数学杂谈-(二元一次联立方程式)

第一章二元一次联立方程式
数学杂谈
一、教学设计理念
1-1 二元一次方程式
本节先由二元一次式介绍至二元一次方程式，在式子的化简时，延续七上一元一次式对「项」以「＋」号区隔的概念，让合并化简运算归于较单纯的加法，虽然多了些篇幅，但可避免或减少学生在运算上的错误。

利用直式做式子的加减运算记录，更有助于下一节加减消去法解联立方程式的学习。

1-2 解二元一次联立方程式
本节先介绍二元一次联立方程式，接着将目标放在代入消去法与加减消去法的学习，两种方法的初例介绍，都先由简易的题型开始，并刻意将解法以步骤呈现，加强学生的概念。

后续例题的介绍，遵循由浅至深、由易至难的原则逐步渐进，且题型尽量细分，并尽量安插适度的说明与引导，方便学生的学习。

本节另有介绍无限多解与无解的情形。

（例题12和例题13）
1-3 应用问题
本节主要目标在利用二元一次联立方程式解决生活情境的应用问题，首先让学生了解，在七上学习利用一元一次方程式解应用问题时的解题步骤，也适用于二元，接着先以给定假设的应用问题（例题1），整合§1-1与§1-2的学习，再进行须自行假设的学习，最后并加强解的合理性判别。

例题的安排也是由易入难，所列方程式也尽量设计成不相同的题型。

为加强学生的阅题能力，解说引用题干时，常加入「」来强调，期能对学生在应用问题的分析能力上，能逐步提升。

二、相关教学资源
著名的九宫格，是将1～9等九个数字填入3行×3列的方格中，且使各行、各列、各对角线三数的和均相等。

在数字未填入时，可由（1＋……＋9）÷3求得其和为15。

数字1填入时，以格子的方位来看，可分三类不同的位置（如下图着色的格子为同一类）来讨论。

数字1填入第一类的格子是没问题的，如下图为其中一例。

但是否可以填入第二、三类的格子呢？可以利用二元一次方程式来解决这个问题。

P28
若1填入第二类格子的○1，并设○2填入x、○4填入y，如下图。

（x、y为2～9不同的正整数）
由○1＋○2＋○3＝15，1＋x＋○3＝15，得○3＝14－x
由○1＋○4＋○7＝15，1＋y＋○7＝15，得○7＝14－y
由○3＋○5＋○7＝15，14－x＋○5＋14－y＝15，得○5＝x＋y－13
由○1＋○5＋○9＝15，1＋x＋y－13＋○9＝15，得○9＝27－x－y
由○2＋○5＋○8＝15，x＋x＋y－13＋○8＝15，得○8＝28－2x－y
由○4＋○5＋○6＝15，y＋x＋y－13＋○6＝15，得○6＝28－x－2y
○1 1 ○2x○314－x
○4y○5x＋y－13 ○628－x－2y
○714－y○828－2x－y○927－x－y
最后由○3＋○6＋○9＝15或○7＋○8＋○9＝15均可得x＋y＝18，但因x、y需为2～9不同的正整数，所以无解，也就是数字1不能填入第二类的格子中。

而数字1也不能填入第三类（即正中央）的格子中。

教师可让程度较好的学生，以同样的方式说明看看。

P29
三、数学游戏
扑克牌因其点数的正整数特性，很适合做为数学游戏的工具。

本章的二元一次方程式及联立方程式，都可以利用扑克牌来练习。

学生2至5人一组，由一位同学从一叠扑克牌中，抽出两张，左右手各执一张。

1. 练习二元一次方程式时，可告诉对方，右手点数的3倍与左手点数的和是多
少，且左右手的点数哪一边较大（抽到点数相同时请重抽），然后请对方猜左右两手点数可能是多少。

可更改条件，但左右手点数的倍数不宜太大，且不宜相同。

2. 练习二元一次联立方程式时，可告诉对方，右手点数的2倍与左手点数的和
是多少，及左手点数的2倍与右手点数的和是多少，然后请对方猜左右两手点数和，及左右两手点数各是多少。

可更改条件，但倍数不宜太大。