第十一章动量矩定理习题解答

习 题
11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。

其中a 、b 和w 均为常量。

试求质点对坐标原点O 的动量矩。

t a x
v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-=
)cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω⨯+⨯=
)cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω⨯+⨯=
)cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω⨯+⨯=
)2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+=
t mab ωω3cos 2=
11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。

如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。

（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。

图11-25
(1)
θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =⨯= θω22sin 2l m L z = (2)
θθ2202sin 32d )sin (2ml x x l m J l
z ==⎰杆 θ22sin 38ml J z = θω22sin 3
8l m L z =
11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。

各物体质量均为m 。

图11-26
(a) ω23
1ml L O =
(b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29
1ml L O -= (c) 2222452312121ml l m l m J O =⨯⨯+⨯⨯= ω224
5ml L O = (d) 2222321mR mR mR J O =+= ω223mR L O =
11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m ，高为h ，试求对底边的转动惯量J x 。

图11-27
面密度为 bh
m A 2=ρ 在y 处 b h
y b y = y y h m y b h y bh m y b bh m A m y A d 2d 2d 2d d 2=⨯⨯=⨯⨯==ρ 微小区域对于z 轴的转动惯量
y y h y h m m y h J z d )(2d )(d 222-=
-= ⎰
⎰+-=+-=-=h h z mh y y hy y h h m y y h y h m J 002322222)413221(2d )2(2d )(2 26
1mh =
11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。

试求其对与ABC 所在平面垂直的质心轴的转动惯量。

图11-28
3)31(12
122⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=h m ml J z l h 23= 2222213)121121(3)2331(121ml ml l m ml J z =⨯+=⨯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯+=
11-6 如图11-29所示，物体以角速度w 绕O 轴转动，试求物体对于O 轴的动量矩。

(1) 半径为R ，质量为m 的均质圆盘，在中央挖去一边长为R 的正方形，如图11-32a 所示。

(2) 边长为4a ，质量为m 的正方形钢板，在中央挖去一半径为a 的圆，如图11-32b 所示。

图11-29 (1)
2126
121R m mR J C -= ππ221m m R R m == 222π
61π3π6121mR R m mR J C -=⨯-= π
)1(ππm m m m -=-=' 2222π
67π9π)1(ππ61π3mR R m mR R m J J C O -=-+-='+= ωω2π
6π97mR J L O O -=-= (2)
2122
1)4(61a m a m J C -= m m a a m 16π16π221==
22296
π325616π2138ma ma ma J C -=⨯-= m m m m 16
π1616π-=-=' 222296
π48896π3256816π1696π3256)22(mR a m ma a m J J C O -⨯+-=⨯-+-=⨯'+= 296
π511024mR -= ωω296
1024π51mR J L O O -=-=
11-7 如图11-30所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。

轮子轴心为A ，质心为C ，AC ＝e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一直线上。

试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B 点的动量矩：(1)当轮子只滚不滑时，已知v A ；(2)当轮子又滚又滑时，已知v A 、w 。

图11-30
ωω)()()(2me J e R mv J e R mv L A c C C B +-+-=-+-= (1)
R
v A =ω ω)(e R v C += R
v e R m me J R v me J R v e R m L A A A A A B ])([)()(2222++--=--+-= (2)
ωe v v A C +=
ωωC A B J e R e v m L -++-=))((
ωω)()()(2me J e R me v e R m A A --+-+-=
])()([ωmeR J v e R m A A +++-=
11-8 曲柄以匀角速度w 绕O 轴转动，通过连杆AB 带动滑块A 与B 分别在铅垂和水平滑道中运动，如图11-31所示。

已知OC ＝AC ＝BC ＝l ，曲柄质量为m ，连杆质量为2m ，试求系统在图示位置时对O 轴的动量矩。

图11-31
ωω=AB (顺时针)
AB OC O L L L +=
ω23
1ml L OC = ωωωω22223
4322)()2)(2(1212ml ml ml l m l mv L AB C AB =-=-+=
ω23
5ml L OC =
11-9 如图11-32所示的小球A ，质量为m ，连接在长为l 的无重杆AB 上，放在盛有液体的容器中。

杆以初角速度w 0绕O 1O 2轴转动，小球受到与速度反向的液体阻力F ＝km w ，k 为比例常数。

问经过多少时间角速度w 成为初角速度的一半？
图11-32
ω2ml L z = ωkml M z -=
z z M t
L =d d 得 ωωl
k t -=d d ⎰⎰-=t t l k 0d d 0ωωωω
t l
k -=0ln ωω ωω0ln k l t = 2ln k l t =
11-10 水平圆盘可绕z 轴转动。

在圆盘上有一质量为m 的质点M 作圆周运动，已知其速度大小v 0=常量，圆的半径为r ，圆心到z 轴的距离为l ，M 点在圆盘上的位置由f 角确定，如图11-33所示。

如圆盘的转动惯量为J ，并且当点M 离z 轴最远（在点M 0）时，圆盘的角速度为零。

轴的摩擦和空气阻力略去不计，试求圆盘的角速度与f 角的关系。

图11-33
0=∑z M 常量=z L
)(00r l mv L z += ϕωϕωcos )cos 2(0022l mv r mv lr r l m J L z z +++++=
)(cos )cos 2(00022r l mv l mv r mv lr r l m J z +=+++++ϕωϕω )
cos 2()cos 1(220ϕϕωlr r l m J v ml z +++-=
11-11 两个质量分别为m 1、m 2的重物M 1、M 2分别系在绳子的两端，如图11-34所示。

两绳分别绕在半径为r 1、r 2并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O 轴的转动惯量为J O ，试求鼓轮的角加速度。

图11-34
222111r v m r v m J L O z ++=ω ω11r v = ω22r v =
ω)(222211r m r m J L O z ++=
2211gr m gr m M z -=∑
z z M t
L ∑=d d 2211222211)(gr m gr m r m r m J O -=++α
2
222112211r m r m J gr m gr m O ++-=
α 11-12 如图11-35所示，为求半径R ＝0.5m 的飞轮A 对于通过其重心轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳的末端系一质量为m 1＝8kg 的重锤，重锤自高度h ＝2m 处落下，测得落下时间t 1＝16s 。

为消去轴承摩擦的影响，再用质量为m 2＝4kg 的重锤作第二次试验，此重锤自同一高度落下的时间t 2＝25s 。

假定摩擦力矩为一常数，且与重锤的重量无关，试求飞轮的转动惯量和轴承的摩擦力矩。

图11-35
v R
mR J mvR R v J mvR J L z )()()(2
+-=+-=+-=ω mgR M M z -=∑f
z z M t
L ∑=d d f 2
)(M mgR a R
mR J -=+ R M mgR a mR J )()(f 2-=+ R M mgR t
h mR J )(2)(f 22-=+ h
Rt M mgR mR J 2)(2f 2-=+ 第一次试验
2
2165.0)5.08(5.082
f 2
⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯+M g J )4(322f M g J -=+ (1) 第二次试验
2
2255.0)5.04(5.042
f 2
⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯+M g J )2(125.781f M g J -=+ (2) (1)-(2)
f 125.4625.281M
g +-=
m N 0238.6f ⋅=M
由(1)得
2f m kg 6.10592)4(32⋅=--=M g J
11-13 通风机风扇的叶轮的转动惯量为J ，以初角速度w 0绕其中心轴转动，见图11-36。

设空气阻力矩与角速度成正比，方向相反，即M ＝－k w ，k 为比例系数，试求在阻力作用下，经过多少时间角速度减少一半？在此时间间隔内叶轮转了多少转？
图11-36
刚体定轴转动微分方程
ωωk M t
J -=∑=d d t J
k d d -=ωω ⎰⎰-=t t J
k 02d d 00ωωω
ω t J
k -=21ln 2ln k J t =
11-14 两均质细杆OC 和AB 的质量分别为50kg 和100kg ，在C 点互相垂直焊接起来。

若在图11-37所示位置由静止释放，试求释放瞬时铰支座O 的约束力。

铰O 处的摩擦忽略不计。

图11-37
g g g g m g m M J e z O 125)10025(15.0)()(21-=+-=⨯-⨯-=∑=-F α
1501003
1003501100210012115031222=++=⨯+⨯⨯+⨯⨯=O J g g 6
5150125==α 质心运动定理
αααα125)10025(5.0212211-=+-=⨯-⨯-=+=m m a m a m ma y C y C Cy
0=Cx ma
e x Cx F ma ∑= e y Cy F ma ∑=
Ox F =0 21125W W F Oy --=-α
0=Ox F g m g m F g Oy 216
5125--=⨯-
N 4496
27565125150==⨯-=g g g F Oy
11-15 质量为100kg 、半径为1m 的均质圆轮，以转速n =120r/min 绕O 轴转动，如图11-38所示。

设有一常力F 作用于闸杆，轮经10s 后停止转动。

已知摩擦因数μ＝0.1，试求力F 的大小。

图11-38
杆
05.35.10
N =-=∑'F F M O N 7
3F F = 圆轮 R F J O d =α
R
J F O α=d N d F F μ= Rt J R J F F O O μωμαμ===d N t
mRn n Rt mR Rt J F F O μμμω140π30π721373732N =⨯⨯=== N 28.269101.01401201100π=⨯⨯⨯⨯⨯=
11-16 如图11-39所示的带传动系统，已知主动轮半径为R 1、质量为m 1，从动轮半径为R 2、质量为m 2，两轮以带相连接，分别绕O 1 和O 2轴转动，在主动轮上作用有力偶矩为M 的主动力偶，从动轮上的阻力偶矩为M '。

带轮可视为均质圆盘，带质量不计，带与带轮间无滑动。

试求主动轮的角加速度。

图11-39 主动轮 M R F F J O --=-11T 2
T 1)()(1α 从动轮 M R F F J O '+-=-22T 1T 2)()(2α
即 11T 2T 1211)(2
1R F F M R m --=α (1) M R F F R m '--=21T 2T 2222)(2
1α (2) 因 1
221R R =αα 式(1)×R 2+(2) ×R 1
1221222122112
121R M MR R R m R R m '-=+αα 1212212122112
121R M MR R R m R R m '-=+αα 12122121)(2
1R M MR R R m m '-=+α 22121121)()(2R R m m R M MR +'-=α
11-17如图11-40所示，电绞车提升一质量为m 的物体，在其主动轴上作用有一矩为M 的主动力偶。

已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件的转动惯量分别为J 1 和J 2 ；传动比 z 2:z 1＝i ；吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮半径为R 。

设轴承的摩擦和吊索的质量均略去不计，试求重物的加速度。

图11-40
主动轴
M R F J -=-1t 11)(α
1t 21R F M i J -=α
1t 1R F M a R
i J -= (1) 从动轴连重物
v R
mR J mvR R v J mvR J L O )(222222+=+=+=ω mgR R F M O -=∑2t 2
22
d d O M t L O ∑=
mgR R F a R
mR J -=+2t 2
2 (2) 式(1)×R 2+(2) ×R 1
1212
221mgRR MR a R R
mR J a R R i J -=++ 上式除以R 1
mgR Mi a R
mR J i J -=++2
221 2
212)(J i J mR R mgR Mi a ++-=
11-18 半径为R 、质量为m 的均质圆盘，沿倾角为θ的斜面作纯滚，如图11-41所示。

不计滚动阻碍，试求：(1)圆轮质心的加速度；(2)圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。

图11-41
(1) 圆盘的平面运动微分方程
)
(e C C e
y Cy e
x Cx M J F ma F ma F ∑=∑=∑=α F mg ma C -=θsin (1)
θcos 0N mg F -= (2)
Fr J C =α (3)
αr a C = (4)
由式(3)、(4)得 C ma F 21=
代入式(1) θsin 3
2g a C = 由式(2) θcos N mg F =
(2) θμμθcos sin 3
1s N s mg F mg F =≤= θμtan 31s ≥ θμtan 3
1min s =
11-19 均质圆柱体A 的质量为m ，在外圆上绕以细绳，绳的一端B 固定不动，如图11-42所示。

圆柱体因解开绳子而下降，其初速度为零。

试求当圆柱体的轴心降落了高度h 时轴心的速度和绳子的张力。

图11-42
T F mg ma A -= (1)
R F J C T )(-=-α
R F R
a mR A T 221= T 21F ma A = (2) 由式(1)、(2)得
g a A 32=
mg F 3
1T = gh h g h a v A A 3323222=⨯⨯==
11-20 如图11-43所示，有一轮子，轴的直径为50mm ，无初速地沿倾角︒=20θ的轨
道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚过距离s =3m 。

试求轮子对轮心的回转半径。

图11-43
与习题11-18类似，此处 2ρm J C =
F mg ma C -=θsin (1)
θcos 0N mg F -= (2)
Fr J C =α (3)
αr a C = (4)
由式(3)、(4)得 22
r a m F C ρ= 代入式(1) 22/1sin r
g a C ρθ+= 而 221t a s C = 24.05
32222=⨯==t s a C 即 24.0/120sin 22=+︒r
g ρ )124
.020sin (22-︒=g r ρ mm 02.909658.1225124
.020sin 8.925124.020sin ==-︒⨯=-︒=g r ρ
11-21 重物A 质量为m 1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D ，并绕在鼓轮B 上，如图11-44所示。

由于重物下降，带动轮C 沿水平轨道滚动而不滑动。

设鼓轮半径为r ，轮C 的半径为R ，两者固连在一起，总质量为m 2，对于其水平轴O 的回转半径为ρ。

试求重物A 的加速度。

图11-44
重物A
T 11F g m a m A -=
A a m g m F 11T -= (1)
鼓轮B 和轮C
FR r F J O O --=-T )(α
FR r F r
R a m A +=+T 22ρ (2) F F a m O -=T 2
F F R r
R a m A -=+T 2 (3)
由式(2)、(3)消去F 得
R F r F R r
R a m r R a m A A T T 222
2+=+++ρ )(T 2
22r R F r R R a m A +=++ρ 将式(1)代入上式
))((11222r R a m g m r
R R a m A A +-=++ρ )()(112
22r R g m r R a m r
R R a m A A +=++++ρ )
()()(222212
1R m r R m r R g m a A ++++=ρ
11-22 半径为r 的均质圆柱体质量为m ，放在粗糙的水平面上，如图11-45所示。

设其中心C 的初速度为v 0，方向水平向右，同时圆柱如图所示方向转动，其初角速度为w 0，且有r w 0<v 0。

如圆柱体与水平面的摩擦因数为μ，问经过多少时间，圆柱体才能只滚不滑地向前运动，并求该瞬时圆柱体中心的速度。

图11-45
由 mg F F ma C μμ-=-=-=N
得 g a C μ-=
由 Fr J C -=-)(α mgr mr μα=22
1
得 r
g μα2=
gt v t a v v C C μ-=+=00 t r
g t μωαωω200+=+= 纯滚时 ωr v C =
即 gt r gt v μωμ200+=-
gt r v μω300=-
g
r v t μω300-= 32000ωμr v gt v v C +=-=
11-23 如图11-46所示，长为l ，质量为m 的均质杆AB 一端系在细索BE 上，另一端放在光滑平面上，当细索铅直而杆静止时，杆对水平面的倾角f ＝45º，现细索突然断掉，试求杆A 端的约束反力。

图11-46
细索突然断掉瞬时 0=ω
质心运动守恒，C 点沿铅垂线向下运动
基点法(以A 为基点，分析C 点)
n τCA
CA A C a a a a ++= 0n =CA a
τCA A C a a a +=
ϕcos τCA C a a = (1)
平面运动微分方程
C ma G F -=-N (2)
ϕαcos 2
)(121N 2l F ml -=- (3) 由式(1)代入式(2)得 ϕαcos 2
N l
m mg F ⨯-= 再代入式(3)得 l g l gl )cos 31(cos 6)cos 4
1121(cos 2222ϕϕϕϕα+=+= 由(3)得 ϕ
ϕα2N cos 31cos 6+==
mg ml F 当︒=45ϕ时，mg F 52N =
11-24 如图11-47所示的均质长方体质量为50kg ，与地面间的动摩擦因数为0.2，在力F 作用下向右滑动。

试求：(1)不倾倒时力F 的最大值；(2)此时长方体的加速度。

图11-47
长方体平动 0=α
平面运动微分方程
C ma F F =-d 5
4 (1) 05
3N =-+mg F F (2) )150(3001505
3300540N d d F F F F -⨯+⨯-⨯+⨯-= (3) )5
3(N d F mg F F -==μμ
临界状态 0=d
由式(3)得 0150300150N d =+--F F F
02N d =+--F F F
0)21(N =-+-F F μ 0)5
3)(21(=--+-F mg F μ 0)21(]5
3
)21(1[=-+-+-mg F μμ
N 18.21636.16.05
3)4.01(1)4.01(53)21(1)21(==⨯-+-=-+-=mg mg mg F μμ 此时 )53(d F mg F -=μ 由式(1)得
50
8.9502.02.21692.02.092.0)53(5454d ⨯⨯-⨯=-=--=-=m mg F m F mg F m F F a C μ 2m/s 02.2=C a
11-25 如图11-48所示的均质长方形板放置在光滑水平面上。

若点B 的支承面突然移开，试求此瞬时点A 的加速度。

图11-48
点B 的支承面突然移开 0=ω
质心运动守恒，C 点沿铅垂线向下运动
基点法(以A 为基点，分析C 点)
n τCA
CA A C a a a a ++= 0n =CA a
τCA A C a a a +=
ϕcos τCA C a a =
αAC a CA =τ
故 αϕα2
cos l AC a C == (1)
平面运动微分方程 A C F mg ma -= (2)
2
))((12122l F b l m A -=-+α (3) 由式(1)代入式(2)得 α2l m mg F A ⨯-=
再代入式(3)得 2
)2())((12122l l m mg b l m αα⨯--=-+
2
22
224641)(1212b l gl ml b l m mgl +=++=α 222
432b
l gl l a C +==α 222224343tan b
l glb l b b l gl a a C A +=⨯+==ϕ
11-26 均质细长杆AB ，质量为m ，长为l ，CD ＝d ，与铅垂墙间的夹角为θ，D 棱是光滑的。

在图11-49所示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C 的加速度和D 处的约束力。

图11-49 e x Cx F ma ∑= θcos D Cx F ma = (1)
e y Cy F ma ∑= mg F ma D Cy -=θsin (2)
)(e C C M J F ∑=α d F ml D =α212
1 (3) 基点法(以D 为基点，分析C 点)
τn τDC D DC DC D C a a a a a a +=++= (0n =DC a )
θθcos sin τCD D Cx a a a -= (4)
θθsin cos τCD D Cy a a a --= (5)
由(3)得 d
ml F D 122α= (6) 将式(4)、(5)、(6)代入(1)、(2)
θαθθcos 12)cos sin (2τd
ml a a m CD
D =- mg d ml a a m CD D -=--θαθθsin 12)sin cos (2τ 即
θαθθcos 12)cos sin (2τd
ml a a m CD
D =- mg d
ml a a m CD D -=--θαθθsin 12)sin cos (2τ θαθcot 12cot 2τd
l a a CD D =- (7) θθαθcos tan 12tan 2τg d l a a CD D -=-- (8) (7)+(8)得
θθθαϕθcos )cot (tan 12)cot (tan 2τ
g d l a CD
-+=+-
αd a CD =τ
2
22
12sin 12)cot )(tan 12(cos l d dg d l d g +=++=θθθθα 代入(3)得
22212sin l
d mgl F D +=θ 由(1)得 22212cos sin cos l
d gl m F a D Cx +==θθθ 由(2)得 g l
d l d m mg F a D Cy 2222212cos 12sin ++-=-=θθ
11-27 均质圆柱体A 和B 的质量均为m ，半径均为r ，一绳缠在绕固定轴O 转动的圆柱A 上，绳的另一端绕在圆柱B 上，如图11-50所示。

摩擦忽略不计。

试求：(1)圆柱体B 下落时质心的加速度；(2)若在圆柱体A 上作用一逆时针转向，矩为M 的力偶，试问在什么条件下圆柱体B 的质心加速度将向上。

图11-50
(1)
圆柱体A
r F J A O T )(-=-α
r F r
a mr A T 2
21= T 21F ma A = (1) 圆柱体B
r F J B B T )(-=-α
r F r
a a mr A B T 221=- T )(2
1F a a m A B =- (2) T F mg ma B -= (3)
式(1)+(2)，得
T 22
1F ma B = 4
T B ma F = 代入式(3)，得
g a B 5
4= (2)
圆柱体A
r F M J A O T -=α
r F M r
a mr A T 221-= T 21F r
M ma A -= (1) 圆柱体B
r F J B B T )(-=-α
r F r
a a mr B A T 2)(21-=-- T )(2
1F a a m A B -=- (2) mg F ma B -=T (3)
式(1)+(2)，得
T 221F r
M ma B -= B ma r M F 4
12T -= 代入式(3)，得 mg ma r M ma B B --=
4
12 mg r
M ma B -=245 0>B a
得 mgr M 2>
11-28 如图11-51所示，重为350N 的平板放在两个相同的圆柱体上，圆柱体半径为r ，重量为130N ，斜面倾角为20º。

今在板上作用一平行于斜面的力F T ，设在平板与圆柱体之间以及圆柱体与斜面之间没有滑动。

试求：(1)平板以加速度a ＝1.8m/s 2沿斜面上升时F T 力的大小；(2)去掉F T 力后平板的加速度。

图11-51
(1)
分析一个圆柱体(另一圆柱体相同)
2/a a C = )2/(/r a r a C ==α
θsin 2122g m F F a m C --=
r F F r m )(2
212
2+=α 即
θsin 2
2122g m F F a m --= (1) 2124
F F a m += (2) 由式(1)+(2)得
θsin 243222g m F a m -= θsin 4
32222g m a m F +=
(3) 板 a m g m F F F 1122T sin =---θ a m g m F F 112T sin 2++=θ
a m g m g m a m 1122sin sin 4
3+++=θθ θsin )()4
3(2121g m m a m m +++= ︒++⨯⨯+=20sin )130350(8.18
.913043350 17.16419.82+=
N 36.246=
(2)
分析一个圆柱体(另一圆柱体相同) 2/a a C = )2/(/r a r a C ==α
1222sin F F g m a m C -+=θ r F F r m )(2
212
2+=α 即
1222sin 2
F F g m a m -+=θ (1) 2124
F F a m += (2)
由式(1)+(2)得
θsin 24
3222g m F a m += (3) 板 a m F F g m 1221sin =--θ 2112sin F g m a m -=θ (4) 由式(3)+(4)得
θsin )()4
3(2121g m m a m m +=+ 21214
3sin )(m m g m m a ++=θ 2m/s 585.320sin 5.4474801304335020sin )130350(=︒=⨯+︒+=
g g a。