高中数学椭圆大题之向量综合
高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
高二数学椭圆试题答案及解析
高二数学椭圆试题答案及解析1.已知椭圆的中心在原点、焦点在轴上，抛物线的顶点在原点、焦点在轴上．小明从曲线、上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标（．由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上，小明的记录如下：据此，可推断抛物线的方程为_____________．【答案】【解析】：由题意可知：点是椭圆的短轴的一个端点，或点是椭圆的长轴的一个端点．以下分两种情况讨论：①假设点是椭圆的短轴的一个端点，则可以写成经验证可得：若点在上，代入求得，即，剩下的4个点中也在此椭圆上．假设抛物线的方程为，把点代入求得p=2，∴，则只剩下一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上满足条件．假设抛物线的方程为y2=-2px，经验证不符合题意．②假设点是椭圆的长轴的一个端点，则可以写成，经验证不满足条件，应舍去．综上可知：可推断椭圆的方程为．【考点】椭圆、抛物线的标准方程及其性质和分类讨论的思想方法是解题的关键．2.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点，且？若存在，求出直线的方程;若不存在,请说明理由．【答案】（1）（2）不存在【解析】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．试题解析：（I）依题意可设椭圆方程为，则右焦点，由题设：，解得：，故所求椭圆的方程为．（II）设存在直线符合题意，直线方程为，代入椭圆方程得：，设，为弦的中点，则由韦达定理得：，，因为不符合，所以不存在直线符合题意．【考点】(1)椭圆的方程；（2）直线与椭圆的综合问题．3.椭圆的焦距是（）A．3B．6C．8D．10【答案】B【解析】由椭圆的方程知，∵a2=25，b2=16，∴c=∴的焦距2c=6．故选B．【考点】椭圆的性质．4.已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.【答案】(1)；（2）.【解析】(1)利用题干中的两个条件，和椭圆本身的性质，得然后求解，代入即可；（2）由题干“过点的直线与椭圆交于不同的两点”．设直线的方程为，由得，设，的坐标分别为，，然后利用根与系数的关系，代换出，注意：k的范围.试题解析：（1）由题意得解得，．椭圆的方程为．（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由得. 直线与椭圆交于不同的两点，，，解得.设，的坐标分别为，，则，，，．的范围为．【考点】椭圆定义，转化与化归思想，舍而不求思想的运用.5.已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为和，且||=2，离心率. （1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于A，B两点，若的面积为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1）椭圆C的方程是 4分（2）当直线轴时，可得的面积为3，不合题意。
(完整版)椭圆大题中的向量问题—基础篇
椭圆中的向量问题一、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系&角度判断、椭圆内的平行四边形问题．1．向量的数量积问题记点(),0P t 是x 轴上的一点，()()1122,,A x y B x y 、是直线l ：y kx m =+（l 不经过椭圆的顶点）和椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个交点，则PA PB ⋅u u u r u u u r 计算过程可分为以下三步：I ．写出向量的坐标（末-初），并将PA PB ⋅u u u r u u u r表示成()1212,f x x x x +的形式 ()()()()11221122,,,,PA PB x t y x t y x t kx m x t kx m ⋅=-⋅-=-+⋅-+u u u r u u u r()()()()22212121k x x km t x x m t =++-+++······① II ．联立直线l 和椭圆，得出()121,x x f k m =，()122,x x f k m +=；联立222222y kx mb x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，得()()2222222220a k b x kma x a m b +++-=， 则2122222kma x x a k b +=-+，()22212222a m b x x a k b -=+，III ．将12x x +，12x x 代入①式中，得到(),PA PB g k m ⋅=u u u r u u u r ，将PA PB ⋅u u u r u u u r转化为含,k m 的式子∴PA PB ⋅u u u r u u u r ()()()()222222222222221a m b kma k km t m t a k b a k b-=+--⋅++++其中I 、II 两步可以互换顺序基础练习：请按照以下条件作答1．已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0与椭圆2212x y +=交于A B 、两点，（1）若点O 为原点，请写出OA OB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式； （2）已知点()2,0P ，请写出PA PB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；2．若斜率为k 的直线l 经过点()0,2与椭圆22132x y +=交于A B 、两点（注意0∆>）， （1）若点O 为原点，请写出OA OB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式； （2）若点()1,0P ，请写出PA PB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式； （3）若点()2,0P ，请写出PA PB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；1.1 求向量数量积的问题（给出点P 的坐标）例1：已知椭圆C ：22143x y +=，直线l 经过C 的右焦点F 与椭圆交于A B 、两点，点()3,0P ． （1）写出PA PB ⋅u u u r u u u r 关于直线l 的斜率k 的关系式；（2271543k PA PB k +⋅=+u u u r u u u r ）（2）若227PA PB ⋅=u u u r u u u r ，求直线l 的方程；（1y x =±-）（3）若2OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，求PA PB ⋅u u u r u u u r 的值；（22k =，2911PA PB ⋅=u u u r u u u r ）（4）求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围；（7,54PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r ）（5）若247AP PB +u u u r u u u r ≤，求PA PB ⋅u u u r u u u r 的取值范围；（21k ≥，522,47PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r ）（6）记D E 、分别为椭圆C 的左右顶点，①．若907AD EB AE DB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，求直线l 的方程；（1y x =±-）②．求AD EB AE DB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的取值范围．（21,162AD EB AE DB ⎡⎤⋅+⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r ）练习1.11．已知椭圆2214x y +=的离心率e =，若直线l ：y kx =+点A B 、且2OA OB ⋅>u u u r u u u r，求k 的取值范围．2．已知椭圆22132x y +=的左焦点为F ，设A B 、分别为椭圆的左右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C D 、两点.，若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r，求k 的值．1.2 动点分析问题（直线l 过椭圆顶点的问题）以l 经过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左顶点(),0A a -为例．设l ：()y k x a =+且l 过点A 与椭圆交于点()22,B x y ，联立()222222y k x a b x a y a b ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，得()222224422220a k b x k a x a k a b +++-=， ∴4222122222a k a b x x ax a k b -=-=+，得2322222ab a k x a k b -=+，222222ab k y a k b =+，即点23222222222,ab a k ab k B a k b a k b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 动点分析问题的过程如下： I ．分析问题中涉及的动点；II ．按难易程度，通过联立的方法用直线斜率k 表示出问题中所涉及的动点坐标； III ．按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线斜率k 表示出来； IV ．将向量的数量积运用含k 的式子表示出来．例2：如图，椭圆E ：2214x y +=，记A B 、为椭圆的左右顶点，点C 为椭圆的上顶点，直线l 经过点C 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 相交于点Q ．当点P 异于点B 时．（1）记k 为直线l 的斜率，用k 表示点P D 、的坐标；（2221814,0,4141k k P D k k k ⎛⎫-⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭、） （2）用k 表示出BD l 的斜率；（2142BD k k k +=--） （3）用k 表示出点Q 的坐标；（()4,21Q k k -+）（4）用k 表示出OP u u u r、OQ u u u r 的坐标，并求OP OQ ⋅u u u r u u u r ．（1,0OP k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()4,21OQ k k =-+u u u r ，4OP OQ ⋅=u u u r u u u r）练习1.2：1．已知椭圆C :2212x y +=，若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线l 与椭圆另一个交点为A ，且满足=2BA BF ⋅u u u r u u u r（1）用直线l 的斜率k 表示点A 的坐标；（2）用含k 的式子表示BA u u u r 的坐标，同时表示出BF u u u r的坐标； （3）用含k 的式子表示BA BF ⋅u u u r u u u r，构建方程()2f k =；（4）解出k 的值，写出直线l 的方程.2．已知椭圆2212x y +=若C D 、分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM 交椭圆于点P ，证明：OM OP ⋅u u u u r u u u r为定值．（1）记直线CM l 的斜率为k ，用含k 的式子表示出点M 的坐标； （2）用含k 的式子表示出点P 的坐标；（3）用含k 的式子分别表示出OP u u u r 、OM u u u u r的坐标； （4）证明OM OP ⋅u u u u r u u u r为定值．3．已知椭圆2214x y +=，点()2,0A -，设直线l 过点A 与椭圆交于另一点B ，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=u u u r u u u r ，求0y 的值． （1）设直线l 的斜率为k ，用含k 的式子表示点B 的坐标；（2）用含k 的式子表示出AB 的中点坐标，并写出AB 的中垂线方程； （3）用含k 的式子表示出点Q 的坐标； （4）用含k 的式子分别表示出QA u u u r，QB u u u r ；（5）运用()4QA QB f k ⋅==u u u r u u u r，求直线l 的方程，并求出点Q 的坐标．2．数量积问题的延伸——垂直问题和角度判断问题2.1 直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题．记点(),0P t 是x 轴上的一点，()()1122,,A x y B x y 、是直线l ：y kx m =+和椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个交点，由之前的讨论可知， ()()2222222222222212a b m a b k kmta PA PB t a k b a k b +-+⋅=++++u u u r u u u r ，若PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r．例3：如图，记A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点，12F F 、为椭圆的两焦点，12B B 、分别为12OF OF 、的中点，12AB B △是面积为4的直角三角形．（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）过点1B 作直线l 与椭圆相交于P Q 、两点，若22PB QB ⊥，求直线l 的方程． 练习2.11．已知椭圆C ：2212x y +=，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，若过点2F 的直线l 与椭圆C相交于 P Q 、两点，且11F P F Q ⊥u u u r u u u r，求直线l 的方程．2．已知椭圆G ：2212x y +=，短轴上、下顶点分别为A B 、，若C D 、是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线BC 与x 轴交于点M ，判断以线段MD 为直径的圆是否过点A ，并说明理由．3．如图，已知椭圆22142x y +=，设点P Q 、分别是椭圆和圆O 上位于y 轴两侧的动点，若直线PQ 与x 轴平行，直线AP BP、与y 轴的交点记为M N 、，试证明MQN ∠为直角.2.2 角度问题判断角度为钝角、直角还是锐角，以及点与圆的位置关系①．若90APB ∠<o ，则cos 0APB ∠>，即cos 0PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠>u u u r u u u r u u u r u u u r点P 在以AB 为直径的圆外②．若90APB ∠=o，则cos 0APB ∠=，即cos 0PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠=u u u r u u u r u u u r u u u r点P 在以AB 为直径的圆上③．若90APB ∠>o，则cos 0APB ∠<，即cos 0PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠<u u u r u u u r u u u r u u u r点P 在以AB 为直径的圆内2.2.1 角度判断例4：记12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点，设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于同的两点A B 、，且AOB ∠为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．练习2.2.11．已知点F 是椭圆22143x y +=的右焦点，O 为坐标原点，设过点F ，斜率为k 的直线l 交椭圆于A B 、两点，若222OA OB AB +<，求k 的取值范围．2．设A B 、分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点，设P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：M BP △为钝角三角形．2.2.2 点与圆的位置关系问题例5：已知椭圆E ：22142x y +=，设直线()1,x my m R =-?交椭圆E 于A B 、两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．练习2.2.21．已知椭圆22132x y +=，直线l 经过椭圆右焦点F 与椭圆相交于A B 、两点，试判断点(2,0)M 与以AB 为直径的圆的位置关系．2．已知椭圆C ：2214x y +=，A B 、为C 的左右顶点，直线l 经过点B且l x ⊥轴，点P 是C 上异于A B 、的任意一点，直线AP 交直线l 于点Q ．（1）记12k k 、分别为直线OQ BP 、的斜率，证明12k k ⋅为定值； （2）当点P 运动时，判断点Q 与以BP 为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．3．向量线性运算问题向量的共线问题有很多种出题的模式，在这里我们只讲解最简单的一种模型——椭圆内的平行四边形问题．记点()()1122,,A x y B x y 、是直线l ：y kx m =+与椭圆()222210x y a b a b +=>>的两交点，点()33,P x y 在椭圆上，且四边形OAPB 为平行四边形，如下图．联立22221y kx mb x a y =+⎧⎨+=⎩，得()()2222222221a k b x kma x a m b +++-=， ∴2122222kma x x a k b +=-+，()2122222222b my y k x x m a k b+=++=+， 再由平行四边形的性质可得OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，∴312x x x =+，312y y y =+，则点2222222222,kma b mP a k b a k b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 将点P 代入椭圆中可得()()22442222222222214141k m a b m a b a k b a k b ⋅+⋅=++，即222241m a k b=+，得22224=+m a k b ． 在椭圆方程已知的情况下（1）当直线l 过定点，或直线斜率确定，我们可以求出直线的方程；（2）若直线l 不过定点，也未知直线斜率，我们可以得到,k m 的关系，结合0∆>，我们可以求出OP 、AB 、点O 到直线l 的距离d ，AOB △或平行四边形OAPB 的面积等几何量的取值范围．（3）若点P 在以OA OB 、为邻边的平行四边形的对角线上，则OP OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r，可以得出()3121x x x λ=+，()3121y y y λ=+，进而得到222224=+m a k b λ，这也是一个很有用的结论．例6：已知椭圆C ：22132x y +=，直线l 经过点()0,1P 交椭圆于A B 、两点，以OB OA 、为邻边做平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆上，O 为坐标原点． （1）验证当直线l 斜率k 不存在时，是否存在这样的点P ； （2）记直线l 的斜率为k ，用含k 的式子表示12x x +，12y y +； （3）由OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，将点P 的坐标用含k 的式子表示；（4）将点P 代入椭圆方程，得到方程()1f k =； （5）解方程，求出直线方程． 练习3：1．已知椭圆C ：22132x y +=，点F 为椭圆的右焦点，则椭圆上是否存在点P ，使得当l 绕点F 转动到某一位置时，四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标和直线方程；反之，请说明理由．2．已知椭圆C ：2212x y +=，直线l 过点()2,0M 与椭圆相交于A B 、两点，P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r，当PA PB -<u u u r u u u r t 的取值范围．3．如图，已知椭圆E ：2214x y +=，斜率为k 的直线l 经过椭圆的左焦点F 与椭圆交于A B、两点，直线'l ：40x ky +=与椭圆E 交于C D 、两点，点M 是线段AB 的中点． （1）证明：点M 在直线'l 上；（运用点差法即可证明） （2）已知3BDM ACM S S ∆∆=； （i ）证明：3DM CM =；（ii ）证明四边形OACB 是平行四边形； （iii ）求直线l 的方程．。
2020高考数学最后十天压轴题 专题3.2 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题(解析版)
典例 1
【山东省济南市
2018
届高三上学期期末考试】已知点 P 2,1 在椭圆 C :
x2 a2
y2 2
1a
0 上，
动点 A, B 都在椭圆上，且直线 AB 不经过原点 O ，直线 OP 经过弦 AB 的中点. （1）求椭圆 C 的方程和直线 AB 的斜率； （2）求 PAB 面积的最大值.
【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量 积为 0 处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理． 【 举 一 反 三 】【 山 东 省 恒 台 第 一 中 学 2019 届 高 三 上 学 期 诊 断 性 考 试 】 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 椭 圆
专题三 压轴解答题
第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题
【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及 与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个 问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值 问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据 具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何 与其他数学知识的密切联系．
【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点
问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜
率；二是利用韦达定理，舍尔不求．
【举一反三】（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆 :
高二数学椭圆试题
高二数学椭圆试题1.已知椭圆过和点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）由已知将已知两点的坐标代入椭圆Ｇ的方程中，可得到关于的方程组，解此方程组就可求得的值，进而就可写出椭圆Ｇ的方程．（２）首先注意到由题意可得到直线的斜率存在，且．从而可用斜截式设出直线的方程，代入椭圆Ｇ的方程消元得到一个一元二次方程，则此方程一定有两个不同的解，所以，可得到的取值范围；再由，得到，结合韦达定理可用的代数式表示出线段ＭＮ的中点的坐标，然后由就可求出的值，从而求得直线的方程．试题解析：（1）因为椭圆过点和点．所以，由，得．所以椭圆的方程为 4分（2）显然直线的斜率存在，且．设直线的方程为．由消去并整理得， 5分由， 7分设，，中点为，得， 8分由，知，所以，即．化简得，满足．所以 12分因此直线的方程为 14分【考点】１．椭圆的的方程；２．直线与椭圆的位置关系．2.已知椭圆的两个焦点分别为，且，点在椭圆上，且的周长为6.（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于不同两点，设线段的中点为，且三点共线．设点到直线的距离为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）本小题中为焦点三角形，其周长为，又，两式组成方程组从而易求出，即可写出椭圆方程；（2）本小题中直线的方程可设为（其中不存在是不可能的），与椭圆方程联立消y,利用韦达定理与中点坐标公式，可得M点坐标（用k,m表示），当三点共线，则有即可解出k的值，又消y后的方程的可得m的范围，而点到直线的距离可用m表示，利用函数观点可求出的取值范围．试题解析：（1）由已知得，且，解得，又，所以椭圆的方程为.（2）当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知：点在轴上，且与原点不重合，显然三点不共线，不符合题设条件．所以可设直线的方程为，由消去并整理得：①则，即，设，且，则点，因为三点共线，则，即，而，所以，此时方程①为，且因为，所以.【考点】椭圆的定义及标准方程，性质，直线与椭圆相交问题，设而不解思想，韦达定理，方程与函数思想，化归思想.3.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆焦点为，又，则，所以，焦点在x轴上，故选C.【考点】椭圆与双曲线的标准方程与几何性质.4.若点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，设，则又因为，所以因为对称轴，而，因此当时，的最大值为.【考点】二次函数最值5.若椭圆上有个不同的点为右焦点，组成公差的等差数列，则的最大值为（）A．199B．200C．99D．100【答案】B【解析】椭圆上的点到右焦点最大距离为：a+c=3，到右焦点最小距离是a-c=1，2=（n-1）d，要使，且n最大，有d=，由此能求出n的最大值．【考点】（1）椭圆的定义；（2）等差数列.6.已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），椭圆的右顶点为，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)；（2）.【解析】(1)本小题通过待定系数法列出两个关于的方程，通过解方程组求出椭圆的方程，包含着二次方的运算需掌握；(2)本小题是直线与椭圆的位置关系的问题，这类题目的常用思路就是联立直线方程和椭圆方程通过消元得到一个一元二次方程，确定判别式的情况，正确书写、利用韦达定理，由，两点(不是左右顶点)，椭圆的右顶点为，且满足，根据向量的数量积为零，可得到关于两个根的等式，再利用韦达定理可得关于的等式，从而就可得出相应的结论.试题解析：（1）即∴椭圆方程为 4分又点在椭圆上，解得∴椭圆的方程为 6分(2)设，由得，8分所以，又椭圆的右顶点，，解得 10分，且满足当时，，直线过定点与已知矛盾 12分当时，，直线过定点综上可知，当时，直线过定点，定点坐标为 14分.【考点】1.直线与椭圆的位置关系；2.韦达定理；3.平面向量的数量积；4.过定点的问题；5.直线与椭圆的综合问题.7.已知点分别是椭圆为：的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】将点代入：，得，∴，∵过点作直线的垂线交直线于点，，设，得，解得，∴．∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴，即，整理，得，解得，故选C．【考点】1、椭圆的几何性质；2、双曲线的性质．8.椭圆的焦距等于（）A．20B．16C．12D．8【答案】B【解析】椭圆中的关系是，，焦距是，题中，所以，所以焦距为16，故选B．【考点】椭圆的几何性质（椭圆的焦距）.9.如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程。
高二数学椭圆试题答案及解析
高二数学椭圆试题答案及解析1.已知椭圆G：过点，，C、D在该椭圆上，直线CD过原点O，且在线段AB的右下侧．（1）求椭圆G的方程；（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．【答案】（1），（2）【解析】（1）求椭圆方程一般方法为待定系数法，将A,B两点坐标代入椭圆方程，联立方程组解得：，（2）四边形可分割成三个三角形，即，其中三角形OAB面积确定，OC=OD，因此可用直线CD斜率表示高及底：设直线CD方程为y = kx，代入椭圆方程得，解得：，，又，，则试题解析：解：（1）将点A（0，5），B（-8，-3）代入椭圆G 的方程解得（2）连结OB，则，其中,分别表示点A，点B 到直线CD 的距离．设直线CD方程为y = kx，代入椭圆方程得，解得：，，又，则．【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系2.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有所以，所以又因为，所以，，所以所以答案选C.【考点】椭圆的简单几何性质.3.双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】由双曲线与椭圆的离心率的定义知，双曲线的离心率和椭圆的离心率分别为、，然后由题意得，即，将其两边平方化简即可得出结论.【考点】双曲线的几何性质；椭圆的几何性质.4.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】双曲线的焦点在轴上，又渐近线方程为，可设，则，由题意知在椭圆中，所以该椭圆的离心率等于。
【考点】（1）椭圆、双曲线离心率的求法；（2）椭圆、双曲线中的三者关系。
5.已知定点A(1,0)，B (2,0) ．动点M满足，（1）求点M的轨迹C；（2）若过点B的直线l（斜率不等于零）与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．【答案】（1）（2）（,1）【解析】（1）先对原函数求导，然后求出斜率，再利用进行整理即可．(2)先设方程为与联立，结合根与系数的关系以及判别式得到再由得，即可（1）由得, ∴．∴直线的斜率为，故的方程为，∴点A的坐标为(1,0)． (2分)设,则(1,0),,，由得，整理，得． (4分)(2)方法一:如图，由题意知的斜率存在且不为零，设方程为①，将①代入，整理，得,设,,则②得(7分)令，则，由此可得，，且．∴由②知，．∴, (10分)∵，∴，解得且 (12分)又∵，∴，∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（,1）． (13分)方法二:如图，由题意知l’的斜率存在且不为零，设l’ 方程为①，将①代入，整理，得,设,,则② ; (7分)令，则，由此可得，，且．∴ (10分)∵, ∴,解得且 (12分)又∵，∴，∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（,1）． (13分)【考点】函数求导；根与系数的关系；斜率公式；不等式的解法．6.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当＜时，求实数取值范围．【答案】（1）；( Ⅱ).【解析】（1）由题意知，所以．由此能求出椭圆C的方程．（2）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0再由根的判别式和嘏达定理进行求解．解：（1）由题意知，所以．即． 2分又因为，所以，．故椭圆的方程为． 4分（2）由题意知直线的斜率存在.设：，，，，由得.，. 6分，.∵，∴，，.∵点在椭圆上，∴，∴. 8分∵＜，∴，∴∴，∴，∴. 10分∴，∵，∴，∴或，∴实数t取值范围为．（12分）【考点】1. 椭圆的方程；2.直线与椭圆的方程.7.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是() A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意可设，其中即，且，所以，从而，所以椭圆的标准方程为，故选D【考点】椭圆的标准方程及其几何意义.8.在椭圆中,左焦点为, 右顶点为, 短轴上方端点为，若,则该椭圆的离心率为___________．【答案】【解析】由题意，得，∴．∵，∴，∴，∴．又∵，∴．【考点】椭圆的离心率．9.在平面直角坐标系中，若，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知定点，若斜率为的直线过点并与轨迹交于不同的两点，且对于轨迹上任意一点，都存在，使得成立，试求出满足条件的实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，则，，由可得，结合椭圆的定义可知，动点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，从而可以确定椭圆标准方程中的参数的取值，进而写出椭圆的方程即可；（2）设，直线：，联立直线的方程与（1）中椭圆的方程，消去得到，进而根据得，且，再计算出，然后由确定的横纵坐标，根据点在轨迹上，将点的坐标代入轨迹的方程并由的任意性，得到即，从中求解，并结合即可得到满足要求的的值.试题解析：（1）设，则，由可得∴动点到两个定点的距离的和为4∴轨迹是以为焦点的椭圆，且长轴长为设该椭圆的方程为则有且，所以所以轨迹的方程为（2）设，直线的方程为，代入消去得由得，且∴设点，由可得∵点在上∴∴又因为的任意性，∴∴，又，得代入检验，满足条件，故的值是．【考点】1.动点的轨迹问题；2.椭圆的定义及其标准方程；3.直线与圆锥曲线的综合问题.10.在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C的坐标为B(－2，0)，C(2，0)，直线AB，AC的斜率乘积为，设顶点A的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设曲线E与y轴负半轴的交点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，试求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由于所求动点A满足直线AB，AC的斜率乘积为，所以直接设A的坐标，代入化简整理即得：，注意到△ABC中三个顶点不能共线，所以需去掉与轴相交的点，（2）要求的取值范围，首先求出函数解析式，由题意确定l1的斜率为k为自变量，因为M 为l1与曲线E的交点，所以列方程组解出点M坐标，从而得出弦长；同理，只需将代k就可得到，因此△DMN的面积S＝，所以＝，这可以看作关于1＋k2的一个分式函数，即，可以利用函数单调性求出其取值范围.试题解析：解（1）设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB ＝，kAC＝ 2分因为kAB ×kAC＝，所以，即．（或x2＋4y2＝4）.所以曲线E的方程为． 4分（2）曲线E与y轴负半轴的交点为D(0，－1)．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx－1，代入，得从而 6分用代k得所以△DMN的面积S＝ 8分则＝因为k≠0且，k≠±2，令1＋k2＝t，则t＞1，且，t≠5，从而＝因为，且，所以且，从而且，，即∈ 10分.【考点】直接法求轨迹方程，直线与圆锥曲线关系，求函数范围11.椭圆的焦距为2，则m的取值是（）A．7B．5C．5或7D．10【答案】C【解析】当时，当时，本题有两个注意点，一是焦距是即二是椭圆交点位置不定，需讨论.【考点】椭圆标准方程基本量12.平面内与两定点、（）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上、两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C的方程，并讨论C的形状与m 值得关系．【答案】当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；当时，曲线C的方程为， C是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线C 的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线．【解析】设出动点M的坐标，利用斜率乘积求出曲线轨迹方程，然后讨论 m的值，判断曲线是圆、椭圆或双曲线时m的值的情况．试题解析：设动点为M，其坐标为，当时，由条件可得即，又的坐标满足，故依题意，曲线C的方程为． 4分当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆； 6分当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆； 8分当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆； 10分当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线． 12分【考点】（1）求轨迹方程；（2）圆锥曲线的综合应用.13.已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录如下：、、、．（1）经判断点，在抛物线上，试求出的标准方程；（2）求抛物线的焦点的坐标并求出椭圆的离心率；（3）过的焦点直线与椭圆交不同两点且满足，试求出直线的方程．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】（1）先设抛物线，然后将或代入可得，从而确定了的方程，也进一步确定、不在上，只能在上；设：，把点、代入得，求解即可确定的方程；（2）由（1）中所求得的方程不难得到的焦点及椭圆的离心率；（3）先假设所求直线的方程（或，不过此时要先验证直线斜率不存在的情况），然后联立直线与椭圆的方程，消去消去，得，得到，再得到，要使，只须，从中求解即可得到，从而可确定直线的方程.试题解析：（1）设抛物线，则有，而、在抛物线上 2分将坐标代入曲线方程，得 3分设：，把点、代入得解得∴方程为 6分（2）显然，，所以抛物线焦点坐标为由（1）知，，所以椭圆的离心率为 8分（3）法一：直线过抛物线焦点，设直线的方程为，两交点坐标为，由消去，得 10分∴①② 12分由，即，得将①②代入（*）式，得，解得 14分所求的方程为：或 15分法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意 9分当直线斜率存在时，直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为由消掉，得， 10分于是，①即② 12分由，即，得将①、②代入（*）式，得解得 14分故所求的方程为或 15分.【考点】1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.椭圆的标准方程及其几何性质；3.直线与圆锥曲线的综合问题.14.椭圆，为上顶点，为左焦点，为右顶点，且右顶点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由F（-c，0），B（0，b），可得直线FB：，利用点到直线的距离公式可得：A（a，0）到直线FB的距离=b，化简解出即可．【考点】椭圆的几何性质.15.已知点分别是椭圆为：的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】将点代入：，得，∴，∵过点作直线的垂线交直线于点，，设，得，解得，∴．∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴，即，整理，得，解得，故选C．【考点】1、椭圆的几何性质；2、双曲线的性质．16.已知椭圆上一点到右焦点的距离是1，则点到左焦点的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据椭圆的定义，点P到两个焦点距离和等于2a=即可.【考点】椭圆的定义.17.设是椭圆上一动点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 .【答案】4【解析】在中，设，由余弦定理可知,结合椭圆的性质化简得：；当点位于椭圆的上顶点时，有最大值，且，此时的最大值为4.【考点】椭圆的定义及性质、余弦定理、最值问题.18.椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，，则该椭圆的离心率e 的范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设则.又由于，所以即可得.所以点P在以OA为直径的圆上.及椭圆与该圆有公共点. 消去y得.由于过点A所以有一个根为，另一个根设为，则由韦达定理可得.又因为.所以解得.故选B.【考点】1.线的垂直问题转化到向量垂直问题.2.曲线的公共点转化为方程组的解得问题.3.区间根的问题.19.若椭圆的短轴为,它的一个焦点为,则满足为等边三角形的椭圆的离心率是() A．B．C．D．【答案】B 【解析】由为等边三角形可知，在直角三角形中，,且，所以其离心率．【考点】本题考查的知识点是椭圆的离心率的定义，以及椭圆的几何性质．20. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可知，，联立可得.【考点】椭圆的简单几何性质.21. 已知点P （4， 4），圆C ：与椭圆E ：有一个公共点A（3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．（Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程；（Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求的取值范围．【答案】（1）。
高二数学椭圆试题答案及解析
高二数学椭圆试题答案及解析1.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，点（1，）在该椭圆上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若A B的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆方程.【答案】（1）（2）【解析】解：（Ⅰ）根据题意，由于椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，点（1，）在该椭圆上，2c=2,利用定义可知椭圆C的方程为（Ⅱ）①当直线⊥x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），A B的面积为3，不符合题意.②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k(x+1).代入椭圆方程得：，显然＞0成立，设A，B，则，，可得|AB|=又圆的半径r=，∴A B的面积=|AB| r==，化简得：17+-18=0，得k=±1，∴r =，圆的方程为【考点】直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题。
2.椭圆=1上一点M到左焦点F的距离为2, N是MF的中点,则=( )A．2B．4C．6D．【答案】B【解析】解：∵椭圆方程为,∴椭圆的a=5，长轴2a=10，可得椭圆上任意一点到两个焦点F1、F2距离之和等于10．∴|MF1|+|MF2|=10，∵点M到左焦点F1的距离为2，即|MF1|=2，∴|MF2|=10-2=8，∵△MF1F2中，N、O分别是MF1、F1F2中点，∴|ON|= |MF2|=4．故选B．【考点】三角形中位线定理和椭圆的定义点评：本题考查了三角形中位线定理和椭圆的定义等知识点，考查学生的计算能力，属于基础题3.过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在直线方程。
【答案】x+2y-4=0，【解析】解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），∵M（2，1）为AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵又A、B两点在椭圆上，则x12+4y12=16，x22+4y22=16，两式相减得(x12-x 22)+4(y12-y22)=0，于是（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，故所求直线的方程为y-1=-(x-2)，即x+2y-4=0．【考点】直线与椭圆的位置关系点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．4.设分别为椭圆的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若，则点A的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，由椭圆可知点的坐标代入得，将A,B代入椭圆得关于的方程组，解得【考点】椭圆方程及性质，向量运算点评：圆锥曲线题目中出现的向量关系式常化为坐标表示，本题将所求A点设出，利用向量求得B点，两点在椭圆上即可代入5.已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为1的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.（I）求椭圆G的方程；（II）求的面积.【答案】（I）（II）【解析】（Ⅰ）由已知得解得，又所以椭圆G的方程为（3分）（Ⅱ）设直线l的方程为（ 4分）由得 5分设A、B的坐标分别为AB中点为E，则；（7分）因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。
高考数学椭圆大题技巧
高考数学椭圆大题技巧一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。
其中点可以设为等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。
一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。
还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。
对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。
一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。
二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。
三、代数运算转化完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则d是点O到AB的距离;第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用。
解析几何中很多题都有动点或动直线。
如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。
在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
四、能力要求做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。
高三数学椭圆试题
高三数学椭圆试题1.若方程表示椭贺圆，则实数M的取值范围是。
【答案】；【解析】根据已知条件可知，方程表示椭圆，则可知10-m>0,m-2>0,且，那么可知m 的范围是2<m<6,6<m<10,故答案为。
【考点】本试题考查了椭圆方程的运用。
点评：解决该试题的关键是对于椭圆方程的理解和运用。
通过方程表示椭圆，则说明等式左边为平方和，右边为1，同时分母都是正数，且不相等，因此可知得到实数m的范围。
属于基础题。
2.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知向量（），，动点的轨迹为．（1）求轨迹的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；(2)当时，过点(０，１)，作轨迹T的两条互相垂直的弦、，设、的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由．【答案】（1）当时，方程为表示抛物线；当时，方程表示以（0，2）为圆心，以2为半径的圆；当且时，方程表示椭圆；了当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.(2)直线恒过定点．【解析】(1)由得到关于x,y的方程.然后再根据k的取值情况讨论曲线的形状.(2)根据（1）可知轨迹T的方程为,设，，直线AB的方程为,它与抛物线方程联立，求出点M，N的坐标，进而可求出MN的斜率，从而可写出MN的直线方程，然后再研究方程得出定点坐标.（1）∵∴得------------------------------2分当时，方程为表示抛物线；-----------------------3分当时，方程表示以（0，2）为圆心，以2为半径的圆；----------------4分当且时，方程表示椭圆；---------------------------------5分了当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.-- --------------6分(2) 当时，轨迹T的方程为.设，直线AB的方程为，联立有：∴，∴点Ｍ的坐标为．（8分）同理可得：点的坐标为．（10分）直线的斜率为，其方程为，整理得，显然，不论为何值，点均满足方程，∴直线恒过定点．（14分）3.（本小题满分12分）已知椭圆C：的短轴长为，且斜率为的直线过椭圆C的焦点及点。
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。
（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）当时，求直线AB的方程;（2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值.【答案】（1）；（2）见解析。
【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.设，由根与系数的关系得，.又由得，所以，.于是，解之得.故直线AB的方程为.（7分）（2）为定值.（经检验，当与轴重合时也成立）（13分）【考点】【考点】直线与椭圆的位置关系，平面向量3.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1【答案】D【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．4.已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.再结合韦达定理即可得的值.试题解析：（1）由已知得：，，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ的面积.【考点】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．【考点】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．6.已知抛物线的准线与椭圆相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线为又抛物线的准线与椭圆相切，所以，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以，即得由得所以故选【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.选．【考点】椭圆、双曲线的几何性质.8.已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．【答案】(1) ； (2)【解析】(1)由题设知椭圆的标准方程为(2)因为当直线的斜率不存在时，，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.试题解析：解：(1)由题意知：，且， 2分解得， 3分椭圆的方程为 . 4分(2)由题意得直线的斜率存在，右焦点，可设直线的方程为：由得由题意设，则 6分由得 7分9分令，在上单调递增，可得故，解得 2分= 13分即的取值范围是 14分【考点】1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A．B．C．D．【答案】【解析】由题意知，的离心率是，故选【考点】椭圆、双曲线的几何性质.10.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．(1)求椭圆的标准方程；（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.试题解析：（1）由，，椭圆C的标准方程为. 4分得：， 6分.,,即P. 9分M.又Q，，，+=恒成立，故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分【考点】直线与圆锥的综合问题11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【答案】（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为 2分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)， 4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为 5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上， 7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个． 9分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，① -7分又∵点Q在椭圆E上，∴，②由①式得代入②式并整理得：， -③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个． 9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上， 10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为， 11分即 -④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程 -⑤⑤-④得直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值. 14分解法二：设点则 10分直线PM的方程为化简得④同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值． -14分【考点】1.椭圆的标准方程；2.四点共圆；3.圆的标准方程.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.试题解析：（1）设椭圆的方程为. 1分由题意有：， 3分解得. 5分故椭圆的方程为. 6分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分因为，所以10分因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值．而，故有，解得． 12分又点在椭圆的长轴上，即． 13分故实数的取值范围是． 14分【考点】椭圆标准方程椭圆几何性质最值13.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（1）当关于点对称时，求证：；（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.试题解析：（1）证明：因为在椭圆上，所以 1分因为关于点对称，所以， 2分将代入②得③，由①和③消解得， 4分所以. 5分（2）当直线斜率不存在时，，可得，不是等边三角形. 6分当直线斜率存在时，显然斜率不为0.设直线：，中点为，联立消去得， 7分由，得到① 8分又,所以，所以 10分假设为等边三角形，则有，又因为，所以，即， 11分化简，解得或 12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分【考点】弦中点问题，点代法求点的坐标14.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得所以【考点】圆的切线长，椭圆定义15.如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．(1)求椭圆的方程；(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.试题解析：(1)∵，∴点，又∵，∴点，则，解得，∴椭圆方程.（4分）(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）而，（12分）∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）【考点】1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.(1) 求直线BD的方程；(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2【解析】1) 设P(x0，y)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x，y 0)，所以x＝1，将其代入椭圆，得y＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝217.P为圆A：上的动点，点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）当点P在第一象限，且时，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问，根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长，利用垂直平分线得到，而，所以，根据椭圆的定义，判断点M的轨迹为椭圆，得到椭圆的标准方程；根据已知条件先得出P点坐标，从而得到直线AP的方程，利用直线与椭圆相交解出M点坐标，过程中应注意方程根的取舍.试题解析：（1）圆的圆心为，半径等于．由已知，于是，故曲线Γ是以为焦点，以为长轴长的椭圆，，曲线Γ的方程为． 5分（2）由，，得． 8分于是直线方程为．由解得，，．由于点在线段上，所以点坐标为． 12分【考点】1.椭圆的定义及标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为()(A) +y2=1 (B) +=1(C) +=1 (D) +=1【答案】C【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|= -（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.19.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为.【答案】4【解析】【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.20.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．【解析】（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∴① 2分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴② 4分由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即， 7分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得， 9分解得，即， 2分又满足，故点在抛物线上。
高二数学椭圆试题
高二数学椭圆试题1.若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为A．B．C．D．1【答案】B【解析】设点，所以，由此可得，，所以【考点】向量数量积以及二次函数最值．2.已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为，，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由椭圆的左右顶点分别为可得，，又由双曲线是为顶点，故可设双曲线的方程为，再由条件中双曲线离心率为，可建立关于的方程，从而得到双曲线的方程为；（2）根据题意可设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立求，，消去后可得：，解得或，因此，同理，将直线方程与双曲线方程联立，消去后可得，从而得证． .试题解析：（1）依题意可得，，∴设双曲线的方程为，又∵双曲线的离心率为，∴，即，∴双曲线的方程为；（2）设点，（，，），设直线的方程为，联立方程组，整理得：或，∴，同理可得，联立方程组，∴． .【考点】1.双曲线的标准方程；2.直线与圆锥曲线相交综合题.3.已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；（2）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）的最小值为，最大值为1.【解析】（1）先以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系，以与的大小关系进行分类讨论，从而即可得到动点所在的曲线；（2）当时，其曲线方程为椭圆，设，，的斜率为，则的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式），求得△AOB面积，最后求出面积的最大值即可，从而解决问题．（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系.若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为；若，即，动点所在的曲线方程为.……4分(2)当时，其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上，且设，，的斜率为，则的方程为，的方程为解方程组，得，同理可求得，面积=令则令所以，即当时，可求得,故，故的最小值为，最大值为1.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.4.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆焦点为，又，则，所以，焦点在x轴上，故选C.【考点】椭圆与双曲线的标准方程与几何性质.5.已知椭圆:的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）.（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称，并说明理由.【答案】(1)；(2)对称.【解析】(1)由圆方程可知圆心为，即，又因为离心率为，可得，根据椭圆中关系式，可求，椭圆方程即可写出；(2)由椭圆方程可知，将代入椭圆方程可得，可得，设直线，设，，然后和椭圆方程联立，消掉(或)得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理得出根与系数的关系，可得两直线的斜率.若直线是关于直线对称时两直线倾斜角互补，所以斜率互为相反数，把求得的两直线斜率相加若为0，则说明两直线对称，否则不对称.试题解析：（1）由题意得, 由可得, 所以所以椭圆的方程为. 4分（2）由题意可得点所以由题意可设直线,设由得由题意可得,即且6分因为 8分， 10分所以直线关于直线对称 12分.【考点】1.椭圆的基础知识；2.直线与椭圆的位置关系；3.二次方程根与系数的关系.6.如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.(1)求椭圆的方程；(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点)，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2).【解析】（1）将点代入椭圆的方程得到，结合离心率且，即可求解出，进而写出椭圆的标准方程即可；（2）依题意知，直线的斜率存在，先设直线的方程为，并设，联立直线的方程与椭圆的方程，消去得到，根据二次方程根与系数的关系得到，由直线及的方程确定点的坐标（含），进而得到，进而整理出（注意关注并应用共线得到），从而可确定的取值.试题解析：(1)由在椭圆上得，①依题设知，则②②代入①解得故椭圆的方程为(2)由题意可设的斜率为，则直线的方程为③代入椭圆方程并整理得设，则有④在方程③中令得，的坐标为从而注意到共线，则有，即有所以⑤④代入⑤得又，所以.故存在常数符合题意.【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的综合问题；3.二次方程根与系数的关系.7.如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.(1)求椭圆的方程；(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点)，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2).【解析】（1）将点代入椭圆的方程得到，结合离心率且，即可求解出，进而写出椭圆的标准方程即可；（2）依题意知，直线的斜率存在，先设直线的方程为，并设，联立直线的方程与椭圆的方程，消去得到，根据二次方程根与系数的关系得到，由直线及的方程确定点的坐标（含），进而得到，进而整理出（注意关注并应用共线得到），从而可确定的取值.试题解析：(1)由在椭圆上得，①依题设知，则②②代入①解得故椭圆的方程为(2)由题意可设的斜率为，则直线的方程为③代入椭圆方程并整理得设，则有④在方程③中令得，的坐标为从而注意到共线，则有，即有所以⑤④代入⑤得又，所以.故存在常数符合题意.【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的综合问题；3.二次方程根与系数的关系.8.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，直线x－y－1＝0，x－y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B，C，D，则AF＋BF＋CF＋DF＝．【答案】8【解析】椭圆的左焦点为，右焦点为，所以直线x－y－1＝0过右焦点，直线x－y＋1＝0过左焦点，由对称性得,因此【考点】椭圆定义9.如图，椭圆过点P(1, )，其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e＝, M, N是直线x＝4上的两个动点，且·＝0.（1）求椭圆的方程；（2）求MN的最小值；（3）以MN为直径的圆C是否过定点？【答案】（1）＝1；（2）；（3）(4－，0)和(4＋，0) .【解析】（1）因为：，且过点P(1, )，列出关于a，b的方程，解得a，b．最后写出椭圆方程即可；（2）设点M（4，m），N（4，n）写出向量的坐标，利用向量的数量积得到mn=-15，又|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥，结合基本不等式即可求得MN的最小值；（3）利用圆心C的坐标和半径得出圆C的方程，再令y=0，得x2-8x+1=0从而得出圆C过定点．试题解析：（1）由已知可得∴椭圆的方程为＝1 4分（2）设M（4，m），N（4，n），∵F1(－1，0)，F2(1，0)＝(5，m)，＝(3，n)，由＝0mn＝－15＜0 6分∴|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥2∴|MN|的最小值为2 10分（3）以MN为直径的圆C的方程为：(x－4)2＋(y－)＝()2 12分令y＝0得(x－4)2＝－＝－mn＝15x＝4±所以圆C过定点(4－，0)和(4＋，0) 14分【考点】1.圆与圆锥曲线的综合；2.椭圆的简单性质．10.点P在椭圆上运动，Q、R分别在两圆和上运动，则的最小值为【答案】【解析】因为两圆和的圆心为，正好为椭圆的左右焦点，所以【考点】椭圆定义11.已知椭圆上一点到右焦点的距离是1，则点到左焦点的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据椭圆的定义，点P到两个焦点距离和等于2a=即可.【考点】椭圆的定义.12.已知椭圆：（）和椭圆：（）的离心率相同，且.给出如下三个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】设椭圆、的离心率分别为、，则依题意有即，所以，所以即，从而有，所以②正确；假设两椭圆有公共点，则方程组有解，两式相减可得，一方面由与可得，所以，从而，即不存在使得成立，所以假设不成立，故①正确；由与可得即，也就是，故③错误，综上可知，正确结论的序号是①②.【考点】椭圆的标准方程及其性质.13.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合.所以椭圆的c=1，又因为与轴垂直，所以交点T的坐标为（1,2）代入椭圆方程即可得，又因为c=1，所以（舍去）.所以.通过计算四个选项可得应该选 B.本题由抛物线的焦点坐标，再列出一个关于的一个方程.即可求出e,但计算稍微复杂些，含根号式子的开方不熟练，可以通过把答案平方来求的结果.【考点】1.抛物线的知识.2.椭圆中三个基本量的方程.3.离心率的概念.4.双二次方程的解法.14.已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵椭圆，∴且，直线恒过定点，欲使其与椭圆恒有公共点，只需让落在椭圆内或者椭圆上，即：，∴，选C.【考点】1、过定点的直线系；2、直线与椭圆的位置关系.15.设是椭圆的两个焦点，点M在椭圆上，若△是直角三角形，则△的面积等于（）A．48/5B．36/5C．16D．48/5或16【答案】A【解析】由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F1M|=m、|MF2|=n，由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt△中，由勾股定理可得n2－m2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△的面积是=故选A。
2017高考总复习高中数学高考总复习椭圆习题和详解
高中数学圆锥曲线——椭圆一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4，2πB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，3π2[答案] C [解析] 化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1， ∴－1cos α>1sin α>0，故选C.2．(文)(2016·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝4， ∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2016·广东中山)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1D ．x 2＋y 23＝1[答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.3．分别过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c <b ，从而c 2<b 2＝a 2－c 2，a 2>2c 2，即e 2＝c 2a2<12，又∵e >0，∴0<e <22，故选B. 4．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433 B.9133C.1633D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2. 又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.5．(2016·济南市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x[答案] A[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32， ∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A. 6．(文)(2016·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( )A.513B.1213C.35D.45[答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9或a－c＝9，又b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，故⎩⎪⎨⎪⎧a＋c＝9a－c＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a＝132c＝52，∴e＝ca＝513.(理)(2016·北京崇文区)已知点F，A分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足FB→·AB→＝0，则椭圆的离心率等于( )A.3＋12B.5－12C.3－12D.5＋12[答案] B[解析] ∵FB→＝(c，b)，AB→＝(－a，b)，FB→·AB→＝0，∴－ac＋b2＝0，∵b2＝a2－c2，∴a2－ac－c2＝0，∴e2＋e－1＝0，∵e>0，∴e＝5－12.7．(2016·浙江金华)若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若PF1→·PF2→＝0，则1e12＋1e22＝( )A．2 B. 2C. 3 D．3[答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a′，焦距为2c，则由条件知||PF1|－|PF2||＝2a′，|PF1|＋|PF2|＝2a，将两式两边平方相加得：|PF1|2＋|PF2|2＝2(a2＋a′2)，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴a2＋a′2＝2c2，∴1e 12＋1e 22＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ′2＝a 2＋a ′2c 2＝2. 8．(2016·重庆南开中学)已知椭圆x 24＋y 22＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83；正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] A[解析] ∵a ＝2，∴△ABF 1的周长为|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，故①正确； ∵F 2(2，0)，∴l ：y ＝x －2，原点到l 的距离d ＝|－0－2|2＝1，故②正确；将y ＝x －2代入x 24＋y 22＝1中得3x 2－42x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝423，∴|AB |＝1＋12⎪⎪⎪⎪⎪⎪423－0＝83，故③正确． 9．(文)(2016·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．(理)F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1， ∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．10．(文)(2016·辽宁沈阳)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，49B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [答案] C[解析] 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，已知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a . 斜率k ＝b 2ac ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. (理)(2016·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 2－y 1y 2＋y 1b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.故选C. 二、填空题11．(文)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案]22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.(理)(2016·揭阳市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 [解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b >c ，∴b 2>c 2，即a 2>2c 2， ∴c a <22. 12．(2016·南充市)已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B ＝________.[答案] 54[解析] 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA |＋|BC |＝2×5＝10，又AC ＝8，由正弦定理知， sin A ＋sin C sin B ＝|BA |＋|BC ||AC |＝54.13．(文)若右顶点为A 的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在点P (x ，y )，使得OP →·PA →＝0，则椭圆离心率的范围是________．[答案]22<e <1 [解析] 在椭圆x 2a 2＋y 2a2＝1上存在点P ，使OP →·PA →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x 2－ax ＋y 2＝0与椭圆方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2联立消去y 得 (a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，将a 2－b 2＝c 2代入化为(x －a )(c 2x －ab 2)＝0，∵x ≠a ，∴x ＝ab 2c 2，由题设ab 2c 2<a ，∴a 2－c 2c2<1.即e >22，∵0<e <1，∴22<e <1. (理)已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA |＋|MB |的最大值是________．[答案] 10＋210[解析] 如图，直线BF 与椭圆交于M 1、M 2.任取椭圆上一点M ，则|MB |＋|BF |＋|MA |≥|MF |＋|MA |＝2a ＝|M 1A |＋|M 1F |＝|M 1A |＋|M 1B |＋|BF | ∴|MB |＋|MA |≥|M 1B |＋|M 1A |＝2a －|BF |. 同理可证|MB |＋|MA |≤|M 2B |＋|M 2A |＝2a ＋|BF |， 10－210≤|MB |＋|MA |≤10＋210.14．(文)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2016·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[答案]x 24＋y 23＝1 [解析] 平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3.因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3.所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题15．(文)(2016·山东济南市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM 、k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．[解析] (1)∵圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切， ∴b ＝21＋1，得b ＝ 2.又2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称， 不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )， 由于M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x 02a 2＋y 02b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1.两式相减得：y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a2.由题意可知直线PM 、PN 的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0，k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2，则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(理)(2016·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)由题意⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2a b ＝23c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP →＝(x －m ，y )， 所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216. ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．16．(2016·辽宁文，20)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．[解析] (1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0) ∵k l ＝tan60°＝ 3 ∴l 的方程为y ＝3(x －c ) 即：3x －y －3c ＝0 ∵F 1到直线l 的距离为2 3 ∴|－3c －3c |32＋－12＝3c ＝2 3∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由题可知y 1＜0，y 2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2x 2a 2＋y 2b2＝1消去x 得，(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－43b23a 2＋b2 ①y 1·y 2＝－3b 2a 2－43a 2＋b2②∵AF 2→＝2F 2B →，∴－y 1＝2y 2，代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b 23a 2＋b2 ③－2y22＝－3b 2a 2－43a 2＋b2④③2④得12＝48b 43a 2＋b 22·3a 2＋b23b 2a 2－4 ＝16b 23a 2＋b2a 2－4⑤又a 2＝b 2＋4 ⑥ 由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5 ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.17．(文)(2016·安徽文)椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．[解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c又b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.又∵椭圆过点A (2,3)∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0， 直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等．即|3x －4y ＋6|5＝|x －2| ∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k .则直线AM 方程y －3＝k (x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0 设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0－2＝－1k y 02－3＝k x 0＋22－2 解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k2)． ∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称，∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k2＋6＝0. 解得k ＝－12或k ＝2. 由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)． 故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)，∴AF 1→|AF 2→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3) ＝－45(1,2)， ∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.[点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线，∴AF 1→与AF 2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF 1→、AF 2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．(理)(2016·湖北黄冈)已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果|AB |最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；(3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．[解析] (1)由椭圆定义知：2a ＝4，∴a ＝2，∴x 24＋y 2b2＝1 把(1,1)代入得14＋1b2＝1 ∴b 2＝43，则椭圆方程为x 24＋y 243＝1 ∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，∴c ＝263故两焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0. (2)用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，此时|AB |＝22，取椭圆上一点M (－2,0)，则|AM |＝10∴|AM |>|AB |.从而此时|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立．(3)设AC 方程为：y ＝k (x －1)＋1联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1＋1x 24＋3y 24＝1消去y 得 (1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0∵点A (1,1)在椭圆上∴x C ＝3k 2－6k －13k 2＋1∵直线AC 、AD 倾斜角互补∴AD 的方程为y ＝－k (x －1)＋1同理x D ＝3k 2＋6k －13k 2＋1又y C ＝k (x C －1)＋1，y D ＝－k (x D －1)＋1y C －y D ＝k (x C ＋x D )－2k所以k CD ＝y C －y D x C －x D ＝13即直线CD 的斜率为定值13.。
高考数学椭圆解题方法总结
高考数学椭圆解题方法总结一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。
其中点可以设为,等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。
一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。
还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。
对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。
一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。
二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。
三、代数运算转化完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。
解析几何中很多题都有动点或动直线。
如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。
在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
四、能力要求做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。
椭圆焦点向量乘积问题
椭圆焦点向量乘积问题
首先，让我们回顾一下椭圆的定义。
椭圆是一个平面上的几何图形，其定义为到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的集合。
这个常数称为椭圆的半长轴。
椭圆的性质在数学和物理学中都有广泛的应用。
现在，让我们考虑一个椭圆和其两个焦点的向量表示。
设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆上的任意一点P的位置向量为r，那么根据椭圆的定义，有|PF1| + |PF2| = 2a，其中a为椭圆的半长轴。
我们可以用向量表示来描述这个性质。
设F1和F2的位置向量分别为a和-b，那么对于任意点P的位置向量r，我们有|r + a| + |r b| = 2a。
这就是椭圆的向量表示。
现在，我们来考虑椭圆焦点向量乘积的问题。
具体来说，我们要研究向量|PF1|和|PF2|的乘积的性质。
这个问题在数学竞赛和数学建模中经常出现，具有一定的挑战性和深度。
通过向量运算的性质和椭圆的定义，我们可以推导出椭圆焦点
向量乘积的一些有趣结论。
这些结论不仅可以帮助我们更深入地理解椭圆的几何性质，还可以拓展我们对向量运算的认识。
总之，椭圆焦点向量乘积问题是一个有趣而深奥的数学问题，它涉及椭圆的几何性质和向量运算的结合。
通过研究这个问题，我们可以深入理解椭圆的性质，并丰富我们对向量运算的认识。
椭圆历年高考题精选
31．(06天津文8)椭圆的中心为点 ，它的一个焦点为 ，相应于焦点 的准线方程为 ，则这个椭圆的方程是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
32．（06全国Ⅱ理5）已知 的顶点B、C在椭圆 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 的周长是
20.(2008湖南理)已知椭圆 （a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为 ,离心率e= 过顶点A(0,b)作AM ,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
21.(2008江苏)在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 = ．
22．(2008全国Ⅰ卷文)在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 ．
且椭圆的离心率e= .
(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF 的中点，求证：∠ATM=∠AF T.
27．(06全国Ⅰ理20)在平面直角坐标系 中，有一个以 和 为焦点、离心率为 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与 轴的交点分别为A、B，且向量 。求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ） 的最小值。
29．（06浙江理19）如图，椭圆 ＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质直线方程平面向量的计算曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力奎屯新疆满分14分奎屯由题意可设椭圆的方程为新疆由已知得新疆设直线pq的方程为新疆由方程组2718由直线pq的方程得新疆于是oqop新疆因此直线pq的方程为新疆由已知得方程组因此fqfm新疆15解由已知可得点a60f04设点pxy则apx6yfpx4y由已知可得2036资料内容仅供您学习参考如有不当或者侵权请联系改正或者删除
高二数学椭圆试题
高二数学椭圆试题1.过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ,∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，∴两式相减可得 , .故选A.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题2.已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在y轴上．（1）求双曲线的离心率，并写出其渐近线方程；（2）求椭圆的标准方程．【答案】（1）e1=2，渐近线方程为y=±；（2）．【解析】（1）首先由已知双曲线的标准方程求出双曲线的几何量，就可得焦点及离心率，渐近线方程；（2）根据已知条件求出椭圆的离心率及焦距，利用椭圆的三个参数的关系，求出椭圆中的三个参数，从而就可求出椭圆的方程．试题解析：（1）设双曲线的焦距为2c1，离心率为e1，（2分）则有：c12=4+12=16，c1=4 （4分）∴e1=2，渐近线方程为y=±；（6分）（2）椭圆的离心率为，∴．又a=4，∴c=；∵a2=b2+c2，（10分）∴b2=；∴所求椭圆方程为（12分）【考点】1.双曲线的简单性质；2.椭圆的标准方程．3.已知椭圆：的左焦点，离心率为，函数，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设，，过的直线交椭圆于两点，求的最小值，并求此时的的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最小值为,此时.【解析】（Ⅰ）利用左焦点F（-1，0），离心率为，及求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l的方程来：y=k（x-t）代入抛物线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求的最小值，并求此时的t的值．试题解析：（Ⅰ）,由得,椭圆方程为（Ⅱ）若直线斜率不存在,则=若直线斜率存在,设直线,由得所以故故的最小值为,此时.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．4.(本小题满分12分)如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点的连线与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．（1）求椭圆的离心率；（2）过且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若的面积是，求此时椭圆的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）点M与椭圆右焦点的连线与x轴垂直，可得，又，椭圆中,可得；（2）设直线PQ的方程为，代入椭圆方程整理得又，可得从而解得，可得椭圆的标准方程.解：（1）易得（2）令，设直线PQ的方程为．代入椭圆方程消去x得：，整理得：∴因此a2＝50，b2＝25，所以椭圆方程为【考点】椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，设而不求.5.若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,、分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若,则（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论，【考点】椭圆与双曲线的几何性质.6.椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由椭圆可知其左顶点A1（-2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x，y）（x≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【考点】椭圆的性质.7.已知椭圆上一点到右焦点的距离是1，则点到左焦点的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据椭圆的定义，点P到两个焦点距离和等于2a=即可.【考点】椭圆的定义.8.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为焦点相同所以有，解得，即。
专题21 椭圆(解答题压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
(1)求椭圆的方程；
(2)过1F作两直线,m n交椭圆于
(1)记椭圆与抛物线的公共弦为MN，求|MN
(2)P为抛物线上一点，1F为椭圆的左焦点，直线
线交于P，Q两点，求||
||
AB
PQ的最大值．
（1）求椭圆的方程∶
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过M点作两条互相垂直的直线MA，
(1)当(),t a a ∈-时，设直线=x t 交椭圆于的周长最大值为42，求椭圆方程；
(2)在第（1）问条件下，将直线=x t 移动至为半径的圆交2x a =-于,M N 两点，直线
(1)若M的坐标为
335
28
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，，求四边形PMNF
(2)若PN与椭圆Γ相切于N且121 4
NF NF
⋅=
(3)作N关于原点的对称点N'，是否存在直线
23
7，若存在，求出直线2
F N的方程和N的坐标，若不存在，请说明理由．
(1)求12F AF 的周长；
(2)若以2F 为圆心的圆截y (3)设l 的斜率为k ，在x 轴上是否存在一点求出M 的坐标；若不存在，请说明理由
(1)求点P的轨迹E的方程;
(2)设点C为x轴上（不同于,A B）一定点，若过点
M N两点，求证：与直线2
x=-和直线2
x=分别交于,
∠=∠．
ACP ACQ。
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高中数学椭圆大题之向量综合
题型一：单一共线型
例1、已知B A 、是椭圆1222=+y x 上的两点，并且点)0,2(-N 满足NB NA λ=，当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈31,51λ时，求直线AB 斜率的取值范围.
例2、已知定点)0,2(M ，若过M 的直线l （斜率不为零）与椭圆13
22
=+y x 交于不同的两点F E 、（E 在点F M 、之间），记OMF
OME
S S ∆∆=
λ，求λ的取值范围.
练1、椭圆12322
22=+c
y c x 的两个焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ，过点)0,3(c E 的直线与椭圆交于B A 、两点，
且B F A F 21//，B F A F 212=，求直线AB 的斜率.
练2、设)0,(1c F -，)0,(2c F 分别为椭圆13
22
=+y x 的左右焦点，B A 、在椭圆上，若B F A F 215=，求点A 的坐标.
题型二、点在曲线上
例1、已知椭圆2
2
2
33b y x =+，斜率为1且过右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，M 为椭圆上任一点，且
OB OA OM μλ+=，证明22μλ+为定值.
练1、椭圆C:12
32
2=+y x ,过右焦点F 的直线l 与C 交于A,B 两点，C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有
OB OA OP +=成立？若存在，求
出所有P 的坐标与l 的方程;若不存在，说明理由.
练2、设动点P 满足ON OM OP 2+=，其中M,N 是椭圆C:12
42
2=+y x 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为2
1
-
，求P 的轨迹.。