人教版数学高一课件 变量之间的相关关系-2.3.2 两个变量的线性相关
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解答
由 y≤10 得5710x－67≤10，解得 x≤14.9， 所以机器的运转速度应控制在 14 转/秒内.
引申探究 1.本例(3)中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件 数近似增加多少？ 解答
因为 y＝5710x－67，所以当 x 增加一个单位时，y 大约增加7501.
2.本例(3)中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器 的转速. 解答
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
b^ ＝i＝1
i＝1
＝
，
n
xi－ x 2
i＝1
n
x2i －n x 2
i＝1
a^ ＝
y
－b^
x
，
其中，b^ 是线性回归方程的 斜率 ，a^ 是线性回归方程在 y 轴上的 截距 .
题型探究
类型一 相关关系的判断与应用
命题角度1 判断两个变量的相关性 例1 为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根相同的弹簧进行测量，所 得数据如下：
＝
9＋49＋121－3×49
＝1.75，
a^ ＝ y －b^ x ＝18－1.75×7＝5.75.
故y^ ＝1.75x＋5.75，故选 B.
12345
3.某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合
^
y
＝0.8x＋
0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是
2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关
学习目标
1.了解变量间的相关关系，会画散点图； 2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系； 3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 变量间的相关关系
思考1
粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？
12345
规律与方法
1.判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图.根 据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相 关，是正相关还是负相关. 2.求线性回归方程时应注意的问题 (1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行 相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之 间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用 其估计和预测的量也是不可信的. (2)用公式计算a^ 、b^ 的值时，要先计算b^ ，然后才能算出a^ .
梳理 回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附 近 ， 就称这两个变量之间具有 线性相关关系，这条直线叫做回归直线. (2)线性回归方程： 回归__直__线__对应的方程叫做回归直线的方程，简称回 归方程.
(3)最小二乘法： 求线性回归方程y^ ＝b^ x＋a^ 时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和 最小的方法叫做最小二乘法.
3.利用回归方程，我们可以进行估计和预测.若回归方程为y^ ＝b^ x＋a^ ，则 x ＝x0 处的估计值为y^0＝b^ x0＋a^ .
本课结束
回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均 增加0.15万元.
当堂训练
1.设有一个线性回归方程为
^
y
＝2－1.5x，则变量x增加1个单位时，y平均
A.增加1.5个单位
B.增加2个单位
答案
√C.减少1.5个单位
D.减少2个单位
12345
2.由三点(3,10)，(7,20)，(11,24)确定的线性回归方程为 答案 解析
A是一种函数关系； B也是一种函数关系； C中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关 系，而且是一种线性相关； D中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的.
类型二 回归直线的求解与应用
例3 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每 小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽 样试验的结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y(件) 11
9
8
5
(1)画出散点图； 解答
(2)如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；
解答
近似直线如图所示：
(3)在实际生产中，若它们的近似方程为 y＝5710x－67 ，允许每小时生产的产 品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
a^ ＝67.8－0.204×391.6≈－12.086， 所以 y 对 x 的线性回归方程为y^＝－12.Leabharlann 86＋0.204x.12345
(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩. 解答 由(2)得当总成绩为 450 分时，y^＝－12.086＋0.204×450≈80，即这个学 生的数学成绩大约为 80 分.
362
78
65
71
64
61
(1)画出散点图； 解答
12345
(2)求y对x的线性回归方程(结果保留到小数点后3位数字)； 解答
由题中数据计算可得
5
x ＝391.6， y ＝67.8， x2i ＝770
5
654， xiyi＝133
548.
代入
公式
得
^
b
＝
i＝1
i＝1
133 548－5×391.6×67.8 770 654－5×391.62 ≈0.204，
答案
在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所 以是正相关.
思考2
怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？ 答案
画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这 两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系.
梳理
1.相关关系的定义 变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关 系是带有 随机性 的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变 量之间的关系分为 函数关系 和 相关关系 . 2.散点图 将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的 图形叫做散点图.
因为 y＝5710x－67，所以当 y＝7 时，7＝5710x－67，解得 x≈11.
反思与感悟
求线性回归方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)(数据一般由题目给出). (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系.
(3)把数据制成表格 xi，yi，x2i ，xiyi.
n
n
(4)计算 x ， y ， x2i ， xiyi.
i＝1 i＝1
n
xiyi－n x y
(5)代入公式计算b^ ，a^ ，公式为b^ ＝i＝1n
，
x2i －n x 2
i＝1
a^ ＝
y
－b^
x
.
(6)写出线性回归方程y^＝b^ x＋a^ .
跟踪训练 3 (1)变量 y 与 x 满足线性回归方程y^＝b^ x＋a^ ，现在将 y 的单位由 厘米变为米，x 的单位由毫米变为米，则在新的线性回归方程y^＝b^ *x＋a^ *中， b^ *是b^ 的__1_0__倍. 答案 解析
质量(g)
5
10
15
20
25
30
弹簧长度(cm) 7.25 8.12 8.95 9.90 10.90 11.80
判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关. 解答
反思与感悟
在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散 点图，可以作出如下判断： (1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变 量之间的关系，即变量之间具有函数关系； (2)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间就有线性相关 关系； (3)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规律，那么这两个变量之间不 具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的.
_1_2_.1_亿元. 答案 解析
将 x＝15 代入y^＝0.8x＋0.1，得y^＝12.1.
12345
4.某市居民2012～2016年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单 位：万元)的统计资料如表所示：
年份 收入x 支出y
2012 11.5 6.8
2013 12.1 8.8
2014 13 9.8
A.y^ ＝1.75x－5.75 C.y^ ＝－1.75x＋5.75
√B.y^ ＝1.75x＋5.75
D.y^ ＝－1.75x－5.75
设线性回归方程为y^＝b^ x＋a^ ，
则b^ ＝x1y1x＋21＋x2xy222＋＋xx233－y3－3 x32x
y 3×10＋7×20＋11×24－3×7×18
2015 13.3 10
2016 15 12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是__1_3__万元，家庭年平均 收入与年平均支出有__正___线性相关关系. 答案 解析
12345
5.某5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如表所示：
学生 总成绩x 数学成绩y
A
B
C
D
E
428
383
421
364
跟踪训练1 下表是某地的年降雨量与年平均气温的统计表，判断两者是 否具有相关关系，求线性回归方程有意义吗？ 解答
年平均气温(℃) 12.51 12.74 12.64 13.69 13.33 12.84 13.05 年降雨量(mm) 748 542 507 813 574 701 432
命题角度2 函数关系与相关关系的区别与联系 例2 下列关系中，是相关关系的是__②__④____. 答案 解析 ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
3.正相关与负相关 (1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大， 这种相关称为 正相关 . (2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小， 这种相关称为 负相关 .
知识点二 两个变量的线性相关
思考
任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？
答案
用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据 是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求 出的线性回归方程是无意义的.
由回归系数公式知，当 y 的值变为原来的 10－2 倍，x 的值变为原来的 10－3 倍时，b^ *的值应为原来的 10 倍.
(2)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地区若干户 家庭的年收入 x(单位：万元)和年教育支出 y(单位：万元)，调查显示年收入 x 与年教育支出 y 具有相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的线性回归方程 为y^＝0.15x＋0.2.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加 1 万元，年教育 支出平均增加__0_.1_5____万元. 答案 解析
相关关系与函数关系的区别与联系如表所示：
反思与感悟
相同点
函数关系
相关关系
两者均是指两个变量之间的关系
是一种确定性关系
是一种非确定性关系
①一个为变量，另一个为随机变量；
是两个变量之间的关系
不同点
②两个都是随机变量
是一种因果关系 不一定是因果关系，也可能是伴随关系
是一种理想的关系模型
是更为一般的情况
跟踪训练2 下列图形中两个变量具有相关关系的是 答案 解析
由 y≤10 得5710x－67≤10，解得 x≤14.9， 所以机器的运转速度应控制在 14 转/秒内.
引申探究 1.本例(3)中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件 数近似增加多少？ 解答
因为 y＝5710x－67，所以当 x 增加一个单位时，y 大约增加7501.
2.本例(3)中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器 的转速. 解答
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
b^ ＝i＝1
i＝1
＝
，
n
xi－ x 2
i＝1
n
x2i －n x 2
i＝1
a^ ＝
y
－b^
x
，
其中，b^ 是线性回归方程的 斜率 ，a^ 是线性回归方程在 y 轴上的 截距 .
题型探究
类型一 相关关系的判断与应用
命题角度1 判断两个变量的相关性 例1 为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根相同的弹簧进行测量，所 得数据如下：
＝
9＋49＋121－3×49
＝1.75，
a^ ＝ y －b^ x ＝18－1.75×7＝5.75.
故y^ ＝1.75x＋5.75，故选 B.
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3.某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合
^
y
＝0.8x＋
0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是
2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关
学习目标
1.了解变量间的相关关系，会画散点图； 2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系； 3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 变量间的相关关系
思考1
粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？
12345
规律与方法
1.判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图.根 据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相 关，是正相关还是负相关. 2.求线性回归方程时应注意的问题 (1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行 相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之 间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用 其估计和预测的量也是不可信的. (2)用公式计算a^ 、b^ 的值时，要先计算b^ ，然后才能算出a^ .
梳理 回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附 近 ， 就称这两个变量之间具有 线性相关关系，这条直线叫做回归直线. (2)线性回归方程： 回归__直__线__对应的方程叫做回归直线的方程，简称回 归方程.
(3)最小二乘法： 求线性回归方程y^ ＝b^ x＋a^ 时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和 最小的方法叫做最小二乘法.
3.利用回归方程，我们可以进行估计和预测.若回归方程为y^ ＝b^ x＋a^ ，则 x ＝x0 处的估计值为y^0＝b^ x0＋a^ .
本课结束
回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均 增加0.15万元.
当堂训练
1.设有一个线性回归方程为
^
y
＝2－1.5x，则变量x增加1个单位时，y平均
A.增加1.5个单位
B.增加2个单位
答案
√C.减少1.5个单位
D.减少2个单位
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2.由三点(3,10)，(7,20)，(11,24)确定的线性回归方程为 答案 解析
A是一种函数关系； B也是一种函数关系； C中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关 系，而且是一种线性相关； D中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的.
类型二 回归直线的求解与应用
例3 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每 小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽 样试验的结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y(件) 11
9
8
5
(1)画出散点图； 解答
(2)如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；
解答
近似直线如图所示：
(3)在实际生产中，若它们的近似方程为 y＝5710x－67 ，允许每小时生产的产 品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
a^ ＝67.8－0.204×391.6≈－12.086， 所以 y 对 x 的线性回归方程为y^＝－12.Leabharlann 86＋0.204x.12345
(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩. 解答 由(2)得当总成绩为 450 分时，y^＝－12.086＋0.204×450≈80，即这个学 生的数学成绩大约为 80 分.
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61
(1)画出散点图； 解答
12345
(2)求y对x的线性回归方程(结果保留到小数点后3位数字)； 解答
由题中数据计算可得
5
x ＝391.6， y ＝67.8， x2i ＝770
5
654， xiyi＝133
548.
代入
公式
得
^
b
＝
i＝1
i＝1
133 548－5×391.6×67.8 770 654－5×391.62 ≈0.204，
答案
在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所 以是正相关.
思考2
怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？ 答案
画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这 两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系.
梳理
1.相关关系的定义 变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关 系是带有 随机性 的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变 量之间的关系分为 函数关系 和 相关关系 . 2.散点图 将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的 图形叫做散点图.
因为 y＝5710x－67，所以当 y＝7 时，7＝5710x－67，解得 x≈11.
反思与感悟
求线性回归方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)(数据一般由题目给出). (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系.
(3)把数据制成表格 xi，yi，x2i ，xiyi.
n
n
(4)计算 x ， y ， x2i ， xiyi.
i＝1 i＝1
n
xiyi－n x y
(5)代入公式计算b^ ，a^ ，公式为b^ ＝i＝1n
，
x2i －n x 2
i＝1
a^ ＝
y
－b^
x
.
(6)写出线性回归方程y^＝b^ x＋a^ .
跟踪训练 3 (1)变量 y 与 x 满足线性回归方程y^＝b^ x＋a^ ，现在将 y 的单位由 厘米变为米，x 的单位由毫米变为米，则在新的线性回归方程y^＝b^ *x＋a^ *中， b^ *是b^ 的__1_0__倍. 答案 解析
质量(g)
5
10
15
20
25
30
弹簧长度(cm) 7.25 8.12 8.95 9.90 10.90 11.80
判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关. 解答
反思与感悟
在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散 点图，可以作出如下判断： (1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变 量之间的关系，即变量之间具有函数关系； (2)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间就有线性相关 关系； (3)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规律，那么这两个变量之间不 具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的.
_1_2_.1_亿元. 答案 解析
将 x＝15 代入y^＝0.8x＋0.1，得y^＝12.1.
12345
4.某市居民2012～2016年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单 位：万元)的统计资料如表所示：
年份 收入x 支出y
2012 11.5 6.8
2013 12.1 8.8
2014 13 9.8
A.y^ ＝1.75x－5.75 C.y^ ＝－1.75x＋5.75
√B.y^ ＝1.75x＋5.75
D.y^ ＝－1.75x－5.75
设线性回归方程为y^＝b^ x＋a^ ，
则b^ ＝x1y1x＋21＋x2xy222＋＋xx233－y3－3 x32x
y 3×10＋7×20＋11×24－3×7×18
2015 13.3 10
2016 15 12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是__1_3__万元，家庭年平均 收入与年平均支出有__正___线性相关关系. 答案 解析
12345
5.某5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如表所示：
学生 总成绩x 数学成绩y
A
B
C
D
E
428
383
421
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跟踪训练1 下表是某地的年降雨量与年平均气温的统计表，判断两者是 否具有相关关系，求线性回归方程有意义吗？ 解答
年平均气温(℃) 12.51 12.74 12.64 13.69 13.33 12.84 13.05 年降雨量(mm) 748 542 507 813 574 701 432
命题角度2 函数关系与相关关系的区别与联系 例2 下列关系中，是相关关系的是__②__④____. 答案 解析 ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
3.正相关与负相关 (1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大， 这种相关称为 正相关 . (2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小， 这种相关称为 负相关 .
知识点二 两个变量的线性相关
思考
任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？
答案
用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据 是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求 出的线性回归方程是无意义的.
由回归系数公式知，当 y 的值变为原来的 10－2 倍，x 的值变为原来的 10－3 倍时，b^ *的值应为原来的 10 倍.
(2)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地区若干户 家庭的年收入 x(单位：万元)和年教育支出 y(单位：万元)，调查显示年收入 x 与年教育支出 y 具有相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的线性回归方程 为y^＝0.15x＋0.2.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加 1 万元，年教育 支出平均增加__0_.1_5____万元. 答案 解析
相关关系与函数关系的区别与联系如表所示：
反思与感悟
相同点
函数关系
相关关系
两者均是指两个变量之间的关系
是一种确定性关系
是一种非确定性关系
①一个为变量，另一个为随机变量；
是两个变量之间的关系
不同点
②两个都是随机变量
是一种因果关系 不一定是因果关系，也可能是伴随关系
是一种理想的关系模型
是更为一般的情况
跟踪训练2 下列图形中两个变量具有相关关系的是 答案 解析