2011年高考数学第二轮专题复习 函数教学案

2011年高考第二轮专题复习（教学案）：函数
考纲指要：
函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。

考点扫描：
1.函数概念,构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。

2. 函数性质：（1）奇偶性；（2单调性；（3）最值；（4）周期性。

3．基本初等函数：正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。

4．函数图象：图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

5．函数应用：以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉及经济、环保、能源、健康等社会现象。

考题先知：
例1． 定义域为R 的函数⎩⎨
⎧=≠-=)2(0
)
2(||2|lg |)(x x x x f ，若0<b ，则关于x 的方程
0)()(2=+x bf x f ,的不同实根共有（ ）个。

A. 4 B.5 C.7 D.8
解析： 方程0)()(2
=+x bf x f 可化为0)(=x f 或b x f -=)(。

而)(x f y =的图象大致如
图1所示，
由图可知，直线0=y 与)(x f y =的图象有3个交点，直线)0(<-=b b y 与)(x f y =的图象有4个交点，即方程0)(=x f 有3个实根，方程b x f -=)(有4个实根，从而原方程共有7个实根，故答案选C 。

[来源:]
例2．函数}3,2,1{}3,2,1{:→f 满足)())((x f x f f =，则这样的函数个数共有（ ）
y
x
1 2 3 O
（A ） 1个 （B ）4个 （C ）8个 (D) 10个
分析：这是一个从集合A 到集合A 的函数，由于集合A 中的元素仅有三个，情况比较简单，通过列举便可解决此题。

解：若)3,2,1(,)(==i i x f ，则一定满足)())((x f x f f =，这样的函数个数有3个；
若3)3(,1)2()1(===f f f ，则一定满足)())((x f x f f =，类似的函数个数有6
22
3=C 个；
若)3,2,1(,)(==i i i f ，则一定满足)())((x f x f f =，这样的函数个数有1个，综上所述，共有10个，故选D 。

点评：将上述问题推广为：设*},,......,3,2,1{N n n A ∈=，函数A A f →:,则满足
)())((x f x f f =的函数共有多少个？
解：令t x f =)(，则有t t f =)(，即有A t ∈，在f 的作用下函数是自身。

(1)当t 只取一个数时，不妨设此元素为i ，那么其它元素的函数值也只能是i ，故此时满足条件的函数只能有一个，由于元素i 的不同选择有n 种，所以此类满足条件的函数共n 个。

(2)当t 恰好取2个数时，不妨设这两个元素为j i ,，那么其它元素的函数值就只能取i 或j ，其它元素有n-2个，由乘法原理满足条件的函数共有2
2
-n 个，又因为j i ,的选择有2
n C 种，
故此类满足条件的函数共有222-⋅n n C 个。

同理，当t 恰取3个数时，满足重要任务的函数共有33
3-⋅n n C 个。

当t 恰取n 个数时，满足条件的函数共有0n C n n ⋅个。

综上所述，满足条件的函数共有033221321n C C C C n n n n n n n n ⋅++⋅+⋅+⋅-- 个。

复习智略：
例3。

已知函数|1
1|)(x
x f -
=。

(Ⅰ)是否存在实数a 、b )(b a <，使得函数)(x f 的定义域与值域都是],[b a ，若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）若存在实数a 、b )(b a <，使得函数)(x f 的定义域],[b a ，值域为)0](,[≠m mb ma ，求实数m 的取值范围
解析：(Ⅰ)假设存在实数a 、b )(b a <，使得函数)(x f y =的定义域与值域都为],[b a ，
因为0|1
1|≥-
=x y ，所以0≥a 。

又因为0≠x ，故0>a ，此时 ⎪⎩⎪⎨
⎧<<-≥-=)10(11
)1(1
1)(x x
x x
x f [来源:学科网ZXXK] ① 当10<<<b a 时，11
)(),1,0(],[-=
⊂x x f b a 在],[b a 上是减函数，故⎩⎨⎧==b b f a a f )()(可得b a =矛盾，此时实数a 、b 不存在；[来源:Z+xx+] ② 当b a <≤1时，x x f b a 1
1)(),,1[],[-
=+∞⊂在],[b a 上是增函数，故⎩
⎨⎧==b b f a a f )()(，可得a 、b 是方程012
=+-x x 的根，该方程无解，故此时实数a 、b 也不存在； ③ 当10<<a 且1≥b 时，显然],[1b a ∈，则],[0)1(b a f ∈=，矛盾，所以此时实数a 、
b 也不存在；[来源:学科网ZXXK]
综上知，适合条件的a 、b 不存在。

（Ⅱ）因为0)(>-⇒>a b m ma mb ，而a b >，所以0>m ，则由0>ma ，知0>a 。

仿(Ⅰ)可知，当10<<<b a 以及当10<<a 且1≥b 时，都不符合要求； 当b a <≤1时，由,)()(⎩⎨
⎧==mb
b f ma
a f 可得a 、
b 是方程012=+-x mx 不小于1的两个相异实
根，由实根分布知识可得410<<m ，从而实数的取值范围是)4
1,0(。

检测评估：
1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，称这些函数为“同族函数”，则函数的解析式为2
x y =，值域为{}4,1的“同族函数”共有（ ）个。

A ．8
B ．9
C ．10
D ．无数个
2. 若方程1
31()2
x
x =有解0x ，则0x 属于以下区间 ( )
A. 1(0,)3
B.11()32，
C. 1(,1)2
D.(1,2) 3．已知函数),(1,
,
1,16)23()(+∞-∞⎩⎨
⎧≥<-+-=在x a x a x a x f x
上单调递减，那么实数a 的取值
范围是
（ ）
A ．（0，1）
B ．)32
,0(
C ．)32,83[
D ．)1,8
3[
4. 设函数x x f m log )(=，数列{}n a 是公比为m 的等比数列，若,8)(200842=a a a f 则
)()()(2
20082221a f a f a f +++ 的值等于
A ．-1976
B ．-1990
C ．2042
D ．2038
5．定义域和值域均为[－a ，a ]（常数a >0）的函数y =f (x )和y =g (x )的图象如图所示：
给出下列四个命题：
①方程f [g (x )]=0有且仅有三个解； ②方程g [f (x )]=0有且仅有三个解； ③方程f [f (x )]=0有且仅有九个解；
④方程g [g (x )]=0有且仅有一个解。

[来源:学科网] A ．①③ B ．②③ C ．③④
D ．①④
6．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“○＋”如下：当a ≥b 时，a ○＋b ＝a ；当a ＜b 时，a ○＋b ＝b 2
；则函数f(x)＝(1○＋x)·x ―(2○＋x)，x ∈[―2,2]的最大值等于
(“·”与“－”分别为乘法与减法)．[来源:学。

科。

网]
7．若()f n 为21n +的各位数字之和()n *∈N ．如：因为2141197,19717+=++=，所以(14)17f =．记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，k *∈N ，
则)8(2008f =
8.已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：①对任意的x R ∈都有
(4)()f x f x +=；②对于任意的1202x x ≤<≤时，)()(21x f x f <；③(2)y f x =+的图
象关于y 轴对称，则(4.5),(6.5),(7)f f f 的大小关系是 . 9．定义在R 上的函数)4
5
(,0)()25()(+=++
x f x f x f x f 且函数满足为奇函数. 给出下
列结论：①函数)(x f 的最小正周期是25；②函数)(x f 的图象关于点（4
5
，0）对称；③函 数)(x f 的图象关于直线25=x 对称；④函数)(x f 的最大值为).2
5
(f
其中正确结论的序号是 .（写出所有你认为正确的结论的序号） 10．已知函数x x f x
2log )3
1()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足
0)()()(<c f b f a f ，若实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：[来源:学_
科_网Z_X_X_K]
①a d <；②b d >；③c d <；④c d >中有可能成立的的序号是 .（写出所有你认为正确的结论的序号）
11 已知函数f 1(x )=21x -, f 2(x )=x +2,
(1)设y =f (x )=⎩
⎨⎧∈--∈]1,0[ ),(3)0,1[
),(21x x f x x f ，试画出y =f (x )的图像并求y =f (x )的曲线绕x 轴旋
转一周所得几何体的表面积；
(2)若方程f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等的实根，求实数a 的范围 (3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，2
1］，求b 的值
12．A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有
|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ
（1）设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ
（2）设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的; （3）设A x ∈)(ϕ,任取)2,1(∈l x ,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式||1||121
x x L
L x x k k l k --≤-++。

点拨与全解：
1．解：令21x y ==得1±=x ，同理令24x y ==得2±=x ，四个元素2,2,1,1--构成值域为{}4,1的函数的定义域有{}{}{}{}2,1,2,1,2,1,2,1----，{}{}{},2,2,1,2,1,1,2,1,1----
{}2,2,1--，{}2,2,1,1--。

共9个，选B 。

2．解：记31
)2
1()(x x f x
-=，因0)31()21()31(31
31
>-=f ，0)21()21()21(31
21
<-=f ，故
选B 。

3．解：由条件得：⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+-<<<-1
16231
00
23a a a a a 3283<≤⇒a ，故选C 。

4．解：因数列{}n a 是公比为m 的等比数列，所以2008421004200731a a a m a a a =⋅
)(log )()()(2
20082
22
12
20082221a a a a f a f a f m ⋅=+++∴
2
1004
2200842]1
)[(log m
a a a m ⋅
= 2008842008)(log 4200842-⨯=-=a a a m =1976-， 故选A 。

5．解：因为方程f (x )=0有三个解，不妨设为x 1,x 2,x 3，且-a<x 1<x 2<x 3<a,所以方程f [g (x )]=0可化为g (x )= x 1,x 2,x 3, 有且仅有三个解,即命题①正确；同理，方程g [g (x )] =0有且仅有一个解，命题④正确；因为方程g (x )=0有一个解，不妨设为x 0，且-a<x 0 <a ，所以方程g [f (x )]=0可化为f (x )= x 0,有一解、二解、三解等三种可能，即命题②错误；同理，方程f [f (x )]=0不一定有九解，命题②错误；故选D 。

6．解：根据定义得⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤-=)2(,)21(,2)1(,2)(233
x x x x x x x x f ，所以当x ∈[―2,2]时，最大值等于
6)2(=f 。

7．解：由条件知：因为65182
=+，11)8(1=∴f ，又1221112
=+，5)11()8(2==∴f f ，
26152=+，8)5()8(3==∴f f ，从而周期为3，故11)8()8(12008==f f 。

8．解：由③知函数()y f x =关于2=x 对称，由①知函数()y f x =周期为4=T ，所以
)1()3()7(),5.1()5.2()5.6(),5.0()5.4(f f f f f f f f =====，从而由②知 (4.5)(7)(6.5)f f f <<
9．解：由函数)45(+x f 为奇函数得0)45()45(=+-++x f x f ，得点（4
5
，0）是它的对称中心，故②正确；由0)()25(=++x f x f 得)()2
5
()5(x f x f x f =+-=+，所以最小正
周期为5=T ，故①错误；由0)45()45(=+-++x f x f 得0)4
5
45()25(=+--++x f x f ，
所以)2
5
()()25(+-=--=+x f x f x f ，故③正确；显然④不能确定。

因此其中正确结论的
序号是②③。

10．解：可证)(x f 是单调递减函数，而c b a <<，所以由0)()()(<c f b f a f 可知 0)()()(<<<a f b f c f 或)()(0)(a f b f c f <<<，
因实数d 是方程0)(=x f 的一个解，得0)(=d f ，所以由)()()()(d f a f b f c f <<<或)()()()(a f b f d f c f <<<得
d a b c >>>或a b d c >>>，故能成立的的序号是①②③。

11．解 (1）y =f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∈+--∈-]
1,0[,1)
0,1[,12x x x x 的图像如图所示
y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体是由一个半径
为1的半球及底面半径和高均为1的圆锥体组成，
其表面积为(2+2)π
(2)当f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等实根时，a 的取值范围为2－2＜a ≤1 (3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，2
1
］，则可解得b =235-
12．解：对任意
]2,1[∈x ,]2,1[,21)2(3∈+=x x x ϕ,≤33)2(x ϕ35≤,253133<<<,所以
)2,1()2(∈x ϕ对任意的]2,1[,21∈x x ， ()
()()()
2
323213
2
121211121212
|
||)2()2(|x x x x x x x x ++++++-=-ϕϕ，
<3 ()()()()3232132
1112121x x x x ++++++， <3 所以0<
()()()()
2
323213
2
11121212
x x x x ++++++3
2<
, 令
()
()()()
2
323213
2
11121212
x x x x ++++++=L ，
-1
1
1
o
y
x
10<<L ，|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ
所以A x ∈)(ϕ
反证法：设存在两个000
0),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ϕ=,)2(00x x '='ϕ。

则由|||)2()2(|/
00/
00x x L x x -≤-ϕϕ，
得||||/00/
00x x L x x -≤-，所以1≥L ，矛盾，故结论成立。

[来源:学§科§网]
121223)2()2(x x L x x x x -≤-=-ϕϕ，
所以121
1x x L
x x n n n -≤--+，[来源:Z_xx_]
()()()||1||121
1211x x L L x x x x x x x x k k k p k p k p k p k k p k --≤-+-+-=--+-+-+-+++
k k p k p k p k p k x x x x x x -+-+-≤+-+-+-++1211
≤123122x x L x x L p k p k -+--+-++…121x x L k --
1211x x L
L K --≤-。