(教案)一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法
【教学过程】
一、新知初探
1．一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0．
2．一元二次不等式的一般形式
（1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）．
（2）ax2＋bx＋c≥0（a≠0）．
（3）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）．
（4）ax2＋bx＋c≤0（a≠0）．
思考2：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
思考：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
＋c （a ＞0）的图像
思考：若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则实数a 应满足什么条件？ 提示：结合二次函数图像可知，若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则⎩⎨⎧
a >0，1＋4a <0，
解得a ∈∅，所以不存在a 使不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ． 二、初试身手
1．不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为（ ）
A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1＜x ＜13
B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
13＜x ＜1 C ．∅ D ．R
答案：D
解析：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为R ．
2．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________． 答案：∅
解析：原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0．因为Δ＝（－5）2－4×3×4＝－23<0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图像可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅． 三、合作探究
类型1：一元二次不等式的解法 例1：解下列不等式： （1）2x 2＋7x ＋3>0；
（2）－4x 2＋18x －81
4≥0； （3）－2x 2＋3x －2<0．
解：（1）因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，
x 2＝－1
2．又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x >－1
2或x <－3
． （2）原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ＝94．
（3）原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R ．
规律方法
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1．化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． 2．判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． 3．求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． 4．画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． 5．写解集．根据图像写出不等式的解集． 跟踪训练
1．解下列不等式．
（1）2x 2－3x －2>0；（2）x 2－4x ＋4>0； （3）－x 2＋2x －3<0；（4）－3x 2＋5x －2>0．
解：（1）∵Δ>0，方程2x 2－3x －2＝0的根是x 1＝－1
2，x 2＝2，∴不等式2x 2－3x －2>0的
解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x <－1
2或x >2
． （2）∵Δ＝0，方程x 2－4x ＋4＝0的根是x 1＝x 2＝2， ∴不等式x 2－4x ＋4>0的解集为{}x |x ≠2． （3）原不等式可化为x 2－2x ＋3>0， 由于Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无解， ∴不等式－x 2＋2x －3<0的解集为R ． （4）原不等式可化为3x 2－5x ＋2<0，
由于Δ>0，方程3x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1＝2
3，x 2＝1， ∴不等式－3x 2
＋5x －2>0
的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
2
3<x <1
． 类型2：含参数的一元二次不等式的解法 例2：解关于x 的不等式ax 2－（a ＋1）x ＋1<0．
思路点拨：①对于二次项的系数a 是否分a ＝0，a <0，a >0三类进行讨论？②当a ≠0时，
是否还要比较两根的大小？
解：当a ＝0时，原不等式可化为x >1．
当a ≠0时，原不等式可化为（ax －1）（x －1）<0．
当a <0时，不等式可化为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －1a （x －1）>0，
∵1a <1，∴x <1
a 或x >1．
当a >0时，原不等式可化为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －1a （x －1）<0．
若1a <1，即a >1，则1
a <x <1； 若1
a ＝1，即a ＝1，则x ∈∅； 若1a >1，即0<a <1，则1<x <1a ．
综上所述，当a <0时，原不等式的解集为x ⎪⎪⎪
x <1
a 或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为
{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
x ⎪⎪⎪
1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当
a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1a <x <1．
规律方法
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并． 跟踪训练
2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax （a <0）． 解：原不等式移项得ax 2＋（a －2）x －2≥0， 化简为（x ＋1）（ax －2）≥0．
∵a <0，∴（x ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －2a ≤0．
当－2<a <0时，2
a ≤x ≤－1；
当a ＝－2时，x ＝－1；
当a <－2时，－1≤x ≤2
a ． 综上所述， 当－2<a <0
时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
2
a ≤x ≤－1
； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；
当a <－2时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
－1≤x ≤2a ． 类型3：三个“二次”的关系 探究问题
1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图像说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
提示：y ＝x 2－2x －3的图像如图所示．
函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图像在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3图像与x 轴交点横坐标组成的集合{－1，3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）和不等式ax 2＋bx ＋c >0（a >0）或ax 2＋bx ＋c <0（a >0）是函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式．
2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？
提示：方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1，3}．
不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．
3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0（a >0）和ax 2＋bx ＋c <0（a >0）的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}（x 1<x 2），则x 1＋x 2，x 1x 2为何值？
提示：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0（a >0）和ax 2＋bx ＋c <0（a >0）的解集分别为{x |x <x 1
或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}（x 1<x 2），则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－b
a
，x 1x 2＝c
a ，
即不等式的解集的端点值是相应方程的根．
例3：已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．
思路点拨：
解：法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知a <0，且2和3是方程ax 2＋bx
＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6．由a <0知c <0，b c ＝－5
6，故不等式cx 2
＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >1
2，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的
解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ＜13或x ＞12． 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a （x －2）（x －3）＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等
式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ＜13或x ＞12．
母题探究
1．（变结论）本例中的条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．
解：由根与系数的关系知b a ＝－5，c
a ＝6且a <0．
∴c <0，b c ＝－5
6，故不等式cx 2－bx ＋a >0，
即x 2－b c x ＋a c <0，即x 2＋56x ＋1
6<0．
解得⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
－12<x <－13． 2．（变条件）若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变
为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集． 解：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫－13≤x ≤2知a ＜0．又⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13×2＝c a ＜0，则c ＞0．
又－1
3，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，
∴－b a ＝53，∴b a ＝－53． 又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，
∴不等式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－53a x ＋a ＜0，
即2ax 2＋5ax －3a ＞0．
又∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0，
所求不等式的解集为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫－3＜x ＜12． 规律方法
已知以a ，b ，c 为参数的不等式如ax 2＋bx ＋c ＞0的解集，求解其他不等式的解集时，
一般遵循：
1．根据解集来判断二次项系数的符号；
2．根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； 3．约去a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 四、课堂小结
1．解一元二次不等式的常见方法
（1）图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c ＞0（a ＞0）或ax 2＋bx ＋c ＜0（a ＞0）； ②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图； ③由图像得出不等式的解集．
（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若（x －m ）（x －n ）＞0，则可得{x |x ＞n 或x ＜m }； 若（x －m ）（x －n ）＜0，则可得{x |m ＜x ＜n }． 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
（1）关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0．
（2）关于不等式对应的方程根的讨论：两根（Δ>0），一根（Δ＝0），无根（Δ<0）． （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2． 3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x 轴的交点坐标．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）mx2－5x<0是一元二次不等式．（）
（2）若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．（）
（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2（x1<x2），则一元二次不等式ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．（）
（4）若|x|＞c的解集为R，则c≤0．（）
提示：（1）错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．（2）错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R．
（3）错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}，否则不成立．
（4）显然c＝0不成立，错误．
答案：（1）×（2）×（3）×（4）×
2．解下列不等式：
（1）x（7－x）≥12；
（2）x2>2（x－1）．
解：（1）原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
（2）原不等式可以化为x2－2x＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R．。