(47)分解质因数

（四十七）分解质因数

《奥赛天天练》第三十五讲《分解质因数》。

如果一个整数的因数是质数，为质数的因数就叫做这个数的质因数。把一个合数表示成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。如果不考虑质因数的排列顺序，任意一个合数分解质因数的结果是唯一的。

常用的分解质因数的方法主要有两种：短除法和塔形分解。

如下图，给一个合数分解质因数，短除法就是利用短除式，按从小到大的顺序依次用这个数的质因数去除这个合数，一直除到结果为质数为止，找出这个合数所有的质因数；塔形分解就是先把这个合数写成两个因数的积，如果其中某个因数是合数，则继续上面的过程，一直分解到每个因数都是质数为止。

通过分解质因数，可以把对自然数的研究转化为对质数的研究，从而找到解答相关数学问题的方法。

《奥赛天天练》第35讲，模仿训练，练习1

【题目】：

一个筐里共有72个梨，如果不一次拿出，也不一个一个拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完，共有几种拿法？

【解析】：

72个梨每次拿出的个数相等，最后一次正好拿完，不能一次拿出，也不一个一个地拿，根据这些条件可知，每次拿出的个数一定是72的因数且不包括1和72本身。

对72分解因数，找出72所有大于1、小于72的因数（去掉1，最小的因数从2开始）：

72=2×36﹦3×24﹦4×18﹦6×12﹦8×9

符合条件的72的因数有10个：2、3、4、6、8、9、12、18、24、36。

所以共有10种拿法。

《奥赛天天练》第35讲，模仿训练，练习2

【题目】：

将8个数14，30，33，75，143，169，4445，4953分成两组，每组四个数，要使各组四个数相乘的积相等，其中一组中有14，另一组中四个数是多少？

【解析】：

要使各组四个数相乘的积相等，则两组所包含的质因数情况必然完全相同。可以先对这8个数分解质因数，再根据相同质因数的分布情况进行分组。

14﹦2×7； 30﹦2×3×5； 33﹦3×11；

75﹦3×5×5； 143﹦11×13； 169﹦13×13；

4445﹦5×7×127； 4953﹦3×13×127。

这8个数中有2个质因数127每组分得1个；4个质因数13每组2个；4个质因数5每组2个；2个质因数7每组1个。按顺序依据这些质因数的分布情况，可以把这8个数分为下面两组。

第一组：4445、169、30、33；第二组：4953、143、75、14

不含14的是第一组，四个数为：4445、169、30、33。

《奥赛天天练》第35讲，巩固训练，习题1

【题目】：

两个连续奇数的积是111555，这两个奇数的和是多少？

【解析】：

先对111555分解质因数：111555﹦3×3×5×37×67

两个连续奇数大小应该很接近，通过估算把111555的质因数分成两组，3×3×

37 和 5×67的积都是三百多比较接近。再计算可得：

3×3×37﹦333；5×67﹦335。

即111555﹦333×335。

两个奇数333和335符合题目要求，所以所求两个奇数的和为：

333＋335﹦668。

《奥赛天天练》第35讲，巩固训练，习题2

【题目】：

有3个整数a、b、c，若已知a·b﹦6，b·c﹦15，c·a﹦10，求a，b，c。

【解析】：

6、15、10都只能分解成两个质数之积：

a·b﹦6﹦2×3

b·c﹦15﹦3×5

c·a﹦10﹦2×5

比较上面三个等式，可以推理出：a﹦2；b﹦3；c﹦5。

《奥赛天天练》第35讲，拓展提高，习题1

【题目】：

2000年的哪几天，年数、月数和日数的乘积恰好等于三个连续的5的倍数（如5，10，15）的乘积？

【解析】：

三个连续的5的倍数的乘积，就相当于三个连续自然数的乘积乘以125（5的立方）

的积。

2000﹦125×16

要使2000年这一天年数、月数和日数的乘积满足题目条件，即16和月数、日数的乘积可以分解成三个连续自然数的乘积。16含有4个质因数2，即三个连续自然数的乘积中必须含有4个质因数2，而三个连续的自然数中至少有一个奇数，则另两个数至少含有4个质因数2，且月数最大不大于12，日数不大于31。

根据题中条件和上面的分析，尝试写出符合条件的因数分解算式有：

14×15×16×125﹦7×30×2000﹦10×21×2000；

8×9×10×125﹦9×5×2000﹦3×15×2000；

6×7×8×125﹦3×7×2000﹦1×21×2000。

所以，符合条件的日期有8天：2000年7月30日、2000年10月21日、2000年9月5日、2000年5月9日、2000年3月15日、2000年3月7日、2000年7月3日、2000年1月21日。

《奥赛天天练》第35讲，拓展提高，习题2

【题目】：

有一个不小于2的整数，除300，262，205，得到相同的余数，这个整数是多少。【解析】：

300，262，205这三个数都关于同一个整数同余，则这三个数两两之差必定都是这个整数的倍数，即这个整数是已知三个数两两之差的公约数。

300－262﹦38； 300－205﹦95

求出38和95的公因数：（38，95）﹦19。

所以这个整数是19。