到观景塔顶端的仰角是22°，则观景塔的高度DE为（）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4）A．21米B．24米C．36米D．45米15．冬季，武隆仙女山迎来滑雪季，如图为滑雪场某段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE，已知着陆坡DE的坡度为i＝1：2.4，DE长度为19.5米，B、D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离为（）米（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数）A．15.9B．16.4C．24.5D．16.016．上周末某同学对建筑物AB的高度进行了测量．如图，他站在点D处测得建筑物顶部点A的仰角为66.5°．然后他从点D沿着坡度为i＝1：的斜坡DF向上走5米到达点F，此时测得建筑物顶部点A的仰角为45°．已知该同学的视线距地面高度为1.5米（即CD ＝EF＝1.5米），图中所有的点均在同一平面内，点B、D、G在同一条直线上，点E、F、G在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG．则建筑物AB高约为（）（参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.3）A．13.9米B．14.2米C．15.6米D．17.3米17．如图，斜坡AP的坡比为1：2.4，在坡顶A处的同一水平面上有一应高楼BC，在斜坡底P处测得该楼顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该楼顶B的仰角∠BAC为76°，楼高BC为18米，则斜坡AP长度约为（点P、A、B、C、Q在同一个平面内，sin76°≈0.97，cos76°≈0.22，tan76°≈4.5）（）A．24米B．26米C．28米D．30米18．西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB表示，小李站在C点测得∠BCA＝45°，小李从C点走4米到达了斜坡DE的底端D点，并测得∠CDE＝150°，从D点上斜坡走了8米到达E点，测得∠AED＝60°，B，C，D在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内，则大树AB的高度约为（）米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）A．24.3B．24.4C．20.3D．20.419．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱，乘客坐在摩天轮慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．最常见的摩天轮一般出现在游乐园（或主题公园）与园游会里，作为一种游乐场机动游戏，与云霄飞车旋转木马合称是“乐园三宝”，如图1，点O是摩天轮的圆心，AB是摩天轮垂直地面的直径，小嘉从摩天轮最低处B下来先沿水平方向向右行走20m到达C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝0.75，坡长为10m的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40m到达点E（A、B、C、D、E均在同一平面内）在E处测得摩天轮顶端A的仰角为24°，则摩天轮AB的高度约为（）（参考数据：sin24°≈0.4，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）A．22.7米B．24.6米C．27.5米D．28.8米20．为出行方便，近日来越来越多的重庆市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，此时CE的长约为（）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）A．26cm B．24cm C．22cm D．20cm21．为了测量重庆有名的观景点南山大金鹰的大致高度，小南同学使用的无人机进行观察，当无人机与大金鹰侧面在同一平面，且距离水平面垂直高度GF为100米时，小南调整摄像头方向，当俯角为45°时，恰好可以拍摄到金鹰的头顶A点；当俯角为63°时，恰好可以拍摄到金鹰底座点E．已知大金鹰是雄踞在一人造石台上，石台侧面CE长12.5米，坡度为1：0.75，石台上方BC长10米，头部A点位于BC中点正上方．则金鹰自身高度约（）米．（结果保留一位小数，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）A．26.5B．36.4C．36.5D．63.522．我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为i＝1：2的斜坡BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CD的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．38.5米B．39.0米C．40.0米D．41.5米23．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米24．重庆市照母山森林公园中最为瞩目的经典当属揽星塔．我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度．如图，测量员在坡度＝1：2的斜坡上的D点处测得塔顶B的仰角为31°，在坡底A处测得塔底到坡底的水平距离AC的长为16米，AD＝10米，则该塔BC的高度为（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈2.24）（）A．24.4米B．26.8米C．28.4米D．31.4米25．如图，斜坡AB长40米，其坡度i＝1：0.75，BF⊥AF，斜坡AB正前方一座建筑物ME 上悬挂了一幅巨型广告牌，小明在斜坡AB的中点C测得广告顶部M的仰角为26.6°，他沿坡面CA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续沿直线行走10米来到D处，在D处测得广告底部N点的仰角为50°，此时小明距大楼底端E处20米．已知B、C、A、D、M、N在同一平面内，F、A、D、E在同一条直线上，则广告牌的高度MN是（）米．（精确到1米，参考数据：sin50°≈0.77，tan50°≈1.19，sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）A．12B．13C．14D．1526．金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE ＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（）A．2436.8米B．2249.6米C．1036.8米D．1136.8米27．如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的面与建筑物平台的剖面ABCD在同一平面上，在点A处测得塔顶H的仰角为35°D处测得塔顶H的仰角为45°，又测得圆柱形建筑物的上底面直径AD为6m，高CD为2.8m，则塔顶端H到地面的高度HG为（）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°0.82，tan35°＝0.70，＝1.41）A．10.8m B．14m C．16.8m D．29.8m28．重庆由于丘陵、山地的特殊地势，被网友们称为”3D魔幻城市”．在重庆，你有时会看到马路上面是房屋、马路下面也是房屋；你从底楼出来，看到门口是一条公路，等你坐电梯上到顶楼，发现还是公路．小王家就在这样的一栋楼里：他从家里底楼出来会看到一条斜坡公路DC，已知∠DCE＝30°，他从楼底B出发，沿着公路到达C处后继续沿着斜坡前进到达D处，共走了27米，然后他又沿着斜坡DA前进到达了顶楼A处，已知DA与水平线夹角为30°，大楼AB高米，假设BC、CD、AD、AB在同一平面内，则斜坡CD的长度约为（）（已知：≈1.73）A．10.3B．10.4C．9D．9.229．如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅AB，小明站在位于建筑物正前方的台阶一上D点处测得条幅顶端A的仰角为36.9°，朝着条幅的方向走到台阶下的E点处，测得条幅顶端A的仰角为63.5°，已知台阶DE的坡度为1：2，DC＝2米，则条幅AB的长度约为（）（参考数据：sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75，sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00）A．7米B．8米C．9米D．10米30．重庆朝天门码头位于置庆市油中半岛的嘉陵江与长江交汇处，是重庆最古老的码头．如图，小王在码头某点E处测得朝天门广场上的某高楼AB的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度为1：2.4的斜坡EC走了26米到达坡顶C处，到C处后继续朝高楼AB的方向前行16米到D处，在D处测得A的仰角为74°，则此时小王距高楼的距离BD的为（）米（结果精确到1米，参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）A．12B．13C．15D．1631．如图，地面上点A和点B方间有一堵墙MN（墙的厚度忽略不计），在墙左侧的小明想测量墙角点M到点B的距离．于是他从点A出发沿着坡度为i＝1：0.75的斜坡AC走10米到点C，再沿水平方向走4米到点D，最后向上爬6米到达瞭望塔DE的顶端点E，测得点B的俯角为40°，已知AM＝8米，则BM大约为（）米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．8.6B．10.7C．15.4D．16.732．如图，小明站在某广场一看台C处，测得广场中心F的俯角为21°，若小明身高CD ＝1.7米，BC＝1.9米，BC平行于地面F A，台阶AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝10.5米，则看台底端A点距离广场中心F点的距离约为（）米．（参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）A．8.9B．9.7C．10.8D．11.933．在距离大足城区的1.5公里的北山之上，有一处密如峰房的石窟造像点，今被称为北山石窟．北山石窟造像在两宋时期达到鼎盛，逐渐都成了以北山佛湾为中心，环绕营盘坡、佛耳岩，观音坡、多宝塔等多处造像点的大型石窟群．多宝塔，也称为“白塔”“北塔”，于岩石之上，为八角形阁式砖塔，外观可辨十二级，其内有八层楼阁，可沿着塔心内的梯道逐级而上，元且期间，小华和妈妈到大足北山游玩，小华站在坡度为l＝1：2的山坡上的B点观看风景，恰好看到对面的多宝培，测得眼睛A看到塔顶C的仰角为30°，接着小华又向下走了10米，刚好到达坡底E，这时看到塔顶C的仰角为45°，若AB ＝1.5米，则多宝塔的高度CD约为（）（精确到0.1米，参考数据≈1.732）A．51.0米B．52.5米C．27.3米D．28.8米34．缙云山是国家级自然风景名胜区，寒假期间，小明和妈妈到缙云山游玩，登上了香炉峰观景塔，从点D处的观景塔出来走到点A处，已知水平线段AD＝14米，沿着坡度为3：4的斜坡AB走一段距离到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟，在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角是22°，测得BC之间的水平距离BC＝27米，则观景塔的高度DE为（）米（参考数据：tan22°≈0.4）A．21B．24C．36D．4535．如图小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，DE⊥CE，CE＝2米，CE平行于AB，迎水坡BC的坡角的正切值为，坡长BC＝10米，则AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米36．休闲广场的边缘是一个坡度为i＝1：2.5的缓坡CD，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB＝0.5m，B到缓坡底端C的距离BC＝0.7m．若秋千的长OA＝2m，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E约为（）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．0.7m37．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C 到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D 的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A．17.0米B．21.9米C．23.3米D．33.3米38．为了方便学生在上下学期间安全过马路，南岸区政府决定在南开（融侨）中学校门口修建人行天桥（如图1），其平面图如图2所示，初三（8）班的学生小刘想利用所学知识测量天桥顶棚距地面的高度．天桥入口A点有一台阶AB＝2m，其坡角为30°，在AB上方有两段平层BC＝DE＝1.5m，且BC，DE与地面平行，BC，DE上方又紧接台阶CD，EF，其长度相等且坡度均为i＝4：3，顶棚距天桥距离FG＝2m，且小刘从入口A点测得顶棚顶端G的仰角为37°，请根据以上数据，帮小刘计算出顶端G点距地面高度为（）m．（结果保留一位小数，参考数据：≈1.73，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）A．5.8B．5.0C．4.3D．3.939．中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i＝1：2.4的斜坡上．宾馆AB高为129米．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像C（雕像的高度忽略不计），已知雕像C距离海岸线D的距离CD 为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°．则轮船E距离海岸线D的距离ED的长为（）米（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45）A．262B．212C．244D．27640．春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E 处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．34.2B．32.7C．31.2D．22.72020级第10题专项参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．小明在某个斜坡AB上，看到对面某高楼BC上方有一块宣传“中国国际进口博览会”的竖直标语牌CD，小明在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，并且测得斜坡AB的坡度为i＝1：（B、C、D在同一条直线上），已知斜坡AB长20米，高楼高19米（即BC＝19米），则标语牌CD的长是（）米．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°＝0.74，tan42°≈0.9，≈1.73）A．2.3B．3.8C．6.5D．6.6【解答】解：如图，作AE⊥BD于E．∵斜坡AB的坡度为i＝1：，∴tan∠ABF＝＝＝，∴∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝×20＝10，BF＝AF＝10，∴BE＝AF＝10，AE＝BF＝10．在Rt△ADE中，DE＝AE•tan42°≈10×1.73×0.9＝15.57，∴BD＝DE+BE≈15.57+10＝25.57，∴CD＝BD﹣BC＝25.57﹣19≈6.6（m），答：标语牌CD的长约为6.6m．故选：D．2．轨道环线通车给广大市民带来了很大便利，如图是渝鲁站出口横截面平面图，扶梯AB的坡度i＝1：2.4，在距扶梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得扶梯终端B处的仰角为14°，扶梯终端B距顶部2.4米，则扶梯的起点A与顶部的距离是（）（参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）A．7.5米B．8.4米C．9.9米D．11.4米【解答】解：作BC⊥P A交P A的延长线于点E，作QD∥PE交BE于点D，由题意可得，AB的坡度i＝＝1：2.4，设BE＝x，则AE＝2.4x，由题意可知：PE＝QD＝P A+AE＝6+2.4x，在Rt△QBD中，tan∠BQD＝，BD＝tan∠BQD•QD＝tan14（6+2.4x）＝0.25（6+2.4x），根据题意，BE﹣BD＝DE，即x﹣0.25（6+2.4x）＝1.5，解得x＝7.5，扶梯的起点A与顶部的距离：2.4+7.5＝9.9米故选：C．3．小蓉从格致楼底楼点A处沿立人大礼堂旁的台阶AB拾阶而上，步行20米后到达万象楼楼底点B，再从点B直线行进15米到达直通博雅楼的台阶底端C，然后沿台阶CD步行至博雅楼底楼的小平台D．在D点处测得竖立于百汇园旁的万象楼BE的楼顶点E的仰角为30°．如图所示，已知台阶AB与水平地面夹角为45°，台阶CD与水平地面夹角为60°，CD＝12米，点A，B，C，D，E在同一平面．则格致楼楼底点A到万象楼楼顶点E的垂直高度约为（）（参考数据：≈1.7，≈1.4）A．22.1米B．35.2米C．27.3米D．36.1米【解答】解：作DH⊥BC交BC的延长线于H，作DG⊥BE于G，作AF⊥BE交BE的延长线于F，则四边形BGDH为矩形，∴DH＝BG，DG＝BH，在Rt△ABF中，sin A＝，则BF＝AB•sin A＝10，在Rt△DCH中，DH＝CD•sin∠DCH＝6，CH＝CD＝6，∴BH＝BC+CH＝15+6＝21，在Rt△DEG中，tan∠EDG＝，则EG＝DG•tan∠EDG＝7，∴EF＝7+6+10≈36.1（米）故选：D．4．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C 处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB 的高度为（）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．60B．70C．80D．90【解答】解：作AH⊥ED交ED的延长线于H，设DE＝x米，∵CD的坡度：i＝1：2，∴CE＝2x米，由勾股定理得，DE2+CE2＝CD2，即x2+（2x）2＝（30）2，解得，x＝30，则DE＝30米，CE＝60米，设AB＝y米，则HE＝y米，∴DH＝y﹣30，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝y，∴AH＝BE＝y+60，在Rt△AHD中，tan∠DAH＝，则≈0.4，解得，y＝90，∴高楼AB的高度为90米，故选：D．5．如图所示，小明所住高楼AB高为100米，楼旁有一座坡比为3：1的山坡CE，小明想知道山坡的高度，于是小明来到楼顶B俯视坡底C，测得俯角为45°，仰视坡项E，测得仰角为27°，请根据小明提供的信息，帮小明求出斜坡CE的高度ED的值．（结果均精确到0.1米．参考数据：sin27°≈0.45，cos37°≈0.89，tan27°≈0.51）（）A．151.1米B．168.7米C．171.6米D．181.9米【解答】解：作BH⊥ED于H，则四边形BADH为矩形，∴DH＝AB＝100，BH＝AD，设EH＝x米，则ED＝（x+100）米，∵∠ACB＝45°，∴AC＝AB＝100，∵山坡CE的坡比为3：1，∴CD＝，∴BH＝AD＝100+，在Rt△BHE中，tan∠EBH＝，即≈0.51，解得，x≈81.93，则ED＝x+100＝181.93≈181.9，故选：D．6．重庆一中寄宿学校正校门上方的石雕题写着“求知求真”的校训，引领着学校的前进和发展．“求知求真”校训背后是节节高升的“百步梯”．如图，石雕的上边缘点A距地面高度为AB，点B距“百步梯”底端C的距离BC＝10米，“百步梯”底端C与顶端D的连线可视作坡度为1：0.75的斜坡，且CD＝45米．若A、B、C、D四点在同一平面内，且在点D看石雕上边缘点A的俯角为24°，则校训石雕上边缘距地面的高度AB约为（）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）A．16.65B．17.35C．18.65D．19.35【解答】解：作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AB＝EF，AF＝BE，∵“百步梯”底端C与顶端D的连线可视作坡度为1：0.75的斜坡，∴设DE＝4x，则CE＝3x，由勾股定理得，CD2＝DE2+CE2，即452＝（4x）2+（3x）2，解得，x＝9，则CE＝3x＝27，DE＝4x＝36，∴BE＝BC+CE＝10+27＝37，在Rt△DAF中，tan∠DAF＝，则DF＝AF•tan∠DAF≈37×0.45＝16.65，则AB＝FE＝DE﹣DF＝36﹣16.65＝19.35（米）故选：D．7．“重庆自然博物馆”坐落在美丽的缙云山脚下，该馆现有藏品11万余件，是全国中小学生研学实践教育基地，西大附中某数学兴趣小组，想测量博物馆的高度，他们先在博物馆正对面的大楼楼顶A处，测得博物馆底部B处的俯角为50°，测得博物馆顶端C的俯角为45°，再从楼底O经过平地到达F，再沿着斜坡向上到达E，最后经过平台达到B，测得OF＝20米，平台EB的长为28.8米，已知，楼OA高为60.5米，斜坡EF的坡度i ＝1：2.4，A、O、F、E、B、C在同一平面内，则博物馆的高约为（）米．（参考数据：tan50°≈1.2）A．10.5B．10.0C．12.0D．12.2【解答】解：延长CB交OF的延长线于G，作EH⊥OG于H，延长EB交OA于N，作CM⊥OA于M，则四边形MNBC为矩形，∴MC＝OG，MN＝BC，设博物馆的高BC为x米，AM＝y米，则MN＝x，∵∠ACM＝45°，∴MC＝AM＝y，∴ON＝60.5﹣x﹣y，则EH＝ON＝60.5﹣x﹣y，∵斜坡EF的坡度i＝1：2.4，∴FH＝2.4×（60.5﹣x﹣y），∴OG＝OF+FH+HG＝20+2.4×（60.5﹣x﹣y）+28.8＝y，整理得，2.4x+3.4y＝194，在Rt△ABN中，tan∠ABN＝，即≈1.2，整理得，y＝5x，把y＝5x代入2.4x+3.4y＝194，得x＝10，即BC＝10米，故选：B．8．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为t＝12：5，小张从与点C相距65米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（）米．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．12.9B．22.2C．24.9D．63.1【解答】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH＝DE＝12，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，∴设BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝652，解得，x＝5，则BH＝12x＝60，CH＝5x＝25，则EF＝DH＝DC+CH＝90，在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，则AF＝EF•tan∠AEF≈90×0.81＝72.9，∴AB＝AF+HF﹣BH＝24.9（米），故选：C．9．“行千里•致广大”是重庆人民向大家发出的旅游邀请．如图，某建筑物上有一个旅游宣传语广告牌，小亮在A处测得该广告牌顶部E处的仰角为45°，然后沿坡比为5：12的斜坡AC行走65米至C处，在C处测得广告牌底部F处的仰角为76°，已知CD与水平面AB平行，EG与CD垂直，且EF＝2米，则广告牌顶部F到CD的距离EG为（）（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24．tan76°≈4）A．46B．44C．71D．69【解答】解：作CM⊥AB于M，延长EG交AB于N，则GN⊥AB，∴四边形CMNG为矩形，∴GN＝CM，MN＝CG，斜坡AC的坡比为5：12，则CM＝5x，AM＝12x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝652，解得，x＝5，∴CM＝5x＝25，AM＝12x＝60，在Rt△FCG中，tan∠FCG＝，即＝tan76°＝4，∴FG＝4CG，∵∠EAN＝45°，∴AN＝EN，即60+CG＝2+4CG+25，解得，CG＝11，∴FG＝44，∴EG＝EF+FG＝46（米）故选：A．10．如图，斜坡AP的坡比为1：2.4，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔顶B的仰角∠BAC为76°，坡顶A到塔底C处的距离为4米，则斜坡AP长度约为（）（点P、A、B，C，D在同一个平面内，sin76°≈0.97，cos76°≈0.22，tan76°≈4.5）A．24 米B．26米C．28米D．30米【解答】解：延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD．在Rt△ABC中，tan76°＝，AC＝4米，∴BC＝18（米）．过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH＝5k，则PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k．由PH+HD＝BC+CD得：12k+4＝5k+18，解得：k＝2，∴AP＝13k＝26（米）．故选：B．11．“不览夜景，未到重庆”，重庆两江游是指乘坐观光游船，夜游长江和嘉陵江．如图，小洋在长江边D处，测得江面上的“交运明月”号游船A的俯角为40°，若DE＝41米，DE⊥CE，CE＝27米，CE平行于AB，BC的坡角的正切值为，坡长BC＝135米，则AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．67.4米B．69.4米C．71.4米D．73.4米【解答】解：作CH⊥AB交AB的延长线于H，延长DEAB交AB的延长线于F，则四边形CHFE为矩形，∴CH＝EF，HF＝CE＝27，∵BC的坡角的正切值为，∴CH＝4x，BH＝3x，由勾股定理得，BC＝＝5x，则5x＝135，解得，x＝27，∴EF＝CH＝108，BH＝81，∴DF＝DE+EF＝149，在Rt△DAF中，tan A＝，则AF＝≈177.4，∴AB＝AF﹣BH﹣HF＝69.4（米）故选：B．12．如图，CD是一长为5米的斜坡（坡度为i＝1：0.75，AB是与CD底部相平的一棵树．在坡顶C处测得树顶A点的仰角α＝31°，在坡底部D处测得树顶A点的仰角β＝60°，则树高AB为（结果精确到0.1，sin31°＝0.52，tan31°＝0.6，）（）。
202新数学复习第三章三角函数解三角形3.4三角函数的图象与性质学案含解析
第四节三角函数的图象与性质课标要求考情分析1。
能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在错误!内的单调性．以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.知识点一用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1．正弦函数y＝sin x,x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0），错误!，(π，0),错误!，（2π，0）．2．余弦函数y＝cos x，x∈［0,2π］的图象中，五个关键点是：(0,1),错误!，(π，－1），错误!，(2π,1）．知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质下表中k∈Z1.对称与周期（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期．（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ）的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况,避免出现增减区间的混淆．3．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间错误!(k∈Z)内为增函数．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．（×)（2）已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1。
(×) (3）y＝sin｜x｜是偶函数．(√）(4)由sin错误!＝sin错误!知，错误!是正弦函数y＝sin x（x∈R）的一个周期．（×）解析：根据三角函数的图象与性质知（1)(2）（4)是错误的，(3）是正确的．2．小题热身(1）函数y＝tan3x的定义域为（D）A。
2020中考数学专项解析：解直角三角形(三角函数应用)
【文库独家】解直角三角形（三角函数应用）1、（绵阳市）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60º，又从A 点测得D 点的俯角β为30º，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为（ A ）A ．20米B ．米C ．米D ．米［解析］GE//AB//CD ，BC=2GC ，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot ∠ACB=30×cot60º=10 3 米，DF=AF •tan30º=10 3 ×33=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。
2、（杭州）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（ ）A ．B ．C ．D ．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：在直角三角形ABC 中，由AB 与sinA 的值，求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，根据面积法求出CD 的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC 中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S △ABC =AC•BC=AB•CD， ∴CD==． 故选B点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．3、（•绥化）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D ，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC 的长．∴AD=AD=4．+44、（•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．∴OP=5、（安顺）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：∵tanA==，∴AC=6，∴△ABC的面积为×6×8=24．故答案为：24．点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．6、（11-4解直角三角形的实际应用·东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30︒，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为米.15. 9.解析：过B 作BE ⊥CD 于点E ，设旗杆AB 的高度为x ，在Rt ABC ∆中，tan AB ACB AC ∠=，所以tan tan 60AB x AC x ACB ====∠︒，在Rt BDE ∆中，BE AC x ==，60BOE ∠=︒，tan BE BDE DE ∠=，所以1tan 3BE DE x BDE===∠，因为CE=AB=x ，所以163DC CE DE x x =-=-=，所以x=9，故旗杆的高度为9米. 7、（•常德）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．BD=2sinB=，∴AB==3∴BD==2∴BC=BD+DC=2∴CE=BC=+，CD=﹣∴tan∠DAE==﹣8、（13年山东青岛、20）如图，马路的两边CF 、DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A 、B 两点分别表示车站和超市。
中考数学解直角三角形练习
中考数学解直角三角形练习第一课时(锐角三角函数)课标要求1、 通过实例认识直角三角形的边角关系：即锐角三角函数（sinA 、cosA 、tanA 、cotA ）2、 熟知300、450、600角的三角函数值3、 会用计算器求锐角的三角函数值：以及由已知的三角函数值求相应的锐角。
4、 通过特殊角三角函数值：知道互余两角的三角函数的关系。
5、 了解同角三角函数的平方关系。
sin 2α+cos 2α=1：倒数关系tan α·cot α=1.6、 熟知直角三角形中：300角的性质。
中招考点1、 锐角三角函数的概念：锐角三角函数的性质。
2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。
3、 运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。
典型例题[例题1] 选择题（四选一）1、如图19-1：在Rt △ABC 中：CD 是斜边AB 上的高：则下列线段比中不等于sinA 的是（ ）A. AC CDB. CB BDC.AB CBD.CBCD分析：sinA=AC CD ； sinA=sin ∠BCD=BC BD ;sinA= ABBC；从而判断D 不正确。
故应选D.。
2、在Rt △ABC 中：∠C ＝900：∠A ＝∠B ：则cosA 的值是（ ） A.21B. 22 C.23 D.1分析：先求出∠A 的度数：因为∠C ＝900：∠A ＝∠B ：故∠A ＝∠B ＝450：再由特殊角的三角函数值可得：cosA=cos450=22故选B.。
3、在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=23 ；则cosB 的值为（ ）A. 21B. 22C.23D.33分析：方法一：因为sinA=23；故锐角A ＝600。
因为∠C ＝900：所以∠B ＝300.cosB=23.故选C.方法二：因为 ∠C ＝900：故 ∠A 与 ∠B 互余.所以cosB=sin A ＝23.故选C..4、如图19-2：在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=53.则BC ：AC 等于（ ）A C图19-1A. 3：4B. 4：3C.3：5D.4：5 分析： 因为∠C ＝900：sinA ＝53 ；又sinA=AB BC .所以AB BC ＝53； 不妨设BC ＝3k ；AB=5k ；由勾股定理可得AC ＝22BC AB -＝4k ；所以BC ：AC ＝3k:4k=3:4故选A.。
作业正文-第三单元-三角函数、解三角形
时作业(十六) 第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数基础热身1.下列说法中正确的是 ( ) A .第一象限角一定不是负角 B .不相等的角,它们的终边必不相同 C .钝角一定是第二象限角D .终边与始边均相同的两个角一定相等2.[2017·南充模拟] 若角α的终边经过点P 0(-3,-4),则tan α= ( ) A .43B .34C .-45 D .-353.已知点P √32,-12在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为 ( )A .5π6B .3π4C .11π6D .5π34.扇形的周长是16,圆心角是2弧度,则扇形面积是 ( ) A .16π B .32π C .16D .325.已知角α的终边在图K16-1中阴影表示的范围内(不包括边界),那么角α用集合可表示为 .图K16-1能力提升6.若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是 ( )A .sin α+cos α<0B .tan α-sin α<0C .cos α-tan α<0D .tan αsin α<07.已知集合M={x|x=k ·90°+45°,k ∈Z},N={x|x=k ·45°+90°,k ∈Z},则有 ( )A .M=NB .N ⊆MC .M ⊆ND .M ∩N=⌀8.若sin θ·cos θ>0,sin θ+cos θ<0,则θ在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限9.已知角α的终边过点P (-8m ,-6sin 30°),且cos α=-45,则m 的值为 ( )A .-12 B .-√32C .12 D .√3210.角α的终边与直线y=3x 重合,且sin α<0,又P (m ,n )是角α终边上一点,且|OP|=√10(O 为坐标原点),则m-n 等于 ( ) A .2 B .-2 C .4 D .-411.角α的顶点在坐标原点O ,始边在y 轴的正半轴上,终边与单位圆交于第三象限内的点P ,且tan α=-34;角β的顶点在坐标原点O ,始边在x 轴的正半轴上,终边与单位圆交于第二象限内的点Q ,且tan β=-2.对于下列结论:①P -35,-45;②|PQ|2=10+2√55;③cos ∠POQ=-35;④△POQ 的面积为√55.其中正确结论的编号是 ( ) A .①②③ B .①②④ C .②③④D .①③④12.若△ABC 的两内角A ,B 满足sin A cos B<0,则△ABC 的形状是 . 13.cos 1·cos 2·cos 3·cos 4的符号为 (填“正”或“负”).14.[2017·泉州二模] 在平面直角坐标系xOy 中,角θ的终边经过点P (x ,1)(x ≥1),则cos θ+sinθ的取值范围是 . 难点突破15.(5分)[2017·吉林、黑龙江两省八校联考] 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式,即弧田面积=12×(弦×矢+矢2).弧田(如图K16-2)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为2π3,半径为6米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是 平方米.(结果保留整数,√3≈1.73)图K16-216.(5分)若角α的终边落在直线y=√3x 上,角β的终边与单位圆交于点12,m ,且sin α·cosβ<0,则cos α·sin β= .课时作业(十七) 第17讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式基础热身1.[2017·天水二中期中] tan 390°=( )A .-√3B .√3C .√33 D .-√332.[2017·成都一诊] 已知α为锐角,且sin α=45,则cos(π+α)= ( ) A .-35B .35C .-45D .453.[2017·宁德质检] 已知sin α+π6=45,则cos α-π3的值为 ( )A .35 B .45 C .-45 D .-35 4.已知tan θ=2,则sin 2θ-sinθcosθ2cos 2θ的值为 ( )A .12 B .1 C .-12 D .-15.[2017·东莞四校联考] 已知sin α=√55,π2≤α≤π,则tan α= . 能力提升6.[2017·潮州二模] 已知sin α-π8=45,则cos α+3π8= ( ) A .-45 B .45 C .-35 D .357.[2017·衡阳四中月考] 若sin x=2sin x+π2,则cos x cos x+π2= ( )55C .23D .-238.[2017·重庆一中月考] 已知α∈32π,2π,且满足cos α+20172π=35,则sin α+cos α= ( )A .-75B .-15C .15D .759.[2018·岳阳一中一模] 已知sin x+cos x=√3-12,x ∈(0,π),则tan x= ( )A .-√33B .√33C .√3D .-√310.若三角形ABC 中,sin(A+B )sin(A-B )=sin 2C ,则此三角形一定是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等边三角形D .等腰直角三角形11.[2017·沈阳三模] 若1+cosαsinα=2,则cos α-3sin α= ( )A .-3B .3C .-95 D .95 12.设tan α=3,则sin(α-π)+cos(π-α)sin(π2-α)+cos(π2+α)= ( )A .3B .2C .1D .-113.已知sin θ,cos θ是方程4x 2-4mx+2m-1=0的两个根,3π2<θ<2π,则θ= ( )A .7π4 B .8π53614.已知A ,B 为△ABC 的两个内角,若sin(2π+A )=-√2·sin(2π-B ),√3cos A=-√2cos(π-B ),则角B= .难点突破 15.(5分)已知1+tanx 1-tanx=3+2√2,则sin x (sin x-3cos x )的值为 .16.(5分)已知sin α+cos α=-15,且π2<α<π,则1sin(π-α)+1cos(π-α)的值为 .课时作业(十八) 第18讲 三角函数的图像与性质基础热身1.已知函数y=12cos ωx -π6的周期为π,则ω的值为 ( )A .1B .2C .±1D .±22.已知函数f (x )=2sin π4-2x ,则函数f (x )的单调递减区间为 ( )A .[3π8+2kπ,7π8+2kπ](k ∈Z)B .[-π8+2kπ,3π8+2kπ](k ∈Z)C .[3π8+kπ,7π8+kπ](k ∈Z)D .[-π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)3.已知函数f (x )=-sin x+π2(x ∈R),则下面结论中错误的是 ( )A .函数f (x )的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间[0,π2]上是增函数C.函数f(x)的图像关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数4.[2017·天水二中期中]下列函数中,最小正周期为π,且图像关于直线x=π3对称的是 ()A.y=sin(2x-π3)B.y=sin(2x-π6)C.y=sin(2x+π6)D.y=sin(x2+π6)5.函数y=√tanx-1的定义域是.能力提升6.[2017·太原五中段考]给出下列函数:①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=sin2x+π2,④y=tan|x|.其中周期为π的所有偶函数为()A.①②B.①②③C.②④D.①③7.[2017·枣庄八中月考]已知函数f(x)=2sin x2的定义域为[a,b],值域为[-1,2],则b-a的值不可能是()A.4π3B.2πC.8π3D.14π38.[2017·许昌二模]若函数y=sin(2x+φ)0<φ<π2的图像的对称中心在区间π6,π3内有且只有一个,则φ的值可以是()A .π12B .π6 C .π3D .5π129.[2017·龙岩六校联考] 已知函数f (x )=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f (x )≤f (π4)对任意x ∈R恒成立,且f (π6)>0,则f (x )的单调递减区间是 ( )A .[kπ,kπ+π4](k ∈Z)B .[kπ-π4,kπ+π4](k ∈Z) C .[kπ+π4,kπ+3π4](k ∈Z)D .[kπ-π2,kπ](k ∈Z)10.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)+√3cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),其图像相邻的两条对称轴方程为x=0与x=π2,则 ( )A .f (x )的最小正周期为2π,且在(0,π)上为增函数B .f (x )的最小正周期为2π,且在(0,π)上为减函数C .f (x )的最小正周期为π,且在(0,π2)上为增函数D .f (x )的最小正周期为π,且在(0,π2)上为减函数11.[2017·昆明三模] 已知函数f (x )=sin ωx+π3(ω>0),A ,B 是函数图像上相邻的最高点和最低点,若|AB|=2√2,则f (1)= .12.[2017·荆州中学二模] 已知函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点2π3,0中心对称,则|φ|的最小值为 .13.(15分)[2017·衡水冀州中学月考] 已知函数f (x )=sin 2x-π6.(1)求函数f (x )的最小正周期; (2)求函数f (x )的单调递增区间;(3)当x ∈0,2π3时,求函数f (x )的最小值,并求出使y=f (x )取得最小值时相应的x 值.14.(15分)[2017·安阳林州一中期中] 已知函数f (x )=cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的最小正周期为π,且f (π3)=-√32. (1)求ω和φ的值;(2)若f (x )>12,求x 的取值范围.难点突破15.(5分)[2017·湖北部分重点中学模拟] 设函数f (x )=4cos(ωx+φ)对任意的x ∈R,都有f (-x )=fπ3+x ,若函数g (x )=sin(ωx+φ)-2,则g (π6)的值是 ( ) A .1 B .-5或3 C .12 D .-216.(5分)[2017·安阳林州一中期中] 已知函数f (x )=2cos(ωx+φ)+1ω>0,|φ|<π2,其图像与直线y=3相邻两个交点的距离为2π3,若f (x )>1对任意x ∈-π12,π6恒成立,则φ的取值范围是( ) A .[-π6,π6] B .[-π4,0]C .(-π3,-π12] D .[0,π4]加练一课(三)三角函数的性质一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[2017·资阳一诊]函数y=sin2x-π3的图像的一条对称轴方程为()A.x=π12B.x=-π12C.x=π6D.x=-π62.函数y=√32的定义域为()A.[-π6,π6 ]B.[kπ-π6,kπ+π6](k∈Z)C.[2kπ-π6,2kπ+π6](k∈Z)D.R3.下列函数中,最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是()A.y=cos(2x+π2)B.y=sin(2x+π2)C.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x4.[2017·襄阳四校联考]将函数f(x)=2sin2x-π3+1的图像上各点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12,所得图像的一个对称中心可能是()A.(π3,0)B.(2π3,0)C.(π3,1)D.(2π3,1)5.[2018·衡水中学二调]已知函数f(x)=a sin x+cos x(a为常数,x∈R)的图像关于直线x=π6对称,则函数g(x)=sin x+a cos x的图像()A .关于直线x=π3对称B .关于点(2π3,0)对称 C .关于点(π3,0) 对称 D .关于直线x=π6对称6.设函数f (x )=sin 2x+π4+cos 2x+π4,则 ( ) A .f (x )在(0,π2)上单调递增,其图像关于直线x=π4对称 B .f (x )在(0,π2)上单调递增,其图像关于直线x=π2对称C .f (x )在(0,π2)上单调递减,其图像关于直线x=π4对称 D .f (x )在(0,π2)上单调递减,其图像关于直线x=π2对称7.若f (x )=2cos(2x+φ)(φ>0)的图像关于直线x=π3对称,且当φ取最小值时,存在x 0∈0,π2,使得f (x 0)=a ,则a 的取值范围是 ( )A .(-1,2]B .[-2,-1)C .(-1,1)D .[-2,1)8.[2018·广雅中学、河南名校联考] 已知函数f (x )=cos(2x+θ)|θ|≤π2在-3π8,-π6上单调递增,若f (π8)≤m 恒成立,则实数m 的取值范围为 ( )A .[√32,+∞) B .[12,+∞) C .[1,+∞) D .[√22,+∞)9.设函数f (x )=sin(ωx+φ),A>0,ω>0,若f (x )在区间π6,π2上单调,且f (π2)=f (2π3)=-f (π6),则f (x )的最小正周期为 ( )A .π2 B .2πC .4πD .π10.[2017·河北武邑中学调研] 已知函数f (x )=sin x-a cos x 图像的一条对称轴为x=34π,记函数f (x )的两个极值点分别为x 1,x 2,则|x 1+x 2|的最小值为 ( )A .3π4 B .π2 C .π4 D .0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 11.[2017·沧州一中月考] 函数y=log 3(2cos x+1),x ∈-2π3,3π3的值域为 . 12.[2018·鞍山一中一模] 函数f (x )=2sin x cos x+√3cos 2x 的周期为 .13.[2018·海南八校联考] 函数y=sin x+cos x+2sin x cos x x ∈-π4,π4的最小值是 .14.函数f (x )=3sin 2x-π3的图像为C ,如下结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号).①图像C 关于直线x=1112π对称;②图像C 关于点2π3,0对称;③函数f (x )在区间-π12,5π12内是增函数;④由y=3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C.课时作业(十九) 第19讲 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用基础热身1.[2017·东莞四校联考] 为了得到函数y=sin 2x-π6的图像,可以将函数y=sin 2x 的图像( )A .向右平移π6个单位长度 B .向右平移π12个单位长度C .向左平移π6个单位长度 D .向左平移π12个单位长度2.[2017·郴州三模] 函数f (x )=2sin 2x-π3的图像关于直线x=x 0对称,则|x 0|的最小值为( ) A .π12B .π6C .π4D .5π123.[2017·榆林三模] 函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图像如图K19-1所示,则ω,φ的值分别为 ( )A .2,0B .2,π4C .2,-π3D .2,π6图K19-14.[2017·昆明一中月考] 函数f (x )=12cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图K19-2所示,则φ的值为 ( )A .π3 B .π6 C .-π6D .-π3图K19-25.已知函数f (x )=A tan(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图K19-3所示,则f (π24)= .图K19-3能力提升6.[2017·江西百所重点高中联考] 函数f (x )=sin(πx+θ)|θ|<π2的部分图像如图K19-4所示,且f (0)=-12,则图中m 的值为 ( )图K19-4A .1B .43C .2D .43或27.[2017·绵阳三诊] 已知函数f (x )=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,A (a ,0),B (b ,0)是其图像上两点,若|a-b|的最小值是1,则f (16)= ( ) A .2 B .-2 C .√32D .-√328.[2017·辽南协作体三模] 已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,|φ|<π2的图像在 y 轴左侧的第一个最高点为-π6,3,第一个最低点为-2π3,m ,则函数f (x )的解析式为 ( ) A .f (x )=3sin (π6-2x)B .f (x )=3sin (2x -π6) C .f (x )=3sin (π3-2x) D .f (x )=3sin (2x -π3)9.[2017·泉州二模] 已知曲线C :y=sin(2x+φ)|φ|<π2的一条对称轴方程为x=π6,曲线C 向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到的曲线E 的一个对称中心为π6,0,则|φ-θ|的最小值是 ( )A .π12 B .π4 C .π3D .5π1210.[2017·成都九校联考] 已知函数f (x )=A sin(2x+φ)-12A>0,0<φ<π2的图像在y 轴上的截距为1,且关于直线x=π12对称,若对于任意的x ∈0,π2,都有m 2-3m ≤f (x ),则实数m 的取值范围为( )A .[1,32] B .[1,2] C .[32,2] D .[3-√32,3+√32] 11.某实验室一天的温度(单位:摄氏度)随时刻t (单位:时)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-√3·cos π12t-sin π12t ,t ∈[0,24),则该实验室这一天的最大温差是 .12.[2017·柳州、钦州一模] 将函数f (x )=3sin 4x+π6图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π6个单位长度,得到函数y=g (x )的图像,则y=g (x )的解析式为 .13.(15分)[2017·衡阳十校联考] 已知函数f (x )=√22sin 2x+π4+sin 2x. (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若函数g (x )对任意x ∈R,有g (x )=f x+π6,求函数g (x )在-π6,π2上的值域.14.(15分)[2017·台州质量评估] 已知函数f (x )=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2的最小正周期为π,且x=π12为f (x )图像的一条对称轴. (1)求ω和φ的值; (2)设函数g (x )=f (x )+f x-π6,求g (x )的单调递减区间.难点突破15.(5分)将函数f (x )=3sin 2x+π3的图像向左平移π6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到g (x )的图像,若g (x 1)g (x 2)=16,且x 1,x 2∈-3π2,3π2,则2x 1-x 2的最大值为 ( )A .21π12B .35π12C .19π6D .59π1216.(5分)[2017·芜湖质检] 将函数f (x )=sin ωx (ω>0)的图像向左平移π4ω个单位长度得到函数g (x )的图像,若函数g (x )的图像关于直线x=ω对称且在区间(-ω,ω)内单调递增,则ω的值为( )A .3√π2B .π4C .√π2 D .3π2课时作业(二十) 第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础热身1.cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°的值为 ( ) A .-√32B .-12C .12D .√322.函数y=sin x+√3cos x 的最小值为 ( )A .1B .2C .√3D .-23.[2017·哈尔滨九中二模] 若2sin θ+π3=3sinπ3-θ,则tan θ= ( )A .-√32B .√35C .2√33 D .2√34.在△ABC 中,sin A=513,cos B=35,则cos C=( )A .-1665 B .-5665 C .±1665D .±56655.[2017·济宁二模] 已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为 .能力提升6.[2017·长沙长郡中学月考] 已知锐角α,β满足sin α=√1010,cos β=2√55,则α+β的值为 ( )A .3π4B .π4 C .π6D .3π4或π47.[2017·东莞四校联考期中] 已知sin α=35,α∈π2,π,tan(π-β)=12,则tan(α-β)的值为 ( ) A .-211B .211C .112D .-1128.[2017·襄阳五中一模] 已知α,β均为锐角,且sin 2α=2sin 2β,则 ( ) A .tan(α+β)=3tan(α-β) B .tan(α+β)=2tan(α-β) C .3tan(α+β)=tan(α-β) D .3tan(α+β)=2tan(α-β)9.[2017·衡水一模] 已知sin α+π3+sin α=-4√35,-π2<α<0,则cos α+2π3等于 ( )A .-45 B .-35 C .45 D .3510.[2017·淮北一中期中]2sin46°-√3cos74°cos16°= .11.[2017·商丘九校联考] 函数f (x )=cosx+sinx cosx -sinx的最小正周期为 .12.[2017·德州二模] 已知cos α=35,cos(α-β)=7√210,且0<β<α<π2,那么β= . 13.(15分)[2017·山东实验中学一模] 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足(2c-a )·cos B-b cos A=0.(1)求角B 的大小; (2)求√3sin A+sin C-π6的取值范围.14.(15分)已知函数f (x )=(1+√3tan x )cos 2x.(1)若α是第二象限角,且sin α=√63,求f (α)的值; (2)求函数f (x )的定义域和值域.难点突破15.(5分)已知锐角α,β满足sin α-cos α=16,tan α+tan β+√3tan αtan β=√3,则α,β的大小关系是 ( )A .α<π4<β B .β<π4<αC .π4<α<β D .π4<β<α16.(5分)如图K20-1所示,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使AE=1,连接EC ,ED ,则sin ∠CED= ( )A .3√1010B .√1010C .√510 D .√515图K20-1课时作业(二十一) 第21讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换基础热身1.[2017·株洲一模] 已知α∈(0,π),cos α=-12,则sin 2α= ( ) A .±√32B .±12C .-√32D .-122.[2017·葫芦岛二模] 已知cos π4-θ2=23,则sin θ= ( ) A .79B .19C .-19 D .-793.[2017·揭阳二模] 已知sin α-cos α=13,则cos π2-2α= ( )A .-89 B .23 C .89 D .√179 4.√3cos10°-1sin170°= ( )A .4B .2C .-2D .-45.已知sin α-2cos α=√102,则tan 2α= .能力提升6.[2017·抚州临川实验学校一模] 若sinπ6-α=13,则2cos 2π6+α2-1等于 ( )A .13B .-13 C .-79D .-17817.[2017·郴州四模] 已知3cos 2θ=tan θ+3,且θ≠k π(k ∈Z),则sin[2(π-θ)]等于 ( ) A .-13 B .13 C .23 D .-238.已知tan B=2tan A ,且cos A sin B=45,则cos A-B-3π2= ( )A .-45 B .45 C .-25D .259.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=√22(sin 56°-cos 56°),c=1-tan 239°1+tan 239°,则a ,b ,c 的大小关系是 ( ) A .a>b>c B .b>a>c C .c>a>b D .a>c>b10.[2017·四川师大附中二模] 已知α∈0,π2,sinπ4-αsin π4+α=-310,则tan α= ( ) A .12 B .2 C .√5D .√5511.化简sin 2(α-π6)+sin 2(α+π6)-sin 2α的结果是 .12.cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°= .13.已知tan(A-B )=12,tan B=-17,且A ,B ∈(0,π),则2A-B= .14.(12分)[2017·天津南开区三模] 设函数f (x )=√22cos 2x+π4+sin 2x. (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)设函数g (x )对任意x ∈R,有g x+π2=g (x ),且当x ∈0,π2时,g (x )=12-f (x ).求函数g (x )在[-π,0]上的解析式.15.(13分)[2017·陕西师大附中模拟] 已知函数f (x )=2√3sin x cos x+2cos 2x-1(x ∈R).(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间0,π2上的最大值和最小值; (2)若f (x 0)=65,x 0∈π4,π2,求cos 2x 0的值.难点突破16.(5分)[2017·天水二中期中] 已知α,β都是锐角,sin α=12,cos(α+β)=12,则cos β等于( )A .1-√32B .√3-12C .12 D .√3217.(5分)[2017·上饶六校联考] 设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则cos(2α-β)的取值范围为 ( )A.[0,1]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[-√22,√2 2]课时作业(二十二)第22讲正弦定理和余弦定理基础热身1.在△ABC中,b=8,c=8√3,S△ABC=16√3,则A等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°2.在△ABC中,若A=60°,a=√3,则a+b-csinA+sinB-sinC等于()A.2B.12C.√3D.√323.[2017·渭南二模]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知a=2且b cos C+c cos B=2b,则b=()A.1B.2C.3D.√24.[2017·山西五校联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cs A+a cosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.55.[2017·泰安二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√2c-a =sinAsinB+sinC,则角B= . 能力提升6.[2017·赣州、吉安、抚州七校联考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=2√3,C=30°,则角B等于()A.30°B.60°C.30°或60°D.60°或120°7.在△ABC中,a2+b2+c2=2√3ab sin C,则△ABC的形状是()A.不等腰的直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.[2017·鹰潭二模]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=2√23,b cos A+a cos B=2,则△ABC的外接圆的面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π9.[2017·柳州一模]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2=2c2,则角C的取值范围是()A.(0,π3]B.(0,π3)C.(0,π6]D.(0,π6)10.已知△ABC的面积为5√3,A=π6,AB=5,则BC=()A.2√3B.2√6C.3√2D.√1311.[2017·福建四地六校联考]已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,则△ABC的周长的最大值为()A.2√3B.6C.√3D.912.[2017·宜春四校联考] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a=1,B=π4,△ABC 的面积S=2,则bsinB的值为 .13.[2017·河南新乡二模] 如图K22-1所示,在△ABC 中,C=π3,BC=4,点D 在边AC 上,AD=DB ,DE ⊥AB ,E 为垂足,若DE=2√2,则cos A= .图K22-114.(10分)[2018·巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校摸底] 如图K22-2所示,在△ABC 中, C=π4,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =48,点D 在BC 边上,且AD=5√2,cos ∠ADB=35. (1)求AC ,CD 的长; (2)求cos ∠BAD 的值.图K22-215.(13分)[2017·潮州二模] 在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且acosB+bcosA c=2√33sin C. (1)求C 的值;(2)若asinA =2,求△ABC 的面积S 的最大值.难点突破16.(12分)[2017·大庆三模]已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB b +cosCc=2√3sinA3sinC.(1)求b的值;(2)若cos B+√3sin B=2,求a+c的取值范围.课时作业(二十三)第23讲正弦定理和余弦定理的应用基础热身1.以观测者的位置作为原点,东、南、西、北四个方向把平面分成四部分,以正北方向为始边,按顺时针方向旋转280°到目标方向线,则目标方向线的位置在观测者 ()A.北偏东80°的方向B.东偏北80°的方向C.北偏西80°的方向D.西偏北80°的方向2.一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走,某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角,前进200 m后,测得该参照物与前进方向成75°角,则河的宽度为 ()A.50(√3+1) mB.100(√3+1) mC.50√2mD.100√2m3.如图K23-1所示,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30°B.45°C.60°D.75°图K23-14.如图K23-2所示,为了测量一棵树的高度,在地面上取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为m.图K23-25.[2017·海南中学月考]如图K23-3所示,设A,B两点在河的两岸,一名测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出A,C两点间的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为m.图K23-3能力提升6.在直径为30 m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,光源射向地面的光呈圆锥体,且其轴截面的顶角为120°,若要求光源恰好照亮整个广场,则光源的高度为()A.15√3mB.15 mC.5√3mD.5 m7.甲船在岛A正南方向的B处以每小时4千米的速度向正北方向航行,AB=10千米,同时乙船自岛A出发,以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为()A.1507分钟B.157分钟C.21.5 分钟D.2.15小时8.如图K23-4所示,一座建筑物AB的高为(30-10√3)m,在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为()A .30 mB .60 mC .30√3 mD .40√3 m图K23-49.如图K23-5所示,为了了解某海域海底构造,在海平面上取一条直线上的A ,B ,C 三点进行测量,已知AB=50 m,BC=120 m,于A 处测得水深AD=80 m,于B 处测得水深BE=200 m,于C 处测得水深CF=110 m,则∠DEF 的余弦值为 ( ) A .1665 B .1965 C .1657 D .1757图K23-510.[2017·北大附中期中] 如图K23-6所示,某住宅小区的平面图形是圆心角为120°的扇形AOB ,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于OA 的小路DC.已知住户张先生从O 沿OD 走到D 用了3 min,再从D 沿DC 走到出入口C 用了4 min .若张先生步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径为 ( ) A .40√13 m B .50√13 mC .30√15 mD .40√15 m图K23-611.某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲拆除高为AB的烟囱,测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=40米,并在点C处正上方的点E处观测烟囱顶部A的仰角为30°,且CE=1米,则烟囱的高AB= 米.12.某小区的绿化地有一个三角形的花圃区,若该三角形的三个顶点分别用A,B,C表示,其对边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cos A-a cos C=0,则在A处望B处和C处所成的视角为.13.[2017·湖北百所重点中学模拟]我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为平方千米.14.(10分)[2017·佛山二模]某沿海四个城市A,B,C,D的位置如图K23-7所示,其中∠ABC=60°,∠BCD=135°,AB=80 n mile,BC=40+30√3n mile,CD=250√6n mile.现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行,60 min后,轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行,则收到指令时该轮船到城市C的距离是多少.图K23-715.(13分)如图K23-8所示,已知在水平面东西方向上的M,N处各有一座发射塔,塔顶A,B的海拔高度分别为AM=100米,BN=200米,一辆测量车在M正南方向的点P处测得发射塔顶A 的仰角为30°,该测量车沿北偏西60°的方向行驶了100√3米后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B的仰角为θ,且∠BQA=θ,经测量得tan θ=2,求两发射塔顶A,B之间的距离.图K23-8难点突破方向的A 16.(12分)如图K23-9所示,某流动海洋观测船开始位于灯塔B北偏东θ0<θ<π2+θ-√3cos 2θ=1,AB=AD.在接到上级命令后,该观测船从A点沿AD方向点,且满足2sin2π4在D点补充物资后沿BD方向投放浮标C.已知该观测船行驶的航程为8 km,浮标C与A点的距离为4√3km.(1)求θ的值;(2)求浮标C到补给站D的距离.图K23-9。
初中数学三角函数计算题
初中数学三角函数计算题
一、在直角三角形中，如果一个锐角为30度，那么它所对的直角边与斜边的比值是多少？
A. 1/2
B. √2/2
C. √3/2
D. 2/√3（答案：A）
二、已知sinA = 1/2，且角A为锐角，则角A的度数为多少？
A. 15度
B. 30度
C. 45度
D. 60度（答案：B）
三、在直角三角形中，如果一个锐角为45度，那么它所对的直角边与另一条直角边的比值是多少？
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2（答案：A）
四、已知cosB = √3/2，且角B为锐角，则角B的度数为多少？
A. 30度
B. 45度
C. 60度
D. 90度（答案：C）
五、若tanC = 1，且角C为锐角，则角C的度数为多少？
A. 15度
B. 30度
C. 45度
D. 60度（答案：C）
六、在直角三角形中，如果一个锐角为60度，那么它所对的直角边与斜边的比值是多少？
A. 1/2
B. √2/2
C. √3/2
D. √3（答案：C）
七、已知sinD = √2/2，且角D为锐角，则角D的度数为多少？
A. 15度
B. 30度
C. 45度
D. 75度（答案：C）
八、若cosE = 1/2，且角E为锐角，则tanE的值为多少？
A. √2
B. √3
C. √3/3
D. 2/√3（答案：B）。
202新数学复习第三章三角函数解三角形23三角函数的图象与性质含解析
课时作业23 三角函数的图象与性质一、选择题1．函数y＝错误!的定义域为（C）A．错误!,k∈ZB．错误!，k∈ZC．错误!，k∈ZD．错误!,k∈Z解析:要使函数y＝错误!有意义,则1－tan错误!≥0，故tan错误!≤1，故kπ－错误!<x－错误!≤kπ＋错误!，k∈Z，解得x∈错误!，k∈Z，故选C．2．已知f(x）＝sin错误!－1，则f(x）的最小正周期是（A）A．2π B．πC．3π D．4π解析：函数f(x）的最小正周期T＝错误!＝2π。
故选A．3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于直线x＝π6对称的是（B）A．y＝sin错误!B．y＝sin错误!C．y＝cos错误!D．y＝cos错误!解析：由函数的最小正周期为π，得错误!＝π，∴ω＝2，故选项A，C错误；当x＝错误!时，sin错误!＝sin错误!＝1,满足题意，故选项B正确；当x＝错误!时，cos错误!＝cos错误!＝0，不满足题意,故选项D错误．4．函数f(x)＝sin错误!＋sin错误!的最大值是（C）A．2 B．错误!C．错误!D．2错误!解析：sin错误!＋cos错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以f（x)＝sin错误!＋sin错误!＝sin错误!＋cos错误!＝sin x cos错误!＋cos x sin错误!＋cos错误!cos x＋sin x sin错误!＝（sin x＋cos x)错误!＝错误!×错误! sin错误!≤错误!×错误!＝错误!,故选C．5．（2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以错误!为周期且在区间错误!单调递增的是(A）A．f(x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x|C．f（x)＝cos|x| D．f(x）＝sin｜x｜解析：A中，函数f（x)＝｜cos2x|的周期为错误!，当x∈错误!时，2x∈错误!，函数f（x）单调递增,故A正确；B中,函数f(x)＝｜sin2x|的周期为错误!,当x∈错误!时，2x∈错误!,函数f(x）单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x｜＝cos x的周期为2π，故C 不正确；D中，f（x)＝sin｜x｜＝错误!由正弦函数图象知，在x≥0和x〈0时，f（x）均以2π为周期,但在整个定义域上f（x）不是周期函数，故D不正确．故选A．6．(2019·天津卷)已知函数f(x）＝A sin（ωx＋φ)（A>0，ω>0，｜φ|〈π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g（x)．若g(x)的最小正周期为2π,且g错误!＝错误!，则f错误!＝（C）A．－2 B．－错误!C．错误!D．2解析：由f（x）为奇函数可得φ＝kπ（k∈Z)，又|φ｜〈π，所以φ＝0，所以g(x)＝A sin错误!ωx。
初四数学解三角函数单元测试
初四数学解三角函数单元测试出题人：刘老师 审核人：__________ 姓名：____________一、单选 1. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是（ ）10103.A 21.B 31.C 1010.D2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA 的值等于（ ）.A 43B.34C.53D.54 3. 如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tanB ′的值为（ ） A. 21 B.31 C.41 D.424. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=53，则cosB 的值是（ ）A.54B.53C.43D.34 5. 在△ABC 中，若|sinA-21|+（cosB-21）2=0，则∠C 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ，则sinB 的值为（ ） A.21 B.22 C.23 D.1 7. 在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ） A ．3sin40° B ．3sin50° C ．3tan40° D ．3tan50° 8. 在Rt △ACB 中，∠C=90°，AB=10，sinA=53，cosA=54，tanA=43，则BC 的长为（ ） A ．6 B ．7.5 C ．8 D ．12.59. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=135，则tanB 的值为（ ） A.1213 B.125 C.1312 D.512 10. 从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，看到楼顶部点D 处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是（ ） A.26米 B.28米 C.30米 D.46米11. 为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB ⊥BE ， EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据： ①BC ，∠ACB ； ②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC ． 能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个12. 从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，看到楼顶部点D 处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是（ ） A.(6+63)米 B. (6+33)米 C. (6+23)米 D.12米二、填空题1. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点． △ABC 的顶点都在方格的格点上，则cosA= ．2. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，CD=4，AC=6，则sinB 的值是 ．3. 在△ABC 中，∠C=90°，若tanA=21，则sinA= ． 4. 在△ABC 中，已知∠C=90°，sinA+sinB=57，则sinA-sinB= ．5. △ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，若sinA=23，cosB=21，则∠C= ．6. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，则AB 的长为 ．7. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA=53，BE=4，则tan ∠DBE 的值是 ．题图第2题图第3题图第6题图第1题图第11题图第12题图 第1题图8. 如图，河岸AD 、BC 互相平行，桥AB 垂直于两岸，从C 处看桥的两端A 、B ，夹角∠BCA=60°，测得BC=7m ，则桥长AB= m （结果精确到1m ）9. 如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC 的长为 米． 10. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的坡度是1：3（坡度是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AB 的长是 ．11. 如图，在建筑平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B的俯角为30°，已知平台CD 的高度为5m ，则大树的高度为 米（结果保留根号）12. 如图，甲乙两幢楼之间的距离是30米，自甲楼顶A 处测得乙楼顶端C 处的仰角为45°，测得乙楼底部D 处的俯角为30°，则乙楼的高度为 米．13. 孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为 米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．14. 如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，则海岛C 到航线AB 的距离CD 等于 海里．15. 如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC= 米．（用根号表示）16. 如图，小亮在太阳光线与地面成35°角时，测得树AB 在地面上的影长BC=18m ，则树高AB 约为 米（结果精确到0.1m ） 三、计算2. 45sin 31)22014(3130tan 20++-+--3. 202)2(30tan 3)551.4(23)21(---++----4.120130)132()1()854015(3560sin --+-+---+5. 60tan 230cos 23330cos 2)21(1++--++-第8题图第9题图第10题图第11题图 第12题图 第14题图 第15题图第16题图四、解答题1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．2. 根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．（1）计算AB的长度．（2）通过计算判断此车是否超速．3. 为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm．点A、C、E在同一条只显示，且∠CAB=75°．（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm）．3. 如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为160米，400米，1000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度．（结果精确到1米）4. 如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．5. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：3．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）6. 某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C 处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）．7. 如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：3（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，3≈1.732）．8. 如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：3，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）．9. 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）10. 如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）11.如图，某河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上的点A处和点B处各有一棵大树，AB=30米，某人在河岸MN上选一点C，AC⊥MN，在直线MN上从点C前进一段路程到达点D，测得∠ADC=30°，∠BDC=60°，求这条河的宽度．（3≈1.732，结果保留三个有效数字）．。
2020版数学习题：第三篇 三角函数、解三角形(必修4、必修5) 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用
正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号利用正、余弦定理解三角形1,2,7与三角形面积有关的计算6,8三角形形状的判断 3几何计算问题12,13实际问题与综合问题4,5,9,10,11,14基础巩固(时间:30分钟)1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a= ,c=2,cos A= ,则b等于(D)(A) (B) (C)2 (D)3解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2× ,解得b=3（b=- 舍去）,选D.2.在△ABC中,B= ,BC边上的高等于BC,则sin A等于(D)(A) (B) (C) (D)解析: 如图,设BC边上的高为AD,因为B= ,所以∠BAD= .所以BD=AD,又AD= BC,所以DC=2AD,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)=sin 45°cos∠DAC+cos 45°sin∠DAC= ×+ ×= .故选D.3.(2018·杭州模拟)在△ABC中,cos = ,则△ABC一定是(A)(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)无法确定解析:由cos = 得2cos2 -1=cos A=cos B,所以A=B,故选A.4.(2018·通辽模拟)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10n mile,从A望C 和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC等于(D)(A)10 n mile (B) n mile(C)5 n mile (D)5 n mile解析:由题意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,所以∠C=45°,由正弦定理得= ,所以BC=5 .5.(2018·南宁模拟)在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是(C)(A)(0, ］(B)［,π)(C)(0, ］(D)［,π)解析:由正弦定理角化边,得a2≤b2+c2-bc.所以b2+c2-a2≥bc,所以cos A= ≥,所以0<A≤.6.(2018·淄博一模)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”,与著名的海伦公式等价,其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减小,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S= .现有周长为2 + 的△ABC满足:sin A∶sin B∶sin C=( -1)∶∶( +1).试用“三斜求积术”求得△ABC的面积为(A)(A) (B) (C) (D)解析:因为sin A∶sin B∶sin C=( -1)∶∶( +1),由正弦定理得a∶b∶c=( -1)∶∶( +1).因为a+b+c=2 + ,所以a= -1,b= ,c= +1.所以ac=2-1=1.c2+a2-b2=1.所以S= = .故选A.7.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=.解析:由正弦定理= 得= ,所以sin B= ,又b<c,所以B<C,所以B=45°,A=180°-60°-45°=75°.答案:75°8.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2. 点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=. 解析:依题意作出图形,如图所示.则sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则cos∠ABC= ,sin∠ABC= .所以S△BDC= BC·BD·sin∠DBC= ×2×2×= .因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-== ,所以CD= .由余弦定理,得cos∠BDC= = .答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2018·宁波模拟)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且cos 2B+3cos (A+C)+2=0,b= ,则c∶sin C等于(D)(A)3∶1 (B) ∶1(C) ∶1 (D)2∶1解析:由cos 2B+3cos (A+C)+2=0,得2cos2B-3cos B+1=0,解得cosB=1(舍去)或cos B= ,所以sin B= ,所以由正弦定理知c∶sin C=b∶sin B=2∶1.10.(2018·石家庄一模)在△ABC中,AB=2,C= ,则AC+ BC的最大值为(D)(A) (B)2 (C)3 (D)4解析:由正弦定理可得,= = = =4.因为A+B= .所以AC+ BC=4sin B+4 sin A=4sin B+4 sin( -B)=4sin B+4 ( cos B+ sin B)=2 cos B+10sin B=4 sin(B+θ)(tan θ= ),因为0<B< ,故AC+ BC的最大值为4 .11. (2018·内蒙古赤峰模拟)如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为m.(取≈1.4, ≈1.7)解析: 如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420=21 000(m).又在△ABC中, = ,所以BC= ×sin15°=10 500( - )(m).因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC=10 500( - )×=10 500( -1)≈7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m).答案:2 65012. (2018·四川泸州二珍)如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=b(sin C+cos C).若A= ,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,则四边形ABDC面积的最大值为.解析:因为a=b(sin C+cos C),所以由正弦定理得sin A=sin∠ABC(sin C+cos C). 即sin(∠ABC+C)=sin∠ABC(sin C+cos C),所以cos∠ABCsin C=sin∠ABCsin C.因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以tan∠ABC=1.又∠ABC∈(0,π),所以∠ABC= .在△BCD中,因为DB=2,DC=1,所以BC2=12+22-2×2×1·cos D=5-4cos D.又因为A= ,∠ABC= ,所以△ABC为等腰直角三角形.所以S△ABC= BC2= -cos D.又因为S△BCD= ·BD·CD·sin D=sin D.所以S四边形ABDC= -cos D+sin D= + sin(D- ).所以当D= 时,S四边形ABDC最大.最大值为+ .答案: +13. (2018·福建宁德一检)如图,△ABC中,D为AB边上一点,BC=1, B= .(1)若△BCD的面积为,求CD的长;(2)若A= , = ,求的值.解:(1)BC=1,B= ,S△BCD= BC·BD·sin B= ×1×BD×= ,BD= .在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B=1+2-2×1××=1,所以CD=1.(2)在△ACD中,由正弦定理得= ,所以sin ∠ACD= = = ,在△BCD中,由正弦定理得= ,所以sin ∠DCB= = = ,所以= = ×= .14.(2018·江西联考)已知函数f(x)=2sin 2x-2sin 2(x- ),x∈R.(1)求函数y=f(x)的对称中心;(2)已知在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且f（+ ）= ,△ABC的外接圆半径为,求△ABC周长的最大值.解:由f(x)=1-cos 2x-（1-cos[2（x- ）］=cos(2x- )-cos 2x= cos2x+ sin 2x-cos 2x= sin 2x- cos 2x=sin(2x- ).(1)令2x- =kπ(k∈Z),则x= + (k∈Z),所以函数y=f(x)的对称中心为( + ,0),k∈Z.(2)由f( + )= 得sin（B+ ）= ⇒sin B+ cos B= ⇒asin B+acos B=b+c,由正弦定理得sin A sin B+sin A cos B=sin B+sin C⇒sin A sin B=sinEarlybirdB+cos Asin B,又因为sin B≠0,所以sin A-cos A=1⇒sin(A- )= .由0<A<π得- <A- < ,所以A- = ,即A= .又△ABC的外接圆的半径为,所以a=2 sin A=3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2- (b+c)2= . 即b+c≤6,当且仅当b=c时取等号,所以△ABC周长的最大值为9.。
北京市第四中学三角函数与解三角形多选题试题含答案
北京市第四中学三角函数与解三角形多选题试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin 2sin B C =，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．当A =2C 时，ABC 的周长为2+D ．当A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB 【答案】BCD 【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案； 对于C ，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案对于D ，由已知条件可得ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB 的面积 【详解】对于A ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得3c =，所以A 错误； 对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(1,),(1,0)B C -，设(,)A m n ，因为2b c ==， 化简得22516()39m n ++=，所以点A 在以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆上运动， 所以ABC 面积的最大值为1442233⨯⨯=，所以B 正确； 对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b cB C=，即2sin(3)sin c c C C π=-，所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以2B π=，6C π=，3A π=，因为2a =，所以c b ==，所以ABC 的周长为2+，所以C 正确； 对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2B π=，6C π=，3A π=，c b ==，所以ABC 的内切圆半径为1212r ⎛=+= ⎝⎭，所以AOB 的面积为111122333cr ⎛=⨯-= ⎝⎭所以D 正确， 故选：BCD 【点睛】此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.2．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()()a b c D f a f b f c ∈，，，，，分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ） A ．()4sin f x x =- B ．()22sin 10cos 13f x x x =-++C ．()tan 2x f x = D ．()sin 20,34f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】AD 【分析】结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若()f x 为 “三角形函数”则()()()max min min f x f x f x <-恒成立，即()()max min 2f x f x <恒成立即可，根据条件求出函数的最大值和最小值，进行判断即可. 【详解】解:①()4sin f x x =-，则()max 415f x =+=，()min 413f x =-= 则()()max min 2f x f x <恒成立,则A 满足条件②()22532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤∴当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值()min 11f x =,当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 23f x =则()()max min 2f x f x <不恒成立，则B 不满足条件 ③()()()tan ,00,2xf x =∈-∞⋃+∞，则不满足条件()()max min 2f x f x <恒成立，故C 不是④()sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则()max sin12f x π=+=+()min 51sin62f x π=+=+则()min 21f x =+，则()()max min 2f x f x <恒成立，故D 满足条件 故选AD 【点睛】本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为()()max min 2f x f x <恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.3．函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数 【答案】BCD 【分析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断； 对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断； 对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断； 【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确. 故选：BCD. 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．4．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭； 由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.5．已知函数()1cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为12【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换思想化简()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】cos cos sin 3266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32232x πππ≤+≤，此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，5151111sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 111122f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．6．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的函数的图象关于6x π=对称，则a 的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则12x x -的最大值为3π【答案】ACD 【分析】 由条件可得13f π⎛⎫=±⎪⎝⎭，可得6πϕ=-从而得出()f x 的解析式, 选项A 先得出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，可判断；选项B 求出函数的单调区间，可判断；选项C 根据图象平移变换得出解析式，可得答案；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断. 【详解】 根据条件可得23sin 333f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 则,6k k Z πϕπ=-∈，由22ππϕ-<<，所以6πϕ=-所以()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭选项A. 3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确. 选项B. 由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 2522233k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 536k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，536x ππ≤≤，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选项B 不正确. 选项C. 函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到,()3sin 23sin 2266y x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭根据条件可得当6x π=时，3sin 23sin 23366a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,62a k k Z πππ-=+∈,则1,26a k k Z ππ=--∈ 由0a >，则当1k =-时，a 有的最小值是3π，故C 正确. 选项D. 作出()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，如图 当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()3f x =，可得3x π= 由33sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()32f x =，可得2x π= 当332a ≤<时，方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则1x +223x π= 设1x <2x ，则1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=-⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 如图当32a =时，1x ，2x 分别为6π，2π时，12x x -最大，最大值为3π，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查三角函数()sin y A x ωϕ=+的图像性质，考查三角函数的图象变换，解答本题的关键是根据正弦型函数的对称性求出ϕ的值，根据三角函数的对称性得到1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，属于中档题.7．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．(2021)1f π=C ．函数|()|y f x =为偶函数D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 【答案】AD 【分析】先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π=-时取得最大值求得ϕ，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=， 由12x π=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭， 即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确；22(2021)2sin 22021=2sin =333f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭B 错误； 由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6x π=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫⎪⎝⎭，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 方法点睛：三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.8．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min 1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ）A ．若21,n S n =-则{}n a 是等差数列 B ．若21,nn S =-则{}n a 是等比数列 C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则221212n n n S S S -+⋅>【答案】BC【分析】由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与22S 大小即可判断D.【详解】对于A 选项，若21n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A 错误；对于B 选项，若21nn S =-，则1112,21,1n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()199995099992a a S a +==，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，()()222222132111110S S S a q q a q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时不等式不等式，故221212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.故选：BC【点睛】本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数列，则()2121n n S n a -=-.10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ）A ．512a =B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64n n + 【答案】BCD【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++-⎪-+⎝⎭ ()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.。
内蒙古自治区包头市第四中学三角函数与解三角形多选题试题含答案
内蒙古自治区包头市第四中学三角函数与解三角形多选题试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立．现将函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数066g x g x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()g x 相邻的对称轴距离为πC ．函数23g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】ABCD 【分析】先利用已知条件求出()f x 的周期T π=，即可得2ω=，再利三角函数图象的平移伸缩变换得()g x 的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】因为对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立 所以()12f x f x π=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()12f x f x ππ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭， 所以()()()11f x f x f x ππ=-=+-+对于R x ∀∈都成立， 可得()f x 的周期T π=，所以22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得 2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于选项A:()2sin 2sin 2sin 2sin 0666666g x g x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；对于选项B ：函数()g x 周期为221T ππ==，所以相邻的对称轴距离为2Tπ=，故选项B正确；对于选项C ：222sin 2sin 2cos 3362g x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是偶函数，故选项C 正确； 对于选项D ：当63x ππ≤≤，066x ππ≤-≤，所以函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 正确， 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭恒成立得出 ()()f x f x π=+可得ω的值，求出()f x 的解析式.2．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）A ．ABC 是等边三角形B ．若23AC =A ，B ，C ，D 四点共圆 C ．四边形ABCD 面积最大值为5332+ D ．四边形ABCD 面积最小值为5332- 【答案】AC 【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ．【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，2sin ,sin B B =∴=， a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===22211cos 232DC DA AC D DA DC +-===-≠-⋅⋅，∴B 不正确． C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )cos 422ABC S θθ∴=⋅-=-△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin 2ABCADCABCD S S Sθθ∴=+=-+四边形13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()3πθ=-+(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈，3ABCD S <≤+四边形，∴C 正确，D 不正确；故选：AC.． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．3．设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（ ）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为MC ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,22k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】 由题可知2T ππω==，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0x =时，()0sin 20sin 662M f M M ππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，故选项A 错误； 因为()sin 26f x M x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以最大值为M ，故选项B 正确； 由解析式可知()f x 在3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 即2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上单调递减，当0k =时，选项C 正确； 由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26x k ππ+=，即212k x ππ=- 当1k =时，512x π=，对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.4．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确； 由()02cos 36f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y 3B 正确；由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确；令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.5．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是22⎡-⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值2，所以函数的值域是⎡-⎢⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.6．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的函数的图象关于6x π=对称，则a 的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则12x x -的最大值为3π【答案】ACD 【分析】 由条件可得13f π⎛⎫=±⎪⎝⎭，可得6πϕ=-从而得出()f x 的解析式, 选项A 先得出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，可判断；选项B 求出函数的单调区间，可判断；选项C 根据图象平移变换得出解析式，可得答案；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断. 【详解】 根据条件可得23sin 333f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 则,6k k Z πϕπ=-∈，由22ππϕ-<<，所以6πϕ=-所以()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭选项A. 3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确. 选项B. 由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 2522233k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 536k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，536x ππ≤≤，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选项B 不正确.选项C. 函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到, ()3sin 23sin 2266y x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭根据条件可得当6x π=时，3sin 23sin 23366a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,62a k k Z πππ-=+∈,则1,26a k k Z ππ=--∈ 由0a >，则当1k =-时，a 有的最小值是3π，故C 正确. 选项D. 作出()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，如图当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()3f x =，可得3x π= 由33sin 662f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()32f x =，可得2x π= 当332a ≤<时，方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则1x +223x π= 设1x <2x ，则1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，如图当32a =时，1x ，2x 分别为6π，2π时，12x x -最大，最大值为3π，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查三角函数()sin y A x ωϕ=+的图像性质，考查三角函数的图象变换，解答本题的关键是根据正弦型函数的对称性求出ϕ的值，根据三角函数的对称性得到1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，属于中档题.7．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【分析】利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin ϕ=sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.8．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x xπππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min 1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.二、数列多选题9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ）A ．若1q =，则n n T S =B ．若2q >，则n n T S >C ．若14q =-，则n n T S >D ．若34q =-，则n n T S > 【答案】BD【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系.【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠，当1q =时，10n S na =>，符合题意；当1q ≠时，()1101n n a q S q -=>-，即101n q q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞. 2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞. 所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD.故选：BD【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.10．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．1q =B ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列 【答案】BC【分析】计算可得2q ，故选项A 错误；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确； lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.【详解】∵142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩∴23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩， ∵{}n a 为递增数列，∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 错误； ∴2n n a =，()12122212n n n S +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.。
北京市第四中学中考数学总复习专题训练锐角三角函数2解直角三角形及其应用(无答案)
解直角三角形及其应用*思考：你认为怎样规定0°和90°角的三角函数值? A B C D E A B C DE在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形．1.在解直角三角形的过程中,一般要用的主要关系如下（如图所示）：(1）三边之间的等量关系：222a +b =c（2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．（3）边与角之间的关系：(4）直角三角形中成比例的线段：sin cos a A B c ==cos sin b A B c ==1tan tan a A B b ==1tan tan b B A a==在Rt △ABC 中，∠C=90°,CD ⊥AB 于D ．CD 2=AD •BD;AC 2=AD •AB;BC 2=BD •BA ；AC •BC=AB •CD ．（5）直角三角形中的主要线段： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,斜边的中点是外心．若r 是Rt △ABC （ ∠C=90°）的内切圆半径，则（6)直角三角形的面积公式:在Rt △ABC 中，∠C=90°,2a b c abr a b c +-==++121 2 ABC c S ab c h ∆==⋅=2．关于直角三角形可解的条件：在直角三角形的六个元素中，除直角外,只要再知道两个（其中至少有一个为边），这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为:（1)已知两条边（两条直角边或斜边和直角边）;（2）已知一边和一个锐角（直角边和一个锐角或斜边和一个锐角）．例1．在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）已知2,求∠A、∠B和b；（2）已知a=23，b=2 ,求∠A、∠B和c；（3）已知sinA=23, c=6 ，求a和b；（4）已知tanB=32，b=9,求a和c；（5）已知∠A=60°,△ABC的面积S=123,求a、b、c及∠B．例2．如图，在△ABC中,AC=12cm,AB=16cm,sinA=13．（1）求AB边上的高CD；（2）求△ABC的面积S；（3）求tanB．例3．如图，有一段斜坡BC长为10m,坡角∠CBD=12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1)求坡高CD;（2)求斜坡新起点A与原起点B之间的距离（精确到0。
初中数学三角函数习题有答案
一、计算题1、计算：．2、计算：3、计算：+() - ；4、计算：、计算：sin60sin6000cos3000+5、小明的家在某公寓楼AD 内，他家的前面新建了一座大厦BC BC，小明想知道大厦的高度，但由于施工原因，无法测，小明想知道大厦的高度，但由于施工原因，无法测出公寓底部A 与大厦底部C 的直线距离，于是小明在他家的楼底A 处测得大厦顶部B 的仰角为，爬上楼顶D 处测得大厦的顶部B 的仰角为，已知公寓楼AD 的高为60米，请你帮助小明计算出大厦的高度BC BC。
6、（、（11）计算：；（2）已知∶∶＝2∶3∶4，求的值的值. .二、简答题7、先化简，再求值：，其中（tan45tan45°°-cos30-cos30°）°）8、已知，凸4n ＋2边形A 1A 2…A 4n+2（n 是非零自然数）各内角都是3030°的整数倍°的整数倍°的整数倍,• ,•又关于x 的方程均有实根，求这凸4n ＋2边形各内角的度数边形各内角的度数. .9、已知：、已知：sin sin α是关于x 的一元二次方程的一个根，请计算代数式：的一个根，请计算代数式：tan tan 22α-sin α+2cos α的值1010、已知、已知是锐角，且，计算1111、如图，△、如图，△、如图，△A A BC 和△CDE 均为等腰直角三角形，点B ，C ，D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，BC =3=3，，CD=1.(1)(1)求证求证tan tan∠∠AEC =;(2);(2)请探究请探究BM 与DM 的关系，并给出证明的关系，并给出证明. .1212、、 先化简再求值：先化简再求值：其中a=tan60a=tan60°° 1313、观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△、观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，过A 作 AD ⊥BC 于D (如图如图))，则sinB =，sinC =，即AD =c sin B ，AD =bsinC ，于是csinB =bsinC ，即.同理有：，，所以即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素根据上述材料，完成下列各题（1）如图，△ABC 中，∠B =450，∠C =750，BC =60=60，则∠，则∠A = = ；；AC = = ；； （2）如图，一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西3030°的方向上，随后货轮以°的方向上，随后货轮以60海里／时的速度按北偏东3030°的方向航行，半小时后到达°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西7575°的方向上°的方向上°的方向上((如图如图))，求此时货轮距灯塔A 的距离AB .1414、开放探索题：、开放探索题：、开放探索题：（1）如图，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定、变化而变化）如图，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定、变化而变化. . . 试探索随试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律. .（2）根据你探索到的规律，试比较1818°，°，°，343434°，°，°，505050°，°，°，626262°，°，°，888888°，这些锐角的正弦°，这些锐角的正弦值和余弦值的大小值和余弦值的大小. .（3）比较大小（在空格处填“）比较大小（在空格处填“>>”、“”、“<<”或“”或“==”）”）若，则______；若，则______；若>45>45°，则°，则______.（4）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：Sin10 Sin10°、°、°、cos30cos30cos30°、°、°、sin50sin50sin50°、°、°、cos70cos70cos70°°.1515、学科内知识综合题：、学科内知识综合题：、学科内知识综合题：已知∠已知∠A A 是锐角，且tanA tanA、、cotA 是关于x 的一元二次方程=0的两个实数根的两个实数根. . （1）求k 的值；的值；（2）问∠）问∠A A 能否等于4545°？请说明你的理由°？请说明你的理由°？请说明你的理由. .1616、、 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化小之间可以相互转化. . 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sad A =.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的相互唯一确定的. .根据上述对角的正对定义，解下列问题：根据上述对角的正对定义，解下列问题：根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad的值为（的值为（ ））A. B. 1 C. D. 2（2）对于，∠A 的正对值sad A 的取值范围是的取值范围是 . .（3）已知，其中为锐角，试求sad 的值的值. .1717、已知：如图，在△、已知：如图，在△ABC 中，，，．求：求：求：(1) (1) (1) △△ABC 的面积；的面积； (2) (2) sinA 的值．的值．1818、如图，在、如图，在Rt Rt△△ABC 中，中，BC BC BC、、AC AC、、AB 三边的长分别为a 、b 、c ，则，则sinA=， cosA=，tanA=．我们不难发现：我们不难发现：sin sin 260o +cos 260o =1=1，…，… 试探求sinA sinA、、cosA cosA、、tanA 之间存在的一般关系，并说明理由．之间存在的一般关系，并说明理由．三、填空题1919、在、在中，三边之比为，则=2020、如图，在平面直角坐标系、如图，在平面直角坐标系O 中，已知点A （3，3）和点B （7，0），则sin ∠ABO 的值等于的值等于 . .2121、、“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100100，直角三角形中较小的锐角为，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α的值等于的值等于___________ ___________2222、已知、已知为锐角，若，＝ ；若；若，则；2323、已知、已知Rt Rt△△中,若cos ,则 四、选择题2424、已知在、已知在RT RT△△ABC 中，∠中，∠C=90C=900，∠，∠A A 、∠、∠B B 、∠、∠C C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列关系式错误的是（▲），则下列关系式错误的是（▲）A 、a=btanAB a=btanA B、、b=ccosAC b=ccosA C、、a=csinAD a=csinA D、、c=2525、直线、直线y=2x 与x 轴正半轴的夹角为，那么下列结论正确的是（，那么下列结论正确的是（ ）A. tan =2B. tan =C. sin =2D. cos=22626、将两副三角板如下图摆放在一起，连结、将两副三角板如下图摆放在一起，连结，则的余切值为的余切值为( ) ( )A ．B B．．C C．．2D 2 D．．32727、关于、关于的二次函数+，其中为锐角，则：为锐角，则：① 当为3030°时，函数有最小值°时，函数有最小值°时，函数有最小值--；② 函数图象与坐标轴必有三个交点，并且当为4545°时，连结这三个交点所围成的三角形面积小于°时，连结这三个交点所围成的三角形面积小于1； ③ 当<60<60°时，函数在°时，函数在x >1时，y 随x 的增大而增大；的增大而增大；④ 无论锐角怎么变化，函数图象必过定点。
初四三角函数
1、ABC Rt ∆中，∠C=90°，AC=4，BC=3，B cos 的值为…………………【 】A 、51 B 、53 C 、 34 D 、 432、已知∠A +∠B = 90°，且A cos =51，则B cos 的值为……………………【 】A 、 51B 、54C 、 562 D 、 523、在菱形ABCD 中，∠ABC=60° ， AC=4，则BD 的长是…………………【 】 A 、 38 B 、34 C 、32 D 、84、在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，A tan =3，AC=10，则S △ABC 等于………【 】 A 、 ３ B 、３00 C 、350D 、1５0 ５、一人乘雪橇沿坡度为１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t （秒）之间 的关系为Ｓ＝2210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为……【 】 A 、 72米 B 、36米 C 、336米 D 、318米6、在ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 三边，则下列式子一定成立的是………………………………………………………………【 】 A 、B c a sin ⋅= B 、B c a cos ⋅= C 、Bac tan =D 、A a c sin ⋅= 7、若∠A 为锐角，132tan tan =⋅A ，则∠A 等于…………………………【 】A 、 32B 、58 C 、)321(D 、 )581( 8、如果把ABC Rt ∆的三边同时扩大n 倍，则A sin 的值……………………【 】 A 、不变 B 、扩大n 倍 C 、缩小n 倍 D 、不确定 9、ABC ∆中，∠C=90°，AC=52，∠A 的角平分线交BC 于D ，且AD=1534， 则A tan 的值为…【 】 A 、1558 B 、3 C 、33 D 、31 10、如图ABC ∆中，A D 是B C 边上的高，∠C=30°，BC=32+ ，21tan =B ，那么AD 的长度为 ……………………………【 】 A 、21 B 、1 C 、2321+ D 、331+ 二：填空题(每题２分,共10分)11、如图P 是α∠的边OA 上一点,P 的坐标为(3,4),则=αsin 。
北京市西城区第四中学三角函数与解三角形多选题试题含答案
北京市西城区第四中学三角函数与解三角形多选题试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD 【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③， 由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而2711162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=-=-+≠- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 若32a π=，则21911162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=+-=-+≠-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.2．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB的面积为13- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-，因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值3- 故可得3,023yz x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎪-⎣⎭， 又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得213324S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得23c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =， 因为2b c =，所以B C >，所以3cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以233c =，33b =，所以ABC 的周长为223+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，23c=，433b=，所以ABC的内切圆半径为123433212r⎛⎫=+-=-⎪⎪⎝⎭，所以ABC的面积为1123331122333cr⎛⎫-=⨯⨯-=⎪⎪⎝⎭所以选项D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin1sin224cos222cosS A Ab ca bc AAc b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.3．如图，ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a b=，且()3cos cos2sina C c Ab B+=，D是ABC外一点，1DC=，3DA=，则下列说法正确的是（）A．ABC是等边三角形B．若23AC=A，B，C，D四点共圆C．四边形ABCD面积最大值为5332+D．四边形ABCD面积最小值为5332-【答案】AC【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B，再利用a b=，可知ABC为等边三角形，从而判断A；利用四点A，B，C，D共圆，四边形对角互补，从而判断B；设AC x=，0x>，在ADC中，由余弦定理可得2106cosx D=-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCDS四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD．【详解】由正弦定理2sin,2sin,2sina R Ab R Bc R C===，(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，2sin ,sin 2B B =∴=， a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===2222221311cos 221332DC DA AC D DA DC +-+-===-≠-⋅⋅⨯⨯，∴B 不正确． C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )cos 422ABC S θθ∴=⋅-=-△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin 2ABCADCABCD S S Sθθ∴=+=-+四边形13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()3πθ=-+(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈，3ABCD S <≤+四边形，∴C 正确，D 不正确； 故选：AC.． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．4．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB +=C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确； 对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-， 解得3cos 5A ≥，故C 错误； 对于D，2222213cos 4442c c BAD c c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,)2BAD π∠∈，又cos BAD ∠≥BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<C ．753A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆【答案】ABD 【分析】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2A =-，cos 0AC AB bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1sin 2ABC S bc A ∆=，可判定D【详解】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753,,222a kb kc k === ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；又222222259491444cos 5322222k k kb c a A bc k k +-+-===-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误；若8+=b c ，则2k =，故5,3,120ob c A ===，所以1sin 24ABC S bc A ∆==，D 选项正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题6．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=，整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=，即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确.故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.7．已知函数()1cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为12【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换思想化简()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】cos cos sin 3266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32232x πππ≤+≤，此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，5151111sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确；对于D 选项，()max 111122f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．8．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021111212a a ++≤+（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a <【答案】AC 【分析】由不等关系式，构造11()212xf x =-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可. 【详解】 由202021111212a a ++≤+，得2020211110212212a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121()212212xx x f x --=-=-++， ∴12()()102121xx x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数，∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且2202020212021()02a a S +=≥，故A 正确，B 错误；当{}n a 为等比数列，201820202a a q =，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ）A ．512a =B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64n n + 【答案】BCD【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.。
初中数学三角函数综合练习题(2021年整理)
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三角函数综合练习题一．选择题(共10小题）1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( ）A．2 B．C． D．2．如图，点D(0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD=（）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A．msin35°B．mcos35°C．D．4．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°,D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（)A． B． C．D．5．如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米6．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米，楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ)米27．如图,热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°,热气球A处与楼的水平距离为120m,则这栋楼的高度为( )A．160m B．120m C．300m D．160m8．如图,为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N 点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（)A．8（）m B．8(）m C．16(）m D．16（）m9．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比)i=1：2。
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初四数学解三角函数作业
出题人：刘老师审核人：__________ 姓名：____________
一、单选
1.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，
则tanB’的值为（）
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
4
D
．
4
如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=
4
3
，则△ABC
的面积为（）
A
．B．15 C
．D
．
3.如果△ABC中，sin A=cos B
，则下列最确切的结论是（）
A. △ABC是直角三角形
B. △ABC是等腰三角形
C. △ABC是等腰直角三角形
D. △ABC是锐角三角形
4.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行
驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，
A处受噪音影响的时间为（）
A．12秒． B．16秒． C．20秒． D．24秒．
5.河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1
BC与水平
宽度AC之比），则AC的长是（）
A．
B．10米C．15米D．
6.在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则B
sin的值是（）
A．
14
7
5
B．
5
3
C．
7
21
D．
14
21
7.周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，
小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测
出A、B两点的距离为30米。
假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（）
(结果精确到0.01，参考数据：2=1.414，3=1.73)
A.36.21 米
B.37. 71 米
C.40. 98 米
D.42.48 米
8.如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若
则sin∠ACD的值为( )
2
3
9.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦
值为( ).
A．
1
2
B．
3
4
C．
．
4
5
10. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1
BC=5m，则坡面
AB的长度是（）
A．10m B．
C．15m D．
二、填空
1.在等腰△ABC中，∠C=90°则tanA=________.
2. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A
=_______.
3. 在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=5,AB=12,sinA=_________.
4.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方
向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰
能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B C
、两地相距 m.
5. 如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡
向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则
孔明从A到B上升的高度BC是米．
6. 某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1
度i=1∶1，则两个坡角的和为。
第1题图第3题图
第4题图第5题图
第7题图
第8题图
第9.题图
第2题图
7. 如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两 弧交于点B ，画射线OB ，则cos∠AOB 的值等于_________． 8. 如图，测量河宽AB （假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB ＝30°，D 点测得∠ADB ＝60°， 又CD ＝60m ，则河宽AB 为 m （结果保留根号）.
9. 如图，点E (0，4)，O (0，0)，C (5，0)在⊙A 上，BE 是⊙A 上的一条弦，则tan ∠OBE = ． 10. 如图所示是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其
中AB 、CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC =135°，BC 的长约是25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是 m ．
11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°后得到△AB 1C 1，
B 1
C 1交AC 于点
D ，如果
AD=ABC 的周长等于 .
12. 如图，在高出海平面100米的悬崖顶A 处，观测海平面上一艘小船B ，并测得它的俯角为45°,则
船与观测者之间的水平距离BC ＝ 米．
13. 在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC 方向开山修路（如图所示），为了加快施工速度，需要在 小山的另一边同时施工.从AC 上的一点B 取∠ABD ＝140°，BD ＝1000m ，∠D ＝50°.为了使开挖点E 在 直线AC 上，那么DE ＝ m.（供选用的三角函数值：sin 50°＝0.7660，cos 50°＝0.6428， tan 50°＝1.192）
14. 如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O 为圆心，AD 长为直径的圆形区域，为了
测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O 的切线BD （点D 为切点）上选择相距300米的B 、C 两点，分 别测得∠ABD= 30°，∠ACD= 60°，则直径AD= 米.（结果精确到1米） （参考数据：414.12≈ 732.13≈）
三、解答题
1.2011
3015(1)
()(cos 68)338sin 602π
---+++
-.
2. 1
14cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫
--++ ⎪⎝⎭
3. 先化简再求值：4
1
2)121(22-++÷
-+x x x x ，其中160tan -︒=x .
4. 如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE,点F 落在AD 上.
(1)求证：⊿ABE∽⊿DFE ;(2)若sin∠DFE=
3
1
,求tan∠EBC 的值.
第7题图
第
8
题图 第9题图 第10题图
第12题图
第11题图
第13题图
第14题图
5.如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C=30°．折叠纸片使BC经过点D．点C落在点E处，BF是折痕，且BF= CF =8．
（l）求∠BDF的度数；
（2）求AB的长．
6.生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬，现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
7.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长？（参考数据：3=1.73）8.如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。
现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD
的长度（精确到0.1m
1.732
≈≈）
9.某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为4米，tan 1.6
α=，tan 1.2
β=，试求建筑物CD的高度．。