北京市昌平区2020-2021学年七年级上学期期末数学试题及参考答案

北京市昌平区2020-2021学年七年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果支出50元记作50-元，那么收入100元记作（ ）
A ．100+元
B ．100-元
C ．50+元
D ．50-元 2．6-的绝对值是（ ）
A ．6-
B ．6
C ．16-
D ．16
3．下列等式中成立的是（ ）
A ．a ﹣（b+c ）=a ﹣b+c
B ．a+（b+c ）=a ﹣b+c
C ．a+b ﹣c=a+（b ﹣c ）
D ．a ﹣b+c=a ﹣（b+c ）
4．自2020年5月1日《北京市生活垃圾管理条例》实施以来，本市居民家庭厨余垃圾分出量大幅提升，分出量从《条例》实施前的每日309吨，增长至10月份的每日3946吨，增长了约12倍．预计2021年1月（31天）厨余垃圾的日均分出量约为5000吨，那么该月可分出厨余垃圾的总量用科学记数法表示为（ ）
A ．3510⨯
B ．40.510⨯
C ．51.5510⨯
D ．315510⨯ 5．下列各数中，是负整数的是（ ）
A ．32-
B ．0.1--
C ．13⎛⎫-- ⎪⎝⎭
D ．2(2)- 6．下列几何体中，其主视图是曲线图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 7．如果1m n a b --与234a b 是同类项，那么（ ）
A ．4m =，4n =
B ．4m =，3n =
C ．2m =，3n =
D ．2m =，4n = 8．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ）
A ．12
B ．10
C ．9
D ．6
二、填空题
9．﹣23
的倒数是_____． 10．比较大小：－7_______－5．
11．用列代数式表示“a 的3倍与b 的和”为________．
12．如果关于x 的方程21x a +=的解是1x =-，那么a 的值是____________． 13．如图，已知OA OB ⊥于点O ，2020BOC '∠=︒，
那么AOC ∠=________︒______′．
14．已知2|3|(2)0m n ++-=，则n m 的值为___________．
15．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是_____．
16．（问题）将0.1化为分数形式．
（探求）步骤①设0.1x =．
步骤②10100.1x =⨯．
步骤③10 1.1x =，则1010.1x =+．
步骤④101x x =+，解得：19
x =． （回答）（1）0.3化为分数形式得________；
（2）0.13化为分数形式得__________．
三、解答题
17．计算：(3)15(8)-+---．
18．计算：531(12)624⎛⎫--+⨯- ⎪⎝⎭
． 19．计算：421212(3)⎡⎤--÷--⎣⎦．
20．解方程：315x x -=+．
21．解方程：131148
x x +--=． 22．在学习了整式的加减后，老师在课堂上布置了一道练习：
已知：代数式()()32323533222021a a a a a a a a --++---+．
当（1）1a =；（2）0a =；（3）1a =-时，从中选择a 的一个取值代入代数式求值，看谁算的快．
小丹立马举手说：“我选0a =，结果是2021，因为0a =时，含a 的每一项都是0，0和任何有理数相加仍得这个有理数”；
小良随后举手说：“代入1或1-的结果也是2021”；
小涛思考后举手说：“代入任何一个数的结果都是2021”．
你验证小涛的说法是正确的．
23．补全解题过程．
已知：如图，40AOB ∠=︒，60BOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠．
求BOD ∠的度数．
解：∵40AOB ∠=︒，60BOC ∠=︒，
∴AOC AOB ∠=∠+∠________＝_________°．
∵OD 平分AOC ∠，
∴AOD ∠=__________AOC ∠．（ ）
∴50AOD ．
∴BOD AOD ∠=∠-∠________＝__________°．
24．如图，已知一条笔直的公路l 的附近有A ，B ，C 三个村庄．
（1）画出村庄A ，C 间距离最短的路线；
（2）加油站D 在村庄B ，C 所在直线与公路l 的交点处，画出加油站D 的位置；
（3）画出村庄C 到公路l 的最短路线CE ，作图依据是____________，测量CE ≈______cm （精确到0.1cm ）；如果示意图与实际距离的比例尺是1∶200000，通过你的测量和计算，在实际中村庄C 到公路l 的最短路线为________km ．
25．列方程解应用题．
我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人数多少？银子几何？意思是：有若干客人分银若干两，如果每人分7两，还多4两；如果每人分9两，还差8两（题中斤、两为旧制，1斤16=两）．问：有多少位客人？多少两银子？
26．已知直线l 上有A ，B ，C ，D 四点，5AB =，3BC =，点D 是线段AC 的中点，根据题意画出图形，并求线段AD 的长．
27．数学课上李老师说：咱们一起来玩儿一个找原点的游戏吧！
（1）如图1，在数轴上标有A ，B 两点，已知A ，B 两点所表示的数互为相反数． ①如果点A 所表示的数是5-，那么点B 所表示的数是____________；
②在图1中标出原点O 的位置；
（2）图2是小慧所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等． 根据小慧提供的信息，标出隐藏的原点O 的位置，写出此时点C 所表示的数是
____________；
（3）如图3，数轴上标出若干个点，其中点A ，B ，C ，D 所表示的数分别为a ，b ，c ，d ．
①用a ，c 表示线段AC 的长为____________；
②如果数轴上标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位（如1BC =），且
210d a -=．判断此时数轴上的原点是A ，B ，C ，D 中的哪一点，并说明理由．
28．（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．
例如222÷÷，记作2③，读作“2的圈3次方”；
再例如(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-，记作()3-④
，读作“3-的圈4次方”；一般地，把n a a a a a ÷÷÷⋅⋅⋅÷个（0a ≠，n 为大于等于2的整数）记作，读作“a 的圈n 次方”．
（初步探究）
（1）直接写出计算结果：7=③_______________，14⎛⎫-= ⎪⎝⎭
⑤
__________； （2）关于除方，下列说法错误的是____________；
A ．任何非零数的圈2次方都等于1；
B ．对于任何大于等于2的整数c ，
； C ．89=⑨⑧；
D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；
（深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方2
11112222222222⎛⎫→=÷÷÷=⨯⨯⨯=→ ⎪⎝⎭④乘方幂的形式 （1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：
(5)-=⑥___________；12⎛⎫= ⎪⎝⎭
⑨___________； （2）将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为____________；
（3）将
（m 为大于等于2的整数）写成幂的形式为_________．
参考答案
1．A
【分析】
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】
根据题意，支出50元记作-50元，
则收入100元记作+100元，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．2．B
【分析】
由绝对值的意义进行判断，即可得到答案．
【详解】
的绝对值是6；
解：6
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟记绝对值的意义．
3．C
【分析】
【详解】
A. a−(b+c)=a−b−c，故此选项错误；
B. a+（b+c）=a+b+c ，故此选项错误；
C. a+b−c=a+(b−c)，故此选项正确；
D. a−b+c=a−(b−c)，故此选项错误；
故选C
4．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤｜a｜<10，n为整数.确定n的值时，要看把
原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值≥10时，n 是正整数．
【详解】
因为2021年1月（31天）厨余垃圾的日均分出量约为5000吨
则该月可分出厨余垃圾的总量为5000×
31=155000吨 用科学计数法表示：1.55×
105吨 故选：C ．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a| <10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.
5．A
【分析】
先利用乘方的意义、绝对值的意义和相反数的定义对各数进行计算，然后利用有理数的分类进行判断．
【详解】
解：328-=-，
0.10.1--=-，
11=33
⎛⎫- ⎪⎝⎭-， ()-=422
故选：A ．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n 个相同因数积的运算，叫做乘方．也考查了相反数和绝对值．
6．B
【分析】
先判断出各图形的主视图，然后结合主视图的定义进行判断即可．
【详解】
解：A 、主视图是三角形，故本选项错误；
B、主视图是圆，故本选项正确；
C、主视图是矩形，故本选项错误；
D、主视图是矩形，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图定义是解题的关键．
7．D
【分析】
本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得m和n的值．
【详解】
解：由同类项的定义可知m=2，n-1=3．
得n=4，
故选：D．
【点睛】
同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
8．D
【分析】
要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数．
【详解】
图1没有共用部分，要6根小木棍，
图2有共用部分，可以减少小木棍根数，
仿照图2得到图3，要7根小木棍，
同法搭建的图4，要9根小木棍，
如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍，如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形，
∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根．
故选：D
【点睛】
此题考查的是组成图形的边的条数，解答此题需要灵活利用立体空间思维解答．
9．
3 2 -.
【分析】
根据倒数的定义，即可求解. 【详解】
∵（﹣2
3
）×（
3
2
-）＝1，
∴﹣2
3
的倒数是
3
2
-．
故答案为
3
2 -．
【点睛】
本题主要考查倒数的概念，掌握概念是解题的关键.
10．＜
【分析】
先求出绝对值，根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．【详解】
解：-7的绝对值是7，-5的绝对值是5，
∵7>5,
∴-7<-5.
故答案为<.
【点睛】
本题考查了有理数的大小比较的应用，注意：两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．+
11．3a b
【分析】
根据句子的描述，直接列出代数式，即可．
【详解】
+，
用列代数式表示“a的3倍与b的和”为：3a b
+．
故答案是：3a b
【点睛】
本题主要考查列代数式，准确理解句子的含义，是解题的关键．
12．1
【分析】
首先将x=-1代入方程x+2a=1，然后解关于a的一元一次方程即可．
【详解】
把x=-1代入，
得-1+2a=1，
解得a=1．
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的解.理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
13．69 40
【分析】
根据图可知∠AOB=90°，且∠BOC=∠AOB-∠AOC，直接计算即可．
【详解】
解：如右图所示，
∵OA ⊥OB ，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-20°20′=69°40′．
故答案是69；40．
【点睛】
本题考查了垂线的定义、余角、度分秒的换算．解题的关键是根据图得出∠BOC 、∠AOB 、∠AOC 的关系．
14．9
【分析】
由非负数的应用，先求出m 、n 的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵2|3|(2)0m n ++-=，
∴30m +=，20n -=，
∴3m =-，2n =，
∴2(3)9n m =-=；
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了乘方的运算、绝对值的非负性，解题的关键是掌握运算法则，正确求出m 、n 的值．
15．两点之间线段最短
【解析】
田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短，
故答案为两点之间线段最短．
16．13
215 【分析】
(1)利用等式的基本性质，设x=0.3，仿照材料中的探求过程，即可得出答案；
(2)利用已知设x=0.13，进而得出10x=1+0.1 3，由（1）中得到的0.3=1
3
代入得10x=1+
1
3
，进而求出x．
【详解】
(1)设x=0.3，
则10x=10×0.3
∴10x =3.3，则10x =3＋0.3∴10x =3+x
9x=3
x=1
3
．
(2)设x=0.13
10x=10×0.13，
10x=1.3，则10x=1+0.3
由(1)知，0.3=1
3
，代入得
10x=1+1 3
解得x=
2 15
故答案为：①1
3
；②
2
15
【点睛】
此题考查了一元一次方程的应用以及等式的基本性质，根据题意得出等量关系是解题关键. 17．1
【分析】
先将代数式化成省略括号的和的形式，再进行有理数的加减法运算．
【详解】
原式3158
=-+-+
258
=--+
1=．
【点睛】
本题考查了有理数的加减混合运算，正确运用有理数的加减法法则是解题的关键． 18．25
【分析】
由乘法分配律进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：原式10183=+-
283=-
25=．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
19．2
【分析】
先算乘方、括号，再算除法，最后算减法即可．
【详解】
解：原式121(29)=--÷-
121(7)=--÷-
13=-+
2=．
【点睛】
本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是关键．
20．3x =
【分析】
由移项、合并同类项、系数化为1，即可得到答案．
【详解】
解：351x x -=+．
26x =．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法进行解题． 21．5x =-
【分析】
先去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1，即可得到答案．
【详解】 解：131148
x x +--=， 2(1)(31)8x x +--=，
22318x x +-+=，
5x -=，
5x =-．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法进行解题． 22．见解析
【分析】
由题意，由去括号、合并同类项，把代数式进行化简，即可得到答案．
【详解】
解：原式32323533222021a a a a a a a a =-+-+---+2021=．
【点睛】
本题考查了整式的加减混合运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则进行计算．
23．BOC ；100；
12；角平分线定义；AOB ；10 【分析】
根据角的和差得到∠AOC ＝100°．根据角平分线的定义得到∠AOD ＝
12
∠AOC ，于是得到结论．
【详解】
解：∵40AOB ∠=︒，60BOC ∠=︒，
∴100AOC AOB BOC ∠=∠+∠=︒．
∵OD 平分AOC ∠， ∴12AOD AOC ∠=
∠．（角平分线定义） ∴50AOD ．
∴10BOD AOD AOB ∠=∠-∠=︒．
故答案为:BOC ，100，
12
，角平分线定义，AOB ，10． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义和角的运算．要会结合图形找到其中的等量关系是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）垂线段最短；1.6；3.2；见解析
【分析】
(1)根据两点之间线段最短，连接即可，
(2)两条直线的交点就是加油站的位置，
(3)依据点到直线的所有线段中，垂线段最短，和比例尺的意义可得．
【详解】
解：（1）如图所示．根据两点之间线段最短，连接AC ，
（2）如图所示．连接直线BC,直线BC 与公路l 的交点，即为加油站D ，
（3）如图所示．
作图依据：垂线段最短．
过点C 作CE ⊥l,交点为E,
测量CE ， 1.6cm CE ≈．
∵示意图与实际距离的比例尺是1∶200000
∴CE ：实际距离=1：200000
实际距离=200000×
1.6=320000cm=3.2km 在实际中村庄C 到公路l 的最短线路为3.2km ．
【点睛】
本题考查了两条直线的交点，垂线段最短，以及过直线外一点作已知直线的垂线，以及比例尺，解题的关键是掌握两点之间线段最短，以及垂线段最短．
25．6位客人，46两银子
【分析】
设有x 位客人，根据不同的分法，银子数量相等列出方程求出结果．
【详解】
解：设有x 位客人，
根据题意，得：7498x x +=-，
解得：6x =，
7442446x +=+=，
答：有6位客人，46两银子．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列出方程求解．
26．作图见解析，AD 的长为4或1
【分析】
根据题意，分两种情况：
(1)当点C 在线段AB 上时；
(2)当点C 在线段AB 的延长线上时；画出图形并求线段AD 的长是多少即可．
【详解】
解：（1）当点C 在线段AB 的延长线上时，
∵5AB =，3BC =，
∴538AC AB BC =+=+=．
∵点D 为线段AC 的中点， ∴142
AD AC ==． （2）当点C 在线段AB 上时，
∵5AB =，3BC =，
∴532AC AB BC =-=-=．
∵点D 为线段AC 的中点， ∴112
AD AC ==． 综上所述，线段AD 的长为4或1.
【点睛】
此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握． 27．（1）①5；②见解析；（2）见解析；4；（3）①c-a ；②B 点，理由见解析
【分析】
（1）①由相反数的定义，即可得到答案；②取线段AB 的中点，即可得到原点的位置； （2）由AB 的距离和数轴上的点，先求出单位长度，确定原点的位置，即可得到答案； （3）①由数轴上两点之间的距离公式，即可得到答案；②由题意1BC =，得到
7AD d a =-=，结合210d a -=，即可求出答案．
【详解】
解：（1）①∵点A 和点B 表示的数互为相反数，
∴点B 表示的数为5；
故答案为：5．
②如图1所示．点O 为线段AB 的中点，即为原点．
（2）∵20(8)28AB =--=，
∴每一个小格代表的距离为：2874÷=，
∴原点O 的位置如图2所示．
∴点C 所表示的数是4；
（3）①AC c a =-．
②如图3，
∵数轴上每相邻两点相距一个单位，
∴7AD d a =-=．
∵210d a -=，
∴3a =-．
∴0b =．
即数轴上的原点是B 点．
【点睛】
本题考查了数轴的定义，数轴上两点之间的距离，以及数轴上表示的数，解题的关键是掌握数轴的相关知识，从而进行解题．
28．【初步探究】（1）17，64-；（2）C ；【深入思考】（1）4
15⎛⎫- ⎪⎝⎭，72；（2）21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）4m n a +-
【分析】
初步探究：（1）根据新定义的运算法则进行计算，即可得到答案； （2）根据新定义的运算法则进行判断，即可得到答案；
深入思考：（1）由题目中的运算法则转换成幂的形式，即可得到答案； （2）把幂的形式转换为一般形式即可；
（3）先把代数式进行化简，然后写成幂的形式即可．
【详解】
解：【初步探究】
（1）177777
=÷÷=③； 111111()()()()()44444464⎛⎫-=-÷-÷-÷-÷-= ⎪⎭
-⎝⑤； 故答案为：17
；64-； （2）由题意：
A 、任何非零数的圈2次方都等于1；正确；
B 、对于任何大于等于2的整数c ，
；正确； C 、7188888888888=÷÷÷÷÷÷÷÷=
⑨， 619999999999=÷÷÷÷÷÷÷=
⑧， ∴89≠⑨⑧，则C 错误；
D 、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；正确； 故选：C ．
【深入思考】
（1）4111111(5)
(5)()()()()()()555555-=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=-⑥； 71122222222222⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
⑨； 故答案为：4
1()5-；72；
（2）由（1）可知，根据乘方的运算法则，则
答案第15页，总15页 将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为：
21n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭； 故答案为：21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；
（3）
=224m n m n a a a --+-•=； 故答案为：4m n a +-．
【点睛】
本题考查了新定义的运算法则，幂的乘方，有理数的乘法和除法运算，解题的关键是熟练掌握新定义的运算法则、乘方的运算法则进行解题．。