高中数学人教版必修5 2.2基本不等式(共27张PPT)

提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
引入新课 提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个 不等式 a 2 b2 2ab ，什么时候这两部 分面积相等呢？
D GF C A HE
B
讲授新课
一般地，对于任意实数a、b，我们有 a 2 b2 2ab ，当且仅当a＝b时，等号 成立.
课堂小结
(1)函数的解析式中，各项均为正数； (2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值； (3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.
即用均值不等式求某些函数的最值时， 应具备三个条件：一正二定三取等.
称 ab 为正数a, b的几何平均数.
a2 b2 2ab和 a b ab成立的条 2
件是不同的.
讲授新课
提问5：观察右图，你能得到不等式
ab a b (a 0, b 0)
2
D
的几何解释吗？
A
C
E
讲授新课
ab a b 2
我们常把a b 叫做正数a, b的算术平 2
讲授新课
基本不等式：
(1) 如果a, b R,那么a2 b2 2ab(当且仅 当a b时取“”号) ; (2) 如果a, b是正数,那么 a b ab(当且
2 仅当a b时取“”号) ;
前者只要求a, b都是实数，而后者要 求a, b都是正数.
讲授新课
2. 我们称 a b 为正数a, b的算术平均数， 2
2.2基本不等式：
ab a b 2
引入新课 提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
D GF C A HE
B
引入新课
提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
2
变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和 此时a、b的值.
讲授新课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)
的最值和此时a、b的值.
(2) a, b是正数, a2 2b2 2, a (1 2b2 )
的最值是
.
讲授新课
例3. 已知a、b R , a b 1, y 1 1 ， ab
abc
课堂小结
课堂小结
比较两个重要不等式的联系和区别： a2 b2 2ab ; a b ab(a 0, b 0) .
2
课堂小结
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最 大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为 定值，则ab≤
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最 小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定 值，则a＋b≥2
求y的最小值．
讲授新课
练习.
(1)已知a、b R ,且a 2b 1, y 1 1 ，
求y的最小值．
ab
(2)已知a、b、c R ,且a b c 1, 求证 : 1 1 1 9.
abc
(3)已知a、b、c R ,且a b c 1, 求证 : ( 1 1)( 1 1)( 1 1) 8.
2sin x
(3)已知2a b 2,求f ( x) 4a 2b的最值及 此时的a和b.
讲授新课
例1. a, b 是正数且a b 4，求ab的最值.
讲授新课
例1. a, b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值.
提问4：你能给出它的证明吗？
讲授新课
注意：
a 2 b2 2ab
(1) 当且仅当a b, a2 b2 2ab ;
(2) 特别地,如果 a 0, b 0,用 a和 b代替 a、b, 可得a b 2 ab,也可写成 ab a b
2 (a 0, b 0).
求证：bc ac ab a b c. abc
讲授新课
例2.
讲授新课
例4.
讲授新课
例5.
讲授新课
例5.
(1) f ( x) 2 3x 4 最 __大_ 值是 _2___4___3( x 0).
x
(2)sin x 1 最 __大_ 值是 ____2_( x 0).
均数，把 ab 做正数a, b的几何平均数.
讲授新课
例1. 已知a, b, c为两两不相等的实数，
求证：a2 b2 c2 ab bc ca .
讲授新课
例1. 已知a, b, c为两两不相等的实数，
求证：a2 b2 c2 ab bc ca .
练习. 已知a 0, b 0, c 0,
讲授新课
例1. a, b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a, b 是正数且a b 4， b 是正数且a b 4，求ab的最值.
变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a, b 是正数且a b 4，求 ab 的最值.