二次函数与几何的动点及最值、存在性问题(解析版)-2024中考数学

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题
目录
题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题
题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题
题型03已知点关于直线对称点问题
题型04特殊角度存在性问题
题型05将军饮马模型解决存在性问题
题型06二次函数中面积存在性问题
题型07二次函数中等腰三角形存在性问题
题型08二次函数中直角三角形存在性问题
题型09二次函数中全等三角形存在性问题
题型10二次函数中相似三角形存在性问题
题型11二次函数中平行四边形存在性问题
题型12二次函数中矩形存在性问题
题型13二次函数中菱形存在性问题
题型14二次函数中正方形存在性问题
二次函数常见存在性问题：
(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.
【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.
(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.
(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.
(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.
(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合
(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：
①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;
②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.
(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.
(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.
问题
分情况
找点
画图
解法
等腰三角形
已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形
以AB
为腰
分别以点A ，B 为圆
心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求
分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标
以AB 为底
作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求
分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标
问题分情况找点
画图解法
直角三角形
已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形
以AB
为直角边
分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求
分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标
以AB 为斜边
以AB 的中点Q 为圆
心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求
注：其他常见解题思路有：
①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；
②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．
(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.
情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：
解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：
①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；
②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；
③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．
情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．
3.二次函数与四边形的综合问题
特殊四边形的探究问题解题步骤如下：
①先假设结论成立；
②设出点坐标，求边长；
③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：
a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．
b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．
c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．
d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题
1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．
(1)求此函数的关系式；
(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．
(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3
(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值
9
4
(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12
(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-7
2
或0,-1 或0,-3
【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；
(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；
(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,
∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0
，解得b =2
c =-3 ．
故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；
(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，
将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1
t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，
设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，
∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +9
4
，
∵-1<0，
∴当n =-32时，MN 有最大值，为9
4，
把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-15
4
，
当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值9
4
；
(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，
∴KL 必过-1,0 ，
∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4
②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，
代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，
综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，
由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，
∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，
设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，
解得：m =-7
2
，
②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，
解得：m =3
2
，
③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，
解得：m =-1或-3，
∴点E 的坐标为0,32 或0,-7
2
或0,-1 或0,-3 ．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．
2(2023·河南南阳·统考一模)如图，
抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，
作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-25
4
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；
(3)求当线段CP =CE 时m 的值；
(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y =14x 2+3
2
x -4
(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-1
2
x -4
(3)-4
(4)存在，m =2-25或m =-4
【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；
(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+3
2
m -4 ，则
E m ，-12m -4 ，可得
F m ，18m 2+1
2
m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；
(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +1
4
m 2
-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．
【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-25
4
∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-25
4，
把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =1
4
，
∴y =14x +3 2-254=14x 2+32
x -4，
∴该抛物线的解析式为y =14x 2+3
2
x -4．
(2)解：令y =0，得14x 2+3
2
x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，
∴A -8，0 ，B 2，0 ，，
设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0
b =-4 ，解得：
k =-1
2b =-4 ，
∴直线AC 的解析式为y =-1
2
x -4．
(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，
∵CP =CE ，
∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，
设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-1
2m -4 ，
∴F m ，18m 2+1
2
m -4 ，
∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，
∴CF ∥x 轴，∴18m 2+1
2m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．
(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：
如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，
设P m,1
4
m2+3
2
m-4
，
由B2，0
，C0，-4
，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，
根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,1
4
m2+3
2
m-4
代入得：
1 4m2+3
2
m-4=2m+c，
∴c=1
4m2-1
2
m-4，
∴直线PF解析式为y=2x+1
4m2-1
2
m-4，
令x=0得y=1
4
m2-1
2
m-4，
∴F0,1
4m2-1
2
m-4
，
∴OF=1
4m2-1
2
m-4
，
∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，
∴CH=OD，
∵CE=DF，
∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL
，
∴∠HCE=∠FDO，
∵∠HCE=∠CAO，
∴∠FDO=∠CAO，
∴tan∠FDO=tan∠CAO，
∴OF OD =OC
OA，即
1
4
m2-1
2
m-4
-m
=4
8
=1
2，
∴1 4m2-1
2
m-4=-1
2
m或1
4
m2-1
2
m-4=1
2
m，
解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，
∵P在第三象限，
∴m=2-25或m=-4．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0
，与y轴交于点C0,3
，点P 为抛物线上的动点．
(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；
(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3
(2)PH 取得最大值为
9
4
(3)存在，2-2或2+2
【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；
(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +
3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为9
4
；
(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1
，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n
2+1 -n =2，
由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，
∴-9+3b +c =0c =3
，解得：
b =2
c =3 ，
∴b =2，c =3；
(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，
∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，
设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：
k =-1
n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，
∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，
∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -3
2
2
+
9
4
，∴当m =32时，PH 取得最大值为94
(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2
+2
如图，设PN 与AC 交于点G ，
∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，
∴y =x +(n -1)
联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得
x =-n 2
+2
y =n 2
+1
∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2
+1 -n =2∴-(-n +3)2
+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．
【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．
题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题
1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14
x 2
+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =
14
x 2
．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；
(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 2
2
+y 1-y 2 2．
【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9
【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；
(2)设P x 0,x 2
04
为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；
(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．
【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，
由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =1
4x 2，
整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =1
4
x 2，
可得方程组3+12a =014
a 2+3a -2+
b =0
，解得a =-6
b =11 ；
∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，
设P x 0,x 2
04
为抛物线G 2上的一点，
则点P 到直线l 的距离为x 2
04+t ，点P 到点T 距离为
(x 0-0)2
+x 20
4
-t
2，
联立可得：x 20
4
+t =(x 0-0)2
+x 2
04
-t
2
，
两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 2
0t =0
解得：t =1；
(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，
作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，
此时QM +MH =QM +MA ，
当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；
【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．
2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，
已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．
(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)
(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？
(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．
【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2
(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置
(3)①m ≤-52或m ≥3
2
；②d 取得最小值为2
【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；
(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；
(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；
②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，
(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，
抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；
∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，
∴M 的纵坐标最大值为3，
∴点N 是点M 的最高位置；
(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，
得x 2+2mx -x -2m +4=0，
∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，
∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，
=4m 2+4m -15≥0，
∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32
，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，
由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，
∴x
1+x 2=-2m +1，
当m =-3时，如图所示，y A =0，
当-3≤m ≤-52
时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，
∵-2<0，
∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32
-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，
B 两点(A 在B 的左边)，
C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．
(1)直接写出A ，B 两点的坐标；
(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；
(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求
FP OP 的值(用含m 的式子表示)．
【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)
(2)0或3-41或3+41
(3)13
m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；
(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；
(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，
可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =
-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13
b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，
解得：x =3或-1，
∴A (-1,0)，B (3,0)；
(2)∵OP =OA =1，
∴P (0,1)，
∴直线AC 的解析式为y =x +1．
①若点D 在AC 的下方时，
过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．
∵B (3,0)，BD 1∥AC ，
∴直线BD 1的解析式为y =x -3，
由y =x -3y =x 2-2x -3
，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，
∴D 1的横坐标为0．
②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，
过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．
直线l 的解析式为y =x +5，
由y =x +5y =x 2-2x -3 ，
可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412
，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412
，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412
．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，
由y =kx +b y =x 2-2x -3
，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，
∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b
∵x A =-1，
∴x C =3+b ，
∴m =3+b ，
∵x B =3，
∴x E =-1-
b 3，∴n =-1-b 3
，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q
∴q =-mn -3，
∴q =-(3+b )-1-
b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP
=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
题型03已知点关于直线对称点问题
1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，
在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．
(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y =-x 2-2x +3；
(2)S △MCD 最大=98
；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．
【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；
(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；
(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可
推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．
【详解】(1)解：由题意得，
y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；
(2)解：如图1，
作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，
∵OA =OC =3，∠AOC =90°，
∴∠CAO =∠ACO =45°，
∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，
抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，
∴y =x +3=-1+3=2，
∴D (1,2)，
∵C (0,3)，
∴CD =2，
故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，
设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，
当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，
由x +m =-x 2-2x +3得，
x 2+3x +(m -3)=0，
由△=0得，
32-4(m -3)=0得，
m -3=94，
∴x 2+3x +94=0，
∴x 1=x 2=-32，
∴y =--3
2 2-2×-32 +3=154
，
y =x +3=-32
+3=32
，
∴ME =154-32=94，
∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，
∴S △MCD 最大=12×2×928=98；
(3)解：如图2，
当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，
∵点B 和点Q 关于CQ 对称，
∴CP =CB ，
设P (t ，t +3)，
由CP 2=CB 2得，2t 2=10，
∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，
∴P -5，3-5 ，
∵PQ ∥BC ，
∴CR =BR =1，
∴CR =QR ，
∴四边形BCPQ 是平行四边形，
∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，
∴Q 1-5，-5 ；
如图3，
当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，
同理可得：Q 1+5，5 ，
综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形
的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，
0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．
(1)求b ，c 的值；
(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；
(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)b =-2,c =-3.
(2)y =x +1
(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21
【分析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；
(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．
【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.
∴b =-2,c =-3.
(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．
令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．
∴B 点的坐标为3，0 ．
∵S △PBC =S △ABC ，
∴AP ∥BC ．
∵B 3，0
，C 0，-3 ，
∵AP∥BC，
∴可设直线AP的解析式为y=x+m．
∵A(-1，0)在直线AP上，
∴0=-1+m．
∴m=1．
∴直线AP的解析式为y=x+1．
(3)设P点坐标为m，n
．
∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，
∴n=m+1，n=m2-2m-3．
∴m+1=m2-2m-3．
解得m1=4，m2=-1(舍去)．
∴点P的坐标为4，5
．
由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．
∵AP∥BC，
∴∠PAE=∠AEP '．
∴∠PAE=∠PEA．
∴PE=PA=4+1
2=52．
2+5-0
设点E的坐标为t，t-3
，则PE2=t-4
2．
2+t-3-5
2=52
∴t=6±21．
当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21
．
设P (s,s-3),
由P E=AP，P E=PE=52得：
s-6-21
2，
2=52
2+s-3-3-21
解得：s=1+21，
则点P 的坐标为1+21,-2+21
．
当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21
．
综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21
．
或1-21,-2-21
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．
3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0
．
(1)求m 的值及AC 的长；
(2)求EF 的长；
(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．
【答案】(1)m =6，AC =6+6
(2)52
(3)2542，Q -234,-12
【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；
(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；
(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252
的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．
【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m
解得m =6
∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6
∴A 0,6
根据对称性可得
B -6,0 ，
C 0,-6
∴AC =AO +OC =6+6
(2)联立y =-x y =-x 2+6
解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3
∴EF =
-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2
-6 2+-m 2+6--m 2
整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -1
2 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254
∴PQ 的最大值为
2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题
1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34
x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．
(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；
(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；
(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253
【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34
x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；
(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12
⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求
出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35
x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．
【详解】(1)解：对于抛物线y =1
8x 2+34
x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，
令18x 2+34
x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，
设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0
b =-2 ，
解得k =-1
4b =-2 ，
∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；
(2)设点P 的横坐标为m ，
则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，
PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18
m 2-m ，
当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-1
8×(-4)2--4 =2，
此时，P -4,-3 ，
由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，
设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-1
4x -2
y =x +1 ，解得x =-125
y =-75
，
∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，
∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．
(3)存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，
当点Q 在x 轴上方时，如下图：
设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，
则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，
当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，
由点A ，H 的坐标得，AH =5174，
在△AQH 中，∠
CAQ =45°，tan ∠QHA =4，
设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，
则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，
则QH =17x =174，则174-54=3，
则点Q -3,3 ；
当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，
当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，
则直线AQ 的表达式为y =-53
x +8 ，
当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。