浅谈中学数学解题中构造法的应用

浅谈中学数学解题中构造法的应用

摘要：构造法的实质就是通过深入分析问题的结构特征和内在规律，综合运用数学知识，构想一个与原命题密切相关的数学模型，从而把原问题转化为比较简单或易于求解的新问题，使问题在该模型的作用下实现转化，迅速获解。学习一些构造法对数学能力的提高是大有好处的。本文主要探讨构造函数法在中学解题中的应用，并简要介绍其他几种常用的构造法。

关键词：数学思维方法；构造法；应用

一、构造函数法在中学数学解题中的应用

（一）构造辅助函数法的概念及操作要点

在求解某些数学问题时，根据题目构造出适当的函数模型，将原问题转化为研究辅助函数的图象、性质及其解题的方法，从而解决实际问题，这就是构造函数法。这个方法的操作要点有三：

（1）确定基本函数模型。在中学数学中已经确定了五种基本函数，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。它们是必须熟练掌握的基本函数模型。在考试和实际应用中下面三种函数是很常用的，我们称之为“重要函数模型”。

（2）掌握基本函数的图象和性质，然后利用它们的图象和性质来解题，或类比基本函数的研究方法。在高考中，重点考查函数的五大性质及其应用，它们是：定义域、值域（最值性）、周期性、奇偶性、单调性。

（3）构造函数，并把非基本函数化归为基本函数来解决。

（二）总结构造三种“重要函数模型”的解题模式并举例

1.构造二次函数模型

（1）构造形式。

一般式：y = ax2+bx+c（c≠0）；

顶点式：y = a（x-x0）2+y0，顶点（x0，

零点式：y= a（x-x1）（x-x2），

（2）图解模式。

例如：二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象是抛物线，其对称轴是x= ，顶点为（，）。通过抛物线的“顶点式”及图象掌握最值性，对称性，单调性。

（3）二次函数f（x）在区间[p，q]上的最值求法：比较特殊值f（p），f（q），f（x0）。根据x0=分两种情况：若x0∈[p，q] ，则f（x0）是一个特殊值；若x0[p，q]，则不算f（x0）。

（4）应用举例。

【例1】求y = 2cos2x+3sinx的值域。

解：设t=sinx，则y = 2（1-2t2）+3t= 2-4t2+3t，从而直接构造函数y =f（t）=

-4t2+3t+2，t∈[-1，1]。

∴t0==∈[-1，1]

∴f（t0）=，f（-1）=1得所求函数值域为[-5，]。

2.构造最简分式函数模型

（1）构造形式。

一般式y =（c≠0，ad≠bc）；

中心式y =+y0（k≠0），中心为（x0，y0）。

（2）图解模式。

例如：分式函数y =（c≠0，ad≠bc）的图象是等轴双曲线，其对称中心为（，）；两条渐近线方程是x = ，y =。看图得知函数的值域和单调区间。

（3）函数f（x）=在x∈[p，q]上的值域求法：设x0=，若x0[p，q]，则比较f（p），f（q）的值域；若x0∈[p，q]，则比较f（p），f（q）- ∞，+∞的值域。

（4）应用举例。

【例2】求函数y =的值域。

解：设t=cosx∈[-1，1]，则直接构

造函数y =f（t）=。这里t0=∈[-1，1]，计算：f（-1）=-4 ，f（1）=

，则函数的值域是（- ∞，-4]∪[，+∞）。

3.构造对号函数模型

（1）构造形式。y =x+ （a>0）。

（2）图解模式函数y=x+（a>0）的图象是双曲线，中心为原点；两条渐近线方程是x=0，y=x；两个顶点是，利用这个函数的图象，解决函数y =x+在区间[0，p]上的单调性和最值问题（p ∈R+）。

（3）函数f（x）=x+（a>0）在[0，p]上的值域求法：设x0 =，

若≤p，则f（x）≥f（）=

2；若>p，则f（x）≥f（p）。

（4）应用举例。

【例3】求正数a，b满足ab=a+b+3，

则求ab的取值范围。

解：设ab=y，则a>0，b>0，y>0，由此得：ab=a+b=3 y =a+ +3 （a-1）y=a（a+3）

∴y=，a>1。设a-1=t，则构造函数y =f（t）=t++5，t ∈（0，+∞），其中令g （t）=t+，t∈（0，+∞），可利用对号函数图象的性质知g （t）最小值为g （）=4 。所以y=f（t）=g （t）+5≥9即得ab 的取值范围是[9，+∞）。

二、其他几种常用的构造法

1.构造辅助方程

方程（组）作为中学数学的重要内容之一，它与数式、函数等诸多知识密切地联系在一起。可以根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程（组），然后依据方程的理论，能使问题在新的关系下得以转化而获得解决。

【例4】已知a、b、c、d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）=1，

（b+c）（b+d）=1，求（a+c）（b+c）的值。

解：∵（a+c）（a+d）=1和（b-c）（b+d）=1

∴构造方程（x+c）（x+d）=1

∴可知：a、b是它的两个根

该方程可化为：x2-（c+d）x+cd-1=0

由根与系数的关系可知a+b=-（c+d），ab=cd-1。

∴（a+c）（b+c）=ab+ac+cb+c2

=ab+（a+b）c+c2

=（cd-1）+[-（c+d）c ]+c2

=cd-1-c2-cd + c2

= -1

总结与提高：从本题解法我们可以悟出，对于四个变量的方程组，构造一元二次方程的方法如下：①依题意把其中两个变量c、d视为常数，其余两个变量a和b看成变量构造一元二次方程；②利用韦达定理，求出a和b的和与积解题；