高考模拟训练试题(六)理科数学含答案

广东省2013年高考模拟训练试题（六）
数学（理科）
本试卷共4页，21题，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
I ．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并粘贴好条形码。

认真核准条形码上的姓名、考生号、试室号和座位号；
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上；
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效；
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的．答案无效；
5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、如果集合{}
012=++=ax x x A 中只有一个元素，则a 的值是（ ） A 、0 B 、0或2 C 、2 D 、－2或2
2、已知i 为虚数单位，则
111i
+-2
（＋i ）
＝（ ） A 、－i B 、－1 C 、i D 、1
3、设0.32
0.30.3log 2,log 3,2,0.3a b c d ====，则这四个数的大小关系是（ ）
A 、a <b<c<d
B 、b ＜a ＜d ＜c
C 、b ＜a ＜c ＜d
D 、d ＜c ＜a ＜b
保密★启用前 试卷类型：B
4、若方程
22
1
11x y k k
-=+-表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ） A 、－1＜k ＜1 B 、k ＞0 C 、k≤0 D 、k ＞1或k ＜－1
5、某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（ ）
A 、4＋
B 、4＋
C 、8
3
D 、12 6、△ABC 中，角A ，B ，C 所对边a ，b ，c ，若a ＝3，C ＝120°，△ABC 的
面积S ＝
4
，则c ＝（ ）
A 、5
B 、6
C
D 、7
7、在实验员进行一项实验中，先后要实施5个程序，其中程度A 只能出现在第一步或最后一步，程序C 和D 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ） A 、15种 B 、18种 C 、24种 D 、44种
8、设)(x f 在区间I 上有定义，若对∀12,,x x I ∈都有1212()()
()22
x x f x f x f ++≥
，则称)(x f 是区间I 的向上凸函数；若对∀12,,x x I ∈都有1212()()
()22
x x f x f x f ++≤
，则称)(x f 是区间I 的向下凸函数，有下列四个判断：
①若)(x f 是区间I 的向上凸函数，则－)(x f 在区间I 的向下凸函数；
②若)(x f 和()x g 都是区间I 的向上凸函数，则)(x f ＋()x g 是区间I 的向上凸函数； ③若)(x f 在区间I 的向下凸函数，且)(x f ≠0，则
1
()
f x 是区间I 的向上凸函数； ④若)(x f 是区间I 的向上凸函数，I x x x x ∈∀4321,,,，则有()()()()4443214321x f x f x f x f x x x x f +++≥⎪⎭
⎫
⎝
⎛+++
其中正确的结论个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）
9、若向量(1,1),(2,5),(3,)a b c x ===满足条件()
308=⋅-c b a ，则x ＝＿＿＿； 10、下图是算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是＿＿＿＿；
11、已知实数x ，y 满足||1
||1x y x y +≤⎧⎨-≤⎩
，则z ＝x －4y －2的最大值为＿＿＿＿；
12、设曲线ax
y e =在点（0,1）处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝＿＿＿；
13、平面上有n 条直线，这n 条直线任意两条不平行，任意三条不共点，记这n 条直线将平面分成()n f 部
分，则()3f ＝＿＿＿＿，n ≥4时，()n f ＝＿＿＿＿（用n 表示）； （二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）如图，AB ，CD 是圆的两条弦，AB 与CD 交于E ，AE
＞EB ，AB 是线段CD 的中垂线，若AB ＝6，CD ＝则线段AC 的长度为 ；
15．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy 中，圆C 1的参数方程为cos 1sin x y α
α
=⎧⎨=+⎩（α为参数）
在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴）中，圆C 2的极坐标方程为4sin ρθ=，则C 1与C 2的位置关系是＿＿＿＿＿（在“相交，相离，内切，外切，内含”中选择一个你认为正确的填上）
三、解答题（80分）
16、（本小题满分12分）函数()sin()(0,0)
4
f x A x A π
ωω=->>
的部分图象如右所示。

（1）求函数)(x f 的解析式 （2）设(
,)2
π
απ∈，且6
(
)285
f α
π+=，求tan α的值。

17、（本小题满分12分）某校为了解高二学生A ，B 两个学科学习成绩的合格情况是否有关，随机抽取了该年级一次期末考试A ，B 两个学科的合格人数与不合格人数，得到以下2×2列联表：
（1）据此表格资料，你认为有多大把握认为“A 学科合格”与“B 学科合格”有关；
（2）从“A 学科合格”的学生中任意抽取2人，记被抽取的2名学生中“B 学科合格”的人数为X ，求X 的数
学期望。

18.（本小题满分14分）如图，三棱锥P-ABC 中，PB ⊥底面ABC 于B ，∠BCA ＝90°，PB ＝CA ＝2，点E 是PC 的中点。

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）若异面直线AE 与PB 所成的角为
θ，且tan θ=，求二面角C －AB －E 的大小。

19.（本小题满分14分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3
5
，两焦点分别为12F F ,，点00(,)
M x y 是椭圆C 上一点，且12F F M ∆的周长为16，设线段MO （O 为坐标原点）与圆222
O x y r :+=交于点N ，且线段MN 长度的最小值为15
4
. （1）求椭圆C 以及圆O 的方程;
（2）当点00(,)M x y 在椭圆C 上运动时,判断直线00:1l x x y y +=与圆O 的位置关系.
20、（本题满分14分）已知定义在实数集上的函数()n n f x x =，n N *∈，其导函数记为()n f x '，且满足．
（Ⅰ）设函数()x g ＝21()n f x -• (1)n f x -，求()x g 的极大值与极小值；
（Ⅲ）试求关于x 的方程11(1)21
(1)21
n n n n f x f x ++'+-='+-在区间(0,1)上的实数根的个数．
21．（本题满分14分）
设等差数列}{n a 的公差0≠d ，数列}{n b 为等比数列，若a b a ==11，33b a =，57b a = （1）求数列}{n b 的公比q ；
（2）将数列}{n a ，}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ，是否存在正整数
,,λμω（其中λμω<<）使得,,λμω和,,c c c λμωλμω+++均成等差数列？若存在，求出,,λμω
的值，若不存在，请说明理由。

广东省2013年高考模拟训练试题（六）
数学(理科)参考答案及评分说明
一．选择题：1、D 2、C 3、B 4、A 5、B 6、D 7、C 8、C
部分题目解析：7、程序A 只能出现第一步或最后一步，共有2种不同的排法；将程序C 和D 捆绑成一个元素，再和其它两个元素一起排列，有3
3A 种不同排法，同时考虑C 和D 有2种不同的排法，根据乘法原理，实验顺序的编排方法共有2×3
3A ×2=24种不同排法。

8、①②利用定义易知正确，③反例()10≠>=a a a y x
且，
对于④，因为()()()()4
2
2
214
432143224321x f x f x f x f x x f x x f x x x x f +++≥
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛++⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+≥⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+++，所以④正确。

二．填空题：9、4 10、11 11、2 12、2 13、7 ；(1)
12n n ++
14
15、内切 三．解答题：
16、解：（1）由图可知：函数()x f 的最大值为2，且
4
2834π
ππ=-=T ，2=∴A ，最小正周期π=T 22==
∴T πω，故()x f 的解析式为()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=42sin 2πx x f ………………6分
（2）56sin 282==⎪⎭
⎫
⎝⎛+απαf ………………8分
53sin =
∴α，παπ<<2，54sin 1cos 2
-=--=∴αα………………10分 4
3
cos sin tan ==∴ααα………………12分
17、解：（1）K 2
＝2110(1200400)60506050-⨯⨯⨯≈7.822＞6.635
所以，有90%的把握认为“A 学科合格”与“B 学科合格”有关。

（2）X 可以取0，1，2，
P （X ＝0）＝220260C C ＝19177， P （X ＝1）＝114020260C C C ＝80177， P （X ＝2）＝2402
60
C C ＝78
177 EX ＝
80177＋2×78177＝236177，所以，X 的数学期望为236
177。

18、（1）证明：∵PB ⊥平面ABC ，∴PB ⊥AC ； ∵∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ；
又∵AC ⊥BC ，AC ⊥PB ，在面PBC 中PB∩BC=B ；∴AC ⊥平面PBC ； 又∵AC ∈平面PAC ，∴面PAC ⊥面PBC
（2）以C 为原点，CA 、CB 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系，设BC ＝m,
则C （0,0，0），A （2，0，0），E （0，
2
m
,1），B （0，m,0），P （0， m,2）
由tan 2θ=
，得：cos 11
θ=，由||||cos AE PB AE PB θ=，解得：m
平面ABC 的一个法向量m ＝（0，0，1），求得平面ABE 的一个法向量n ＝（1
,1） 由mn =|m ||n |cos β，得：6
π
β=
，所以，二面角C －AB －E 的大小为30°
19.解: （1） 设椭圆C 的半焦距为c ,则
35c a = ，即3
5
c a = ① ， ………………1分 又1212||||||2216MF MF F F a c ++=+= ② ， ……………2分 联立①②，解得5a =,3c =
，所以4b =
= ， …………… 4分
所以椭圆C 的方程为22
12516
x y += ； ………………6分
而椭圆C 上点00(,)M x y 与椭圆中心O 的距离为
4MO ===≥，等号在00x =时成立，……7分 而MN MO r =-，则MN 的最小值为4r -，从而1
4
r =， 则圆O 的方程为221
16
x y +=
． ……………………8分 （2）因为点00(,)M x y 在椭圆C 上运动,所以
2200
12516x y +=， 即22
00161625
y x =-
， …………………9分 圆心O 到直线001l x x y y :+=
的距离d =
=
……10分
当00x =，04y =±
，1
4
d r ===，则直线与圆O 相切． …… 12分 当00x ≠
时，1
4
d r <
==，则直线与圆O 相交． …………14分
20．(本小题满分14分)
解：（Ⅰ）令21()()n y F x f x -==⋅21(1)(1)n n n f x x x --=-⋅，则
12122221(1)(21)(1)(1)[(21)(31)]n n n n n n y n x x n x x x x n n x -----'=--⋅+-⋅-=⋅----，…3分
令0y '=，得12321
0,,131
n x x x n -==
=-，且123x x x <<，
当n 为正偶数时，随x 的变化，y '与y 的变化如下：
所以当2131n x n -=-时，y 极大=2131
(21)(31)n n
n n n n ---⋅-；当1x =时，y 极小=0．
当n 为正奇数时，随x 的变化，y '与y 的变化如下：
所以当2131n x n -=-时，y 极大=2131
(21)(31)
n n
n n n n ---⋅-；无极小值． （II ）11(1)21(1)21n n n n f x f x ++'+-='+-，即11(1)21(1)(1)(1)21n n n n n x x n x -++-=≠-++-，
所以方程为1121
(1)(1)121
n n n x n x +-⋅=≠-++-，
1(21)(1)(21)1(1)20(1)(21)(1)(21)
n n n
n n n n n x n n +--+-+-∴==>+-+-，
又1
221(1)(21)
n n
n x n ++--=+-，而对于n N *∈，有122n n +>+（利用二项式定理可证）， 1x ∴<。

综上，对于任意给定的正整数n ，方程只有唯一实根，且总在区间(0,1)内，所以原方程在区间(0,1)上有唯一实根．
21、解：（1）设}{n b 的公比为q ，由题意
⎪⎩⎪⎨⎧+=+=d a aq d a aq 6242 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-d
a aq d
a aq 624
2---------------------------------------------2分 1=q 不合题意，故3
1
114
2=--q q ，解得22=q 2±=∴q ----------------4分 （2）若}{n a 与}{n b 有公共项，不妨设m n b a = 由（2）知：12
2
1-=+m n m 为奇数，且
令)(12*
N k k m ∈-=，则11
122)
2(---∙=∙=k k m a a b
a c n n 12-=∴ ---------------------------------------------------------------12分
若存在正整数,,λμω（其中λμω<<）满足题意， 设,,p q r λμω===则
⎩⎨⎧+∙++∙=+∙+=---)2()2()2(221
11r a p a q a r
p q r p q 1
1
2
2
2--+=∴r p q
，又)""(2
2
22
2
2
2
1
1
===≥++-+--时取当且仅当r p r p r P r p
又r p ≠ ，2
1
1
2
2
2
r p r p +-->+∴ ----------------------14分
又x y 2=在R 上增，2r p q +>
∴。

与题设2
r
p q +=矛盾， ∴不存在,,λμω满足题意。

---------------------------------------------------16分。