2020年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）

1.已知集合A={0,2，4，6}，B={x|3<x<7}，则A∩B=_____．

2.i是虚数单位，复数z=2+3i

的虚部是______ ．

−3+2i

3.抛物线y2=x的焦点F坐标为______ ．

4.盒子中共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是

__________．

5.如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右

的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为10，则抽

取的学生人数为______ ．

6.执行如图所示的流程图，输出的S值为__________．

7. 已知函数f(x)={(13)x ,x ≤0log 3x,x >0

，若f(a)=3，则实数a 的值为______． 8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q =3，S 3+S 4=53

3，则a 3= ______ ．

9. 一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为_________．

10. 函数y =cos(π

3−2x)−cos2x 的最小正周期为__________．

11. 在△ABC 中，若A =2B ，a ：b =√2：1，则A = ______ ．

12. 在平面直角坐标系中，已知圆x 2+y 2=8上有且仅有四个点到直线x +y +m =0的距离为√2，

则实数m 的取值范围是______

13. 在△ABC 中，D 为AB 的中点，点O 满足CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⊥OB ，若AB =10，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．

14. 已知函数，g(x)=kx −1，若函数y =f(x)−g(x)有且仅有4个不同的零点．则实数k 的取值范围为_______．

二、解答题（本大题共11小题，共148.0分）

15. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA 上平面ABC ，AB =BC ，点E ，F 分别为

AC ，PC 的中点．

(Ⅰ)求证：PA//平面BEF ；

(Ⅱ)求证：BE ⊥平面PAC ．

16. 已知A(2,0)，B(0,2)，C(cosα,sinα)，且0<α<π

(1)若|OA

⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7，求OB 与OC 的夹角；

(2)若AC

⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求tanα的值。

17. 某地政府欲在一块不规则的休闲区域OABC 的地下建一个矩形防空场所DEBF ，如图所示．设

计时以OA 所在直线为x 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，已知OA ⊥AB ，OA//BC ，AB =BC =2OA =120m ，曲线OC 是以点O 为顶点的且开口向上的抛物线的一段，设D 点的横坐标为x(单位：m)．

(1)试求矩形DEBF 的面积关于x 的函数解析式f(x)，并指出定义域；

(2)当DE 的长为多少时，矩形防空场所DEBF 的用地面积最大？

18. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)，其短轴为2，离心率为√22． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；

(Ⅱ)设椭圆E的右焦点为F，过点G(2,0)作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

19.已知函数g(x)=e x−2−ax(a∈R)(e为自然对数的底数)

(1)讨论函数g(x)的单调性；

(2)当x>0且x≠1时，f(x)=g(x)−e x−2+x

在(1,+∞)上为减函数，求实数a的最小值．

lnx

20.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．

(1)求{a n}的通项公式；

(2)设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．

21.求矩阵M=[00

]的特征值和特征向量．

01

22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知

)=1，曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ，a>0直线l的极坐标方程为√2ρcos(θ+π

4

(l)设t为参数，若y=√2

t−1，求直线l的参数方程；

2

(2)已知直线l与曲线C交于P，Q设M(0,−1)，且|PQ|2=4|MP|⋅|MQ|，求实数a的值．

23.已知函数f(x)=|x+3|−|m−x|(m∈R)．

(1)当m=2时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若不等式f(x)≤6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

24.已知随机变量X的分布列为：

(1)求E(X)；

(2)若Y=2X−3，求E(Y)．

(3)若ξ=aX+3，且E(ξ)=−11

2

，求a的值．

25.已知f(n)=C42

C63+C63

C84

+C84

C105

+⋯+C2n n

C2n+2

n+1

，g(n)=C4

4

C63

+C65

C84

+C86

C105

+⋯+C2n n+2

C2n+2

n+1

，其中n∈N∗，n≥2．

(1)求f(2)，f(3)，g(2)，g(3)的值；

(2)记ℎ(n)=f(n)−g(n)，求证：对任意的m∈N∗，m≥2，总有ℎ(2m)>m−1

2

．