线性动态电路的复频域分析

第十四章线性动态电路的复频域分析
一、教学目标
应用拉氏变换分析线性时不变网络时，可以先列出网络的积分微分方程，然后变换为复频域中的代数方程并求解；也可以先将各电路元件的特性方程变换成复频域形式，再作出线性时不变网络的运算电路，然后直接列出网络在复频域中的代数方程并求解。

一般来说，后一种方法比前一种方法简便。

本章介绍的就是后一种方法。

1.知识教学点
(1)拉普拉斯变换的复习：定义和性质；常用信号（即基本函数）的象函数；部分分式展
开定理
(2)运算电路：KCL、KVL的s域形式；元件V AR的s域形式及元件的s域模型；运算电
路的画法
(3)电阻电路分析方法在运算电路中的应用
(4)线性动态电路的复频域分析法
(5)网络函数：定义、分类、性质；极点、零点与极零点图；()
H jω之间的关系
H s与()
2.能力训练点
（1）利用拉普拉斯变换的性质和常用信号的象函数求原函数的象函数；用部分分式展开定理由象函数求原函数
（2）正确画出运算电路
（3）应用电阻电路的分析方法分析运算电路
（4）求网络函数及其极点、零点
（5）由网络函数求零状态响应及稳态响应
3.其它
（1）掌握复频域分析法的优缺点及其应用范围
（2）了解卷积定理：时域卷积←→频域相乘
二、教学方法
1 教法指导
（1）指导学生复习数学积分变换中已经学过的拉氏变换（定义、常用信号的象函数、性质）和高等数学不定积分中的有理函数的分解（求拉氏反变换的部分分式展开法）。

重点放在部分分式展开法。

（2）与相量法类比介绍运算电路的画法，特别应注意储能元件（电容和电感）的s域模型。

（3）与电阻电路类比，介绍运算电路的分析。

（4）在介绍网络函数时，特别要强调电路为零状态。

讲解清楚()
H s的求法及其几种表示方法；
H jω及()
h t的联系；网络函数的一些应用。

H s、()
()
2 学法指导
预备知识数学方面：积分变换中的傅氏变换与拉氏变换；高等数学不定积分中的有理函数的分
解（樊映川等编.高等数学讲义.人民教育出版社，1958：7.6（pp.355-361））电路方面：电阻电路、正弦稳态电路的相量法、动态电路的基本概念。

本章指南（1）掌握由原函数求象函数的方法；熟练掌握用部分分式展开定理由象函数求原函数。

（2）在掌握基尔霍夫定律的运算形式、元件的运算阻抗和运算导纳与运算电路的画法的
基础上，熟练掌握线性动态电路的复频域分析法。

（3） 掌握网络函数。

（4）了解卷积定理 知识详解
知识点1 拉普拉斯变换
1. 定义：
拉普拉斯正变换 ⎰
∞
--
=0)()(dt e t f s F st 简记为()F s =ℒ[]()f t
拉普拉斯反变换 1
()()2j st j f t F s e ds j σσ
π+∞-∞
=
⎰ 简记为()f t =ℒ[]1()F s -
)(s F 称为象函数；)(t f 称为原函数，其定义域为[0, )∞。

常用信号的象函数
2. 基本性质：
拉氏变换有许多运算性质，常用的几个基本性质如下表。

知识点2 象函数的部分分式展开
线性时不变电路中的象函数通常为s 的有理分式，即下列形式的s 的两个实系数多项式之比
11101110
()m m m
m n
n n b s b s b s b F s s a s a s a ''-''---''''++++=++++ 求原函数不用拉氏反变换公式，而采用部分分式展开法。

当有理分式为假分式（m n '≥）时，先利于多项式的除法，把有理假分式化为一个多项式与有理真分式之和
11
11011010
110()
()()m m m n m n
m n k m m m n m n k n n k n b s b s b s b N s F s c s
c s
c s c c s s a s a s a D s -'-''----''----=-++++=++
+++=+
++++∑式中，m n <。

然后对真分式进行部分分式展开，分为下列三种情况：
（1）0)(=s D 的根为不等实根
∑
=---=---++++=n
k k
k
n m m m m p s A p s p s p s b s b s b s b s F 1210111)())(()( 式中待定系数由下述公式确定
k
p s k k s F p s A =-=)()(
根据拉氏反变换的线性性质对展开式各部分分式进行反变换，可求出已知象函数的原函数为
1
()()k n
p t k k f t A e t ε==∑
（2）0)(=s D 的根中有重根
设1s p =为l 阶重根，其余()n l -个根均为单根，则
111011111()()()()()m m l n j m m k
l k
k j l l n j
A b s b s b s b A F s s p s p s p s p s p --==++++++==+-----∑∑
式中待定系数可由下述公式确定
11111()() (1,2,,)(1)!k l
k k s p d A s p F s k l k ds
--=⎡⎤=-=⎣⎦-
()()
( 1,2,,)j
j j s p A s p F s j l l n ==-=++
所以
()11
11()()()1!j l n p t p t k k j k j l A f t t e t A e t k εε-==+⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦
∑∑
（3）0)(=s D 的根中有共轭复根
当0)(=s D 有共轭复根时，仍可按（1）和（2）的方法进行，但计算比较复杂。

可用下面的简便方法。

设0)(=s D 有一对共轭单根1,2s j αω=-± ① 方式1
*
()()K K K K F s s j s j s j s j θθαωαωαωαω⎛∠∠-⎫⎛⎫=
+++=
+++ ⎪ ⎪+-+++-++⎝⎭
⎝⎭
式中*
K 为K 的共轭。

则
()2cos()()t f t K e t t αωθε-=
+++
② 方式2
*22()K K A s B F s s j s j s αωαωαωαω
⎛⎫++=
+++=
++ ⎪+-++++⎝⎭
（）（）
则
()()cos sin t t f t Ae t Be t ααωω--=
+++
知识点3 运算电路
1. 基尔霍夫定律的s 域形式
KCL 的复频域形式：0)(=∑s I KVL 的复频域形式：
0)(=∑s U
KCL 和KVL 方程复频域形式的列写规律与时域相同。

基尔霍夫定律的复频域形式和时域形式在形式上是相同的，差别仅在于一个用象函数为变量，另一个用时域函数为变量。

2. 元件VAR 的s 域形式
（1）电阻、电感和电容的s 域模型如表所示。

二端电路元件的s域模型
表中，
sC
和sL分别称为电容和电感的复频率阻抗或运算阻抗；C
s
-为附加电压源的电压，它反映了电容起始状态在动态电路中的作用；
(0)
L
i
s
-为附加电流源的电流，它反映了电感起始状态在电路中的作用。

串联形式和并联形式的两种s域模型是相互等效的。

（2）多口电阻元件仅需将电压、电流的时间函数换成象函数即可。

（3）独立电源将已知时间函数用象函数表示。

（4）耦合电感三端或二端耦合电感在时域可先去耦，再对每一个电感画复频域模型。

图（a）中四端耦合电感的复频域模型如图（b）所示。

注意，复频域模型附加电源方向与同名端的位置和电流的方向有关。

U)
（a）（b）
3. 运算电路
运算电路又称为复频域模型或s域模型。

它是一种运用象函数能方便地对动态电路进行分析和计算的一种假想模型，与原电路具有相同的拓扑结构。

从原电路可按下列方法画出相应的运算电路：把动态电路中的电压和电流用象函数表示，参考方向保持不变；电压源的电压和电流源的电流
分别变换为象函数，而电路符号不变；其它电路元件分别用s 域模型替换。

在运算电路中，各支路电压、电流的象函数既要服从基尔霍夫定律s 域形式的约束，又要满足元件伏安关系的s 域形式，而这两类约束正是时域模型中相应的两类约束在拉氏变换下的形式。

因此，时域模型的电路方程在拉氏变换下的复频域代数方程可直接由运算电路依据两类约束的s 域形式写出，从而避免了列写电路的微分方程。

零状态下的运算电路与频域相量分析法中的相量模型相似，只是以s 代替了j ω而已。

4. 元件的运算阻抗和运算导纳
在零状态下，电阻、电感和电容的复频域方程可统一地写成下列形式：
)()()(s I s Z s U = 或 )()()(s U s Y s I =
式中，)(s Z 称为元件的复频率阻抗或运算阻抗，)(s Y 称为的复频率导纳或运算导纳。

对于电阻，R s Z R =)(，G s Y R =)(
对于电容，sC
s Z C 1
)(=
，()C Y s sC = 对于电感，sL s Z L =)(，sL
s Y L 1
)(=
由于运算电路与电阻电路之间两类约束的相似性，电阻电路的各种分析方法和定理可推广应用于运算电路，只需将时域电压、电流换为电压、电流的象函数，电阻、电导分别换成运算阻抗、运算导纳。

知识点4 线性动态电路的复频域分析法 线性动态电路的复频域分析步骤如下：
（1）求0-时刻的电容电压和电感电流（即起始状态)0(-L i 和)0(-C u ）； （2）画出运算电路；
（3）对运算电路进行分析，求响应的象函数；
（4）将响应的象函数进行部分分式展开求响应的时域形式。

知识点5 网络函数
1. 定义 网络函数)(s H 定义为电路的零状态响应)(t y f 的象函数)(s Y f 与输入激励()e t 的象函数()E s 的比值，即
()()()
f Y s H s E s =
网络函数)(s H 是复频率s 的函数，它比正弦稳态下的网络函数)(ωj H 有着更为丰富的内容。

这是因为)(s H 把任意输入与零状态响应联系起来了，而)(ωj H 只是等于输出相量与输入相量之比。

且对于有损耗的稳定电路有
ωωj s s H j H ==)()(
2. 分类 网络函数分为驱动点函数(即驱动点阻抗和驱动点导纳)与转移函数(即转移阻抗、转移导
纳、电压转移函数和电流转移函数)两大类型。

3. 性质 （1）网络函数仅与电路的拓扑结构和元件参数有关,而与外加输入激励无关。

它反映了电路的固有动态性能。

因此，通过网络函数，可以了解该电路在过渡过程中的暂态特性；（2）线性时不变电路的网络函数是s 的一个实系数有理函数；（3）网络函数)(s H 为电路的冲激响应()h t 的象函数。

正如冲激响应()h t 在时域中描述了网络的特性一样，网络函数)(s H 在s 域中描述了网络的特性；（4）在一般情况下，网络函数分母多项式的根即为对应电路变量的固有频率。

4. 求网络函数的方法 （1）用定义式求：()()()
f s Y s H s U s =
（2）由冲激响应()h t 求：()H s =ℒ[]()h t
（3）由网络函数的零、极点（图）来求：1
1
()
()()
m
i
i n
j
j s z H s H s p ==-=-∏∏
（4）由频域网络函数()H j ω来求：()()
j s
H s H j ωω==
零点与极点 )(s H 分母多项式的根称为网络函数的极点；分子多项式的根称为网络函数的零点。

由于线性时不变电路的网络函数是s 的实系数有理函数，故其零点和极点只能是实数或者共轭复数。

显然，)(s H 的极点即为相应电路变量的固有频率(或自然频率)。

网络函数的极零点图 网络函数的极点和零点在s 平面上的位置分布图(零点用“○”，极点用“×”)，称为该网络函数的极零点图。

识记知识 （需要死记硬背的概念、公式、定理）
（1） 常用信号的象函数
（2） 部分分式展开定理 （3） 电容和电感的s 域模型
学习方法与建议
将电容和电感的起始状态视作等效电源，与相量法类比地进行学习，特别要注意不同点和特殊点。

三、 重点、难点和疑点及解决方法
11.. 重重点点
（1） 应用部分分式展开定理求象函数的原函数：单极点、重极点、共轭复极点。

（2） 复频域阻抗与复频域导纳、运算电路。

（3） 线性动态电路的复频域分析法。

（4）网络函数的定义、分类及其求法。

（5）()
h t三者之间的关系。

H j 及()
H s、()
2.难点和疑点
（1）多重极点及共轭复极点的部分分式展开。

（2）正弦信号输入的电路用拉氏变换计算。

（3）电容、电感s域模型中附加电源的大小、极性和方向。

（4）灵活应用网络函数的概念分析电路。

（5）拉氏变换主要基本性质的应用。

3.易混淆点、易错点、易忽略点
（1）当有多重极点的拉氏反变换计算中，部分分式的系数容易算错。

当有共轭复极点时，部分分式的系数对应的极点出错，从而使得最后的拉氏反变换式中cos的相位角差一符号。

（2）起始状态算错，引起附加电源出错。

（3）附加电源的参考方向。

特别是互感支路附加电源的方向容易出错。

（4）在s域计算电容电压或电感电流时，忘记计及附加电源的电压或电流。

3.考点
（1）利用拉氏变换的主要基本性质求原函数的象函数；
（2）线性动态电路的复频域分析法；
（3）求网络函数及其极点、零点；频率响应。

（4）由网络函数求零状态响应和正弦稳态响应、非正弦周期信号输入下的稳态响应。

四、学时安排
1．本章总学时4学时
2．具体学时安排
五、教学过程
○通过介绍经典分析方法存在的问题，说明复频域分析法的必要性。

○在学生自学拉氏变换的基础上，复习总结相关内容。

重点放在基本性质和部分分式展开。

○在总结相量分析法的基础上，引出运算电路，进而介绍两类约束的s域形式和元件的s域模型及运算电路的画法。

○对照相量分析法，总结复频域分析法的步骤。

举例详细说明。

○ 介绍网络函数。

定义→性质→分类→表示方法→应用。

○ 利用知识结构图总结本章内容。

本章知识结构图
复频域
分析
⎧⎧⎪⎪⎨⎪
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎧⎪⎪
⎨⎨⎪⎪
⎩⎪
⎪⎧⎪⎪
⎪⎨⎪⎩⎩
常用信号的象函数 拉氏变换主要基本性质及其应用 用部分分式法由象函数求原函数运算电路（画法、两类约束形式）运算电路法运算电路的分析方法 由象函数求原函数 定义与分类网络函数主要性质 基本应用
⎪ ○ 学生提问，教师解答。

六、 随堂例题与练习
课堂例题 精选典型例题，进行详细解析，明确解题思路，总结解题方法。

【拉氏变换基本性质例题】 求下列函数)(t f 的象函数。

（1）()
4()123()t
f t t e
t ε-=++ （2）()f t 的波形如图示例10-1所示。

（清华大学2001年考研试题）
图示例10-1
【解】 （1）根据拉氏变换的线性性质有
[][][]42123()()()2()3()4t
F s L f t L t L t t L e t s s s εεε-⎡⎤==++=++⎣⎦+
（2）由图可得函数的时域表达式为
()()()(1)(1)(2)()1(1)(2)f t t t t t t t t t t t t εεεεεεε=--+---=-----
则根据拉氏变换的线性性质和时域延迟性质可得其象函数为
s
s e s e s
s s F 222
111)(----=
【拉氏变换基本性质例题】某二阶电路的微分方程为
()4()4()()3()y t y t y t f t f t ''''++=+
并已知()()t
f t e t ε-=，(0)1y -=，(0)3y -'=。

求该电路的全响应()y t 。

【解】 对微分方程的两边取拉氏变换，并利用微分性质得
2()(0)(0)4()4(0)4()()(0)3()s Y s sy y sY s y Y s sF s f F s ----'--+-+=-+
代入已知数据整理得
()2
3
44()71
s s
s Y s s s +++=
+++ 则
()()()()()
22222
910910241
()12144122s s s s Y s s s s s s s s s ++++===+-++++++++ 取拉氏反变换可得电路的全响应为
()()2()241 0t t y t e t e t --=+->
拉氏变换是求解线性常系数微积分方程的一种有用工具，它的主要优点是可将微积分方程变换为代数方程，而且起始状态自然包含在这一代数方程中，一举求出方程的全解，求解步骤简明有规律。

【部分分式展开例题】求下列象函数的原函数。

（1）（单根）324()32s F s s s s +=
++ （2）（重根）3
3
()1(2)
s F s s s +=++（） （3）（复根）22256
()22
s s F s s s ++=++
【解】 （1）32
44231
()32(1)(2)12
s s F s s s s s s s s s s ++===-+++++++ 取拉氏反变换，得
()2()23 0t t f t e e t --=-+>
（2）332
32111
()1(2)1112
s F s s s s s s s +=
=-+-++++++（）（）（） 所以 ()
()22()1 0t t
f t t t e e t --=-+>－
（3
）o o 245452
22()222211s F s s s s j s j
-+=+=+++++-++
所以
o ()2()cos(45) (0)t f t t t t δ-=->
或者 222
2(1)1
()2222(1)1
s s F s s s s +++=+
=+++++ 则
o ()2()cos sin 2()cos(45) (0)t t t f t t e t e t t t t δδ---=++=->
【运算电路例题】 电路如图例（a ）所示，已知Ω=201R ，Ω=402R ，H 5.0=L ，μF 50=C ，
40V s U =。

若原来电路已达稳态，0=t 时闭合开关S 。

试画出相应的运算电路。

（a ）
（b ）
【解】 0-时刻电路处于直流稳态，电路的起始状态为
(2040)(0)4020(0)L L i i --+=+
解得 A 1)0(=-L i 。

则
图(0)40(0)20(0)402020V C L L u i i ---=-=-=
运算电路如（b ）所示。

注意，开关S 闭合后，10R i =，所以受控源电压为零，相当于短路。

【复频域分析法例题】图X 所示电路，在开关S 闭合前已处于稳态，试用运算法求)(t u L 。

（华北电力大学2000年考研试题）
s
(a) (b)
图X
【解】（1）求)0(-L i 和)0(-C u 。

-=0t 时，电路处于直流稳态，电感短路，电容开路，所以
A 55
.25.225
)0(=+=
-L i ， V 5.12)0(5.2)0(==--L C i u
（2）求()L U s 。

画出运算电路如图（b ）所示。

由该图得
s s s U s s L 55.05.225
)(1255.21-+=⎪⎭
⎫
⎝⎛++ 整理得
2(1025)()12.5125L s s U s s ++=+
所以 2212.512562.512.5
()(5)(5)5
L s U s s s s +=
=++++
（3）求)(t u L 。

对()L U s 取拉氏反变换得
()()55()62.512.512.551V (0)t t L u t t e t e t --=+=+>
【网络函数例题】 图X 所示网络共有m 个电容，)(t u o 为输出。

求网络的电压转移函数。

图中
1R =Ω，1H L =，1F C =。

o u C
图X
【解】 注意到1H 电感与Ω1电阻串联再与1F 电容和Ω1电阻串联的并联，其等效运算阻抗为
1
(1)(1)
()11
11s s Z s s s
++'==+++
所以，整个二端网络的输入运算阻抗为
11()1s Z s s s
+=+=
由分压公式得
)()1()(1)(111)()(1
)(1
11)(2
2
1121s U s s
s U s s s U s
s U s U s s
s U s
s U s s s +=+=+=+=
+
=
依此类推
)()
1()(s U s s s U s m
m
o += 所以，网络的电压转移函数为
m
m
s o s s s U s U s H )
1()()()(+== 注：求网络函数时，电路应为零状态。

【网络函数例题】某网络函数的零、极点分布如图示例10-6所示，且3
16
)0(=
H ，求该网络函数。

图示例10-6
【解】 由零、极点分布图可知，此网络函数有3个极点：11-=p ，2
3
232j
p +-
=，
23
233j
p --
=；2个零点：21=z ，42=z 。

则 ()()()()()
120
123()s z s z H s H H s p s p s p --
==---⎝⎭⎝⎭
令0=s ，有
16(0)3H H ==⎝⎭⎝⎭
则20=H ，所以
36416
122 23
232323)1()4)(2(2)(2
32++++-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--=s s s s s j s j s s s s s H 【网络函数例题】某线性电路在正弦输入电压()s u t 作用下的正弦稳态输出电压()o u t 的相量为
02
()23s U U j j ωωω
=
-+。

求输入电压为3()V t
e t ε-时电路的零状态响应()o
f u t 。

【解】 电路的正弦网络函数为
22
()11
()232()3o s U j H j U j j j ωωωωωω
=
==-+++ 所以
21
()32
H s s s =
++
输入3()()t
s u t e
t ε-=的象函数1
()3
s U s s =
+，则零状态输出电压()of u t 的象函数为
10.510.5
()()()
(1)(2)(3)123
of s
U s H s U s
s s s s s s
===-+
++++++
所以，电路的零状态响应为
()
23
()0.50.5()V
t t t
of
u t e e e t
ε
---
=-+
七、习题（见《电路理论习题与解法指导》）
八、自测题（见《电路理论习题与解法指导》）
九、板书设计（见电子教案）
十、背景资料与课外阅读研究
提出背景
20 世纪20 年代，英国电气工程师海维赛德（Oliver Heaviside ）（1850 —1925 ）提出的解决电路瞬态计算的运算微积分（运算术），行之有效而缺乏严格的证明，赫维赛德对此并不以为然，说他是否因为不完全了解消化过程而拒绝进餐。

很多工程师和数学家致力于解决这一问题，终于发现拉普拉斯提出的一些积分恰好能为运算微积分提供严密的基础，形成20 世纪30 年代中期出现的拉普拉斯变换法。

人物介绍
拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749 —1827），巴黎军事学院数学教授。

1779 年在发表题为“On What Follows ”（下一步是什么）的论文中提出了两种
函数之间的双向惟一关系，并用以求解微分方程。

然而拉普拉斯变换在应用中的
真正价值，在其后一个多世纪中一直未被人们认识。

海维赛德（Oliver Heaviside ）（1850 —1925 ）（暂缺）
最新发展
多重拉普拉斯变换用于弱非线性电路的频域分析，发展出了分析弱非线性电路的伏特拉（Volterra）级数法。