工程硕士(GCT)数学模拟试卷105(题后含答案及解析)

工程硕士（GCT）数学模拟试卷105(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题
选择题（25题，每小题4分，共100分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：
2．实数a，b满足a>b>0，集合A={0，a，b}，B={x|x=uv，u，v∈A}，则集合B的子集共有( )个。

A．2
B．4
C．8
D．16
正确答案：D
解析：由题意，知B={0，ab，a2，b2}．所以集合B的子集个数为24=16．故选D.
3．两个码头相距198 km，如果一艘客轮顺流而下行完全程需要6 h，逆流而上行完全程需要9 h，那么该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别是( )km／h。

A．27．5和5．5
B．27．5和11
C．26．4和5．5
D．26．4和11
正确答案：A
解析：两个码头相距198 km，客轮顺流而行要6 h，逆流而行需要9 h，因此顺流速度为(km／h)，逆流速度为(km／h)．顺流速度是客轮的航速加上水流速度，逆流速度是客轮的航速减去水流速度，因此航速为(km／h)，水流速度为33—27．5=5．5(km／h)．故选A．
4．要使方程3x2+(m－5)x+m2－m-2=0的两个实根分别满足0 从而得m2－m－2>0；m2－40．故选A．
5．设p为质数，方程x2－px－580p=0的两根均为整数，则p属于范围是( )。

A．(0，10)
B．(10，20)
C．(20，30)
D．(30，40)
正确答案：C
解析：根据题意，有因为方程的根为整数，所以△=p2+4×1×580p=p(p+4×4×5×29)为完全平方式．又因为p为质数，所以p=29．故选C．
6．若复数z满足z1=1+2i，则|z1－z|的最大值是( )。

A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：由已知可得(z+1)([*]+1)≤1，即|z+1|2≤1，即|z+1|≤1，那么z在复平面上的对应点就在以(－1，0)为圆心，以1为半径的圆内(包括圆周)，而|z1－z|表示点z1(1，2)到上述圆内一点的距离，显然其最大值应为[*]故选A.
7．设圆柱体的底半径和高之比为：1：2，若体积增大到原来的8倍，底半径和高的比值仍为1：2，则底半径增大到原来的( )。

A．4倍
B．3倍
C．2．5倍
D．2倍
正确答案：D
解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则h=2r，体积V=πr2h=2πr3．由题意，有8V=2πr13，即16πr3=2πr13，即r1=2r．故底面的半径增大到原来的2倍．故选
D．
8．设f(x)=利用推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)+f(－
4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为( )。

A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：
9．平面内有4个红点、6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任何三点不共线，过这10个点中任意两点确定的直线中，过红点的直线有( )条。

A．27
B．28
C．29
D．30
正确答案：C
解析：平面内任两点均可连成一线，故直线按照题意进行，可进行分类考虑．1)只取一个红点和一个蓝点连线，共有条．2)取两个红点连成的直线，共有条，共计有29条．故选
C．
10．在共有10个座位的小会议室随机地坐上6个与会者，那么指定的4个座位被坐满的概率为( )。

A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：10个座位中座6个人，有种做法，指定的4个座位被坐满有种可能．11．直线ax－by=0与圆x2+y2－ax+by=0(a，b≠1)的位置关系是( )。

A．相交
B．相切
C．相离
D．由a，b的值而定
正确答案：B
解析：由圆x2+y2－ax+by=0(a，b≠0)，所以直线与圆相切．故选B．
12．如图1所示，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则ACEF的面积为( )。

A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：因为AB=10，AD=6，所以DB=4．那么对于第三个图形而言有：AB=2．又△ABF∽△ADE，所以根据相似三角形的比例关系有：即BF=2，FC=4．所以S△CEF=×4×4=8．故选
C．
13．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：该方程的曲线为双曲线，所以(m－1)(m+1)>0，得m>1或m1时，a2=m －1，b2=m+1，所以c2=a2+b2=2m．同理，当m
14．在区间[0．+∞)内，方程+sinx－1=0( )．
A．无实根
B．有且仅有一个实根
C．有且仅有两个实根
D．有无穷多个实根
正确答案：B
解析：设当x≥1时，f(x)>0，所以只需讨论在[0，1]上的情形．f(0)=－10，f(x)在[0，1]上连续，由零点存在定理，f(x)=0在(0，1)内至少有一个实
根．又当x∈(0，1)时，说明f(x)在(0，1)内是单调增加的．因此f(x)=0在(0，1)内只有唯一的实根，从而在[0，+∞)内只有一个实根．故选B．
15．函数f(x)在[a．b]内有定义，其导数f(x)的图形如图2所示，则( )．A．(x1，f(y1))，(x2，f(x2))都是极值点
B．(x1，f(x1))，(x2，f(x2))都是拐点
C．(x1，f(x1))是极值点，(x2，f(x2))是拐点
D．(x1，f(x1))是拐点，(x2，f(x2))是极值点
正确答案：B
解析：在x1处，f’(x)由单调递减变为单调递增，因此曲线f(x)由凸变凹，于是(x1，f(x1))是曲线的拐点；在x2处，f’(x2)的符号由负变为正，因此x2是f(x)的极小值点．故选D.
16．
A．0
B．1
C．2
D．3
正确答案：A
解析：先求两条曲线交点的横坐标，又因曲线所围成的图形关于)，轴对称，所以
17．
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：
18．
A．0
B．1
C．2
D．3
正确答案：B
解析：注意到F’(0)=1>0，因此，F’(x)>0，从而有F(x)在(－∞，+∞)严格单调递增，由此，F(x)=O最多有一实根．综上所述，F(x)=0在(－∞，+∞)上有且仅有一个实根，故选
B．注意：讨论F(x)=0的根的个数时，一般从下面两方面考虑：(1)F(x)在什么区间上满足零点存在定理，(2)F(x)在该区间上的单调性．
19．设f(x)在[0，2]上连续，并且对任意的x∈[0，1]都有f(1－x)=－f(1+x)，则
A．1
B．0
C．－1
D．以上都不正确
正确答案：B
解析：又因为f(1－sin(－t))=f(1+sint)=－f(1－sint)，上式最后一步利用了题设条件f(1－x)=－f(1+x)．所以f(1－sint)是奇函数，奇函数在对称区间上的积分为零，即故选
B．
20．设则( )。

A．曲线f(x)，g(x)均有垂直渐近线
B．曲线f(x)，g(x)均无垂直渐近线
C．曲线f(x)有垂直渐近线，曲线g(x)无垂直渐近线
D．曲线f(x)无垂直渐近线，曲线g(x)有垂直渐近线
正确答案：C
解析：
21．
A．AB=BA
B．AB=BTAT
C．|BA|=一8
D．|AB|=0
正确答案：D
解析：故选
D．
22．A为m×n矩阵，且m<n，Ax=0是Ax=b的导出组，则下述正确的是( )。

A．Ax=b必有无穷多解
B．Ax=0必有无穷多解
C．Ax=0只有零解
D．Ax=b必无解
正确答案：B
解析：由m＜n可得Ax=0中方程个数小于未知量个数(即r(A)r(A)=r(A|b)，此题中没有提供r(A)与r(A|b)是否相等的信息，因此，无法判断Ax=b解的情况．故选
B．
23．a=2是向量组α1=(1，1，－1，1)T，α2=(1，0，a，0)T，α3=(1，2，2，a)T线性无关的( )。

A．充分但非必要条件
B．必要但非充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
正确答案：A
解析：当a=2或a=－4时，r(α1，α2，α3)=3．因此，a=2是向量组线性无关的充分但非必要条件．故选A．
24．已知向量α=(－1，l，k)T是矩阵的逆矩阵A－1的特征向量，则k=( )。

A．－2
B．－1
C．0
D．1
正确答案：D
解析：
25．已知三阶矩阵三维向量β=(a，1，1)T，且线性方程组AX=β有两个不同的解，则a=( )。

A．1
B．－1
C．2
D．－2
正确答案：D
解析：非齐次线性方程组AX=β有两个不同的解，即它有无穷多解．此时线性方程组AX=β有无穷多解．故选
D．。