4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式

αsin αsin
γγ＝1t－antαan＋αttaannγγ.
时 作 业
报
所以tan αtan β＋tan βtan γ＝1－tan αtan γ，
告
二
即tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan γ＝1.
第4章 第3节
第20页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
一
课
告
二
∴ sin αcos β＋cos αsin β＝－12，
∴ sin(α＋β)＝－12.
第4章 第3节
第24页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
Ⅱ.两角和与差公式的逆用
一
3．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为
课 时
作
________．
业
报
告 二
[答案] 1
所以β＝90°－(α＋γ)，
第4章 第3节
第19页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报 告 一
故tan β＝tan[90°－(α＋γ)]＝csoins[[9900°°－－αα＋＋γγ]]＝csoinsαα＋＋γγ＝
课
cos αcos γ－sin sin αcos γ＋cos
二
β)．
第4章 第3节
第29页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
三角形中的常见变形
报 告 一
报 告 二
课 时 作 业
第4章 第3节
第30页
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报 告
Ⅲ.辅助角公式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)的应用
一
5．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin
第4章 第3节
第25页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
[解析] f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)
告 一
＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)
课
＝sin(x＋φ)cos φ－sin φcos(x＋φ)
时 作
业
2．[2018全国卷Ⅱ]已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝
0，则sin(α＋β)＝________.
报 告
[答案] －12
一
[解析] ∵ sin α＋cos β＝1，①
课 时
作
cos α＋sin β＝0，②
业
报
∴ ①2＋②2，得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
课
3，则m的值为( D )
时 作
业
A．1
B．3
报 告
C．6
二
D．4
第4章 第3节
第33页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报 告
[解析] ∵tan 20°＋msin 20°＝csoins 2200°°＋msin 20°＝ 3，

φ＝ba或f(α)＝
时
a2＋b2cos(α
作 业
报 告
－φ)其中tan

φ＝ab.
二
第4章 第3节
第17页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报 告
核心素养
一
已知：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝ 课 时
1，②tan
＝sin(x＋φ－φ)
报 告
＝sin x，
二
∴f(x)的最大值为1.
第4章 第3节
第26页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报 告
4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C
一 的值为( B )
课
时
作
A．－
2 2
B．
2 2
业
报
告 二
1 C.2
D．－12
5°tan
10°＋tan
10°tan
75°＋tan
75°tan
5°＝1，③tan
作 业
报 20°tan 30°＋tan 30°tan 40°＋tan 40°tan 20°＝1成立，由此得到
告
二 一个由特殊到一般的推广．此推广是什么？并证明．
第4章 第3节
第18页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
＝sin 50°·2ccooss1500°°＝scions11000°°＝1.
第4章 第3节
第14页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
通性通法
辅助角公式．
报
告 一
(1)函数f(x)＝sin x＋cos x的最大值为________．
课
答案： 2
时 作
业
解析：sin x＋cos x
报
告 二
＝
课 时 作
业
由x＝θ时，f(x)取得最大值，得sin(θ－φ)＝1，
报
告 二
∴θ－φ＝2kπ＋π2，k∈Z，即θ＝φ＋π2＋2kπ，k∈Z，
∴cos
θ＝cosφ＋π2＋2kπ＝－sin
φ＝－2
5
5 .
第4章 第3节
第32页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告 一
6．[2019内蒙古巴彦淖尔一中模拟]若tan 20°＋msin 20°＝
第4章 第3节
第27页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告 一
[解析] 由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
课
可得1t－antAan＋AttaannBB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，
时 作 业
报 告
又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝34π，则C＝π4，cos C＝ 22.
式．
报 告
2．会利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切
一
公式．
课
时
3．会利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余
作 业
报 弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的
告
二 内在联系．
4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和
差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)
第4章 第3节
告
二
＝csoins 2200°°·－cossin2200°°＝－1.
第4章 第3节
第13页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告 一
(4)原式＝sin 50°1＋
3sin 10° cos 10°
课
时
＝sin
cos 50°·
10°＋ cos
3sin 10°
10°
作 业
报 告 二
报告二 名校备考方案调研
时 作 业
报 告 二
第4章 第3节
第21页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
1 两角和与差公式的应用
告 一
Ⅰ.两角和与差公式的基本应用
课
1．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)
时 作
业
的值为( A )
报 告
A．－3
二
C．1
B．－1 D．3
第3页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
一
课
报告一 基础知识普查清单
时 作
业
报 告 二
第4章 第3节
第4页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
[必备知识]
考点1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
报 告 一
课 时 作 业
报 告 二
第4章 第3节
第5页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
解：观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°，
报 告
20°＋30°＋40°＝90°，
一
猜想此推广为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ都不为k·180° 课 时
＋90°(k∈Z)，
作 业
报
则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.
告
二
证明如下：因为α＋β＋γ＝90°，
报 告 一
解：(1)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°＝4sins3in0°2－0°10°＝4.
课
时
(2)原式＝sin
sin 40°cos
1100°°－

3＝sin

sin 40°·
10°－ cos
3cos 10°
10°
作 业
报 告 二
＝－2sicno4s01°0c°os 40°＝－cossin1800°°＝－1.
考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式
报
告
公式名
公式
一
二倍角的正弦 sin 2α＝__2_si_n__α_co_s__α____
课 时
作
cos 2α＝ cos2α－sin2α
业
报
二倍角的余弦 ＝ 1－2sin2α ＝2cos2α－1
告
二
二倍角的正切
2tan α tan 2α＝__1_－__ta_n_2_α____
第4章 第3节
第6页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
[双基夯实]
报
链接教材
告
一
1．(1)[人A必修4·P135·练习T2]已知sin
α－cos
α＝43，则sin
课 时
作
2α＝( A )
业
报 告 二
A．－79
2 C.9
B．－29 D．79
第4章 第3节
第7页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
一
课
＝
1 7
，cos(α＋β)＝－
11 14
，则cos
β＝________.(提示：β＝(α＋β)
时 作 业
－α)
报
告
二
答案：12
第4章 第3节
第9页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
解析：∵α，β都是锐角，∴0<α＋β<π，
报
告 一
∴sin α＝ 1－cos2α＝ 1－172＝473，
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
一
课
时
第四章 三角函数 解三角形
作 业
报 告 二
第4章 第3节
第1页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告一课时源自第三节 两角和与差的正弦、余弦和正
作 业
切公式、二倍角公式
报
告
二
第4章 第3节
第2页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
[考纲展示] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公
课 时
作
其中tan

φ＝ab.
业
报
告
二
答案： a2＋b2sin(α＋φ) a2＋b2cos(α－φ)
第4章 第3节
第16页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告 一
解析：一般地，函数f(x)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以
课
化为f(α)＝
a2＋b2sin(α＋φ)其中tan
第4章 第3节
第22页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
一
[解析] 由根与系数的关系可知，tan α＋tan
αtan β＝2，
报 告
tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1－3 2＝－3.
二
β＝3，tan 课 时 作 业
第4章 第3节
第23页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
第4章 第3节
第12页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报 告
(3)原式＝tan 70°cos 10° c3ossin202°0°－1
一
＝tan
70°cos
10°·
3sin
20°－cos cos 20°
20°
课 时 作
业
报
＝csoins
70° 70°·cos
－2sin 10° 10°· cos 20°
课
时
sin(α＋β)＝ 1－cos2α＋β＝ 1－－11142＝5143，
作 业
报 告
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α
二
＝－1114×17＋5143×4 7 3＝12.
第4章 第3节
第10页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
2．[人A必修4·P146·复习参考题A组T5]化简：
告
一
(1)sin110°－cos 310°；
课 时
作
(2)sin 40°(tan 10°－ 3)；
业
报 告
(3)tan 70°cos 10°( 3tan 20°－1)；
二
(4)sin 50°(1＋ 3tan 10°)．
第4章 第3节
第11页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
x－2cos
x取得最大值，则
课 时
作
cos θ＝________.
业
报
告 二
[答案] －255
第4章 第3节
第31页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
[解析] 由辅助角公式，得
报 告
f(x)＝ 5· 55sin x－25 5cos x＝ 5sin(x－φ)，
一
其中sin φ＝255，cos φ＝ 55，
二
第4章 第3节
第28页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
小提示
报
告 一
公式的逆用变形
课
①两角和与差公式的逆用：cos
αcos
β±sin
αsinβ＝cos(α∓
时 作
业
β)，sin αcos β±cos αsin β＝sin(α±β)；
报 告
②正切公式的变形应用：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan
报 告
解析：∵ sin α－cos α＝43，
一
∴ (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝196，
课 时 作 业
报 告
∴ sin 2α＝－79.
二
故选A.
第4章 第3节
第8页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
(2)[人A必修4·P137·习题A组T4]已知α，β都是锐角，cos α

2sin xcos

π4＋cos
π xsin4
＝ 2sinx＋π4≤ 2.
第4章 第3节
第15页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
(2)一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以
告
一