《大学物理学》气体的动理论部分练习题(马解答)

《大学物理学》气体的动理论学习材料
可能用到的数据：8.31/R J mol =； 231.3810/k J K -=⨯； 236.0210/A N mol =⨯。

一、选择题
12-1．处于平衡状态的一瓶氮气和一瓶氦气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们( C )
（A ）温度，压强均不相同； （B ）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强； （C ）温度，压强都相同； （D ）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强。

【分子的平均平动动能3/2kt
kT ε=，仅与气体的温度有关，所以两瓶气体温度相同；又由公式P nkT =，
n 为气体的分子数密度，知两瓶气体的压强也相同】
2．容器中储有一定量的处于平衡状态的理想气体，温度为T ，分子质量为m ，则分子速度在x 方向的分量平均值为：（根据理想气体分子模型和统计假设讨论）( D )
（A ）x υB ）x υC ）x υ=m kT 23；（D ）x υ=0。

【大量分子在做无规则的热运动，某一的分子的速度有任一可能的大小和方向，但对于大量分子在某一方向的平均值应为0】
3．若理想气体的体积为V ，压强为P ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻耳兹曼常量，
R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为 ( B )
（A ）m PV /； （B ）)/(kT PV ； （C ）)/(RT PV ； （D ）)/(mT PV 。

【由公式P
nkT =判断，所以分子数密度为P
n k T
=
，而气体的分子数为N nV
=】
4．根据气体动理论，单原子理想气体的温度正比于( D ) （A ）气体的体积； （B ）气体分子的压强； （C ）气体分子的平均动量；（D ）气体分子的平均平动动能。

【见第1题提示】
5．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是( A )
（A ）氧气的温度比氢气的高；（B ）氢气的温度比氧气的高； （C ）两种气体的温度相同； （D ）两种气体的压强相同。

=
2
2O
H M M >，所以22O H T T >】
12-2．三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度 n 相同，而方均根速率之比
1:2:4=，则其压强之比::A B C P P P 为 ( C ) （A ）1:2:4； （B ）1:4:8； （C ）1:4:16； （D ）4:2:1。

=
=，又由公式P nkT =，有
::::A B C A B C P P P T T T =，所以::1:4:16A B C P P P =】
7． 在一定速率v 附近麦克斯韦速率分布函数()f υ的物理意义是：一定量的气体在给定温度下处于平衡态时的 ( D )
（A ）速率为υ的分子数；（B ）分子数随速率υ的变化；（C ）速率为υ的分子数占总分子数的百分比；（D ）速率在υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。

【提示：麦克斯韦速率分布函数()/()f dN Nd υυ=，表示速率在υ附近的d υ速率区间内的分子数占
总分子数的百分比】
12-4．已知n 为单位体积分子数，()f υ为麦克斯韦速率分布函数，则()n f d υυ表示 ( B ) （A ）速率在υ附近d υ区间内的分子数；
（B ）单位体积内速率在~d υυυ+区间内的分子数； （C ）速率在υ附近d υ区间内的分子数占总分子数的百分比；
（D ）单位时间内碰到单位器壁上，速率在~d υυυ+区间内的分子数。

【提示：麦克斯韦速率分布函数
()/()f dN Nd υυ=，而/n N V =，有()/n f d dN V
υυ=，表示
单位体积内速率在υ附近的d υ速率区间内的分子数】
9．如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则 ( B )
（A ）这两种气体的平均动能相同； （B ）这两种气体的平均平动动能相同； （C ）这两种气体的内能相等； （D ）这两种气体的势能相等。

【提示：气体的平均动能和气体的平均平动动能不是一回事，氢气是双原子分子，氦气是单原子分子，显然氢气多两个转动自由度，所以氢气的平均动能较大，体现在氢气的内能较大，但温度只与气体的平均平动动能有关】
10．已知氢气和氧气的温度相同，摩尔数也相同，则( D )
（A ）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢气的压强； （B ）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的数密度一定大于氢气的数密度； （C ）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定大于氧分子的速率；
（D ）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根速率一定大于氧分子的方均根速率。

【提示：由题意，氢气和氧气不同的是其摩尔质量，2
2O
H M M >，由公式P nkT =，所以22
O H P P =；
=
<】
11．两种不同的理想气体，若它们的最概然速率相等，则它们的( A )
（A ）平均速率相等，方均根速率相等； （B ）平均速率相等，方均根速率不相等；
（C ）平均速率不相等，方均根速率相等；（D ）平均速率不相等，方均根速不率相等。

【提示：三个统计速率分别为P
υ=
，υ=
=
12．在20℃时，单原子理想气体的内能为( D )
（A ）部分势能和部分动能；（B ）全部势能；（C ）全部转动动能；（D ）全部平动动能。

【提示：气体的平均动能和气体的平均平动动能不是一回事，温度只与气体的平均平动动能有关，内能包括气体分子的所有平均动能；单原子理想气体只有三个平动自由度，没有转动自由度，另外，理想气体模型不考虑分子势能】
13．一摩尔双原子刚性分子理想气体，在1atm 下从0C 上升到100C 时，内能的增量为
( C )
（A ）23J ； （B ）46J ； （C ）2077.5J ； （D ）1246.5J 。

【提示：利用2
mol M i
E
R T M ∆=
∆】
14．一容器内装有1N 个单原子理想气体分子和2N 个刚性双原子理想气体分子，当系统处在温度为T 的平衡态时，其内能为： ( C ) （A ）123
5()()22N N kT kT ++；（B ）12135()()222
N N kT kT ++； （C ）1
23522N kT N kT +； （D ）1253
22
N kT N kT +。

【提示：内能是所有气体分子的平均动能】
二、填空题
1．质量为M ，摩尔质量为mol M ，分子数密度为n 的理想气体，处于平衡态时，物态方程为 ，物态方程的另一形式为 ，其中k 称为 常数。

【公式
mol
M
pV RT M =
和P nkT =必须掌握】 2．两种不同种类的理想气体，其分子的平均平动动能相等，但分子数密度不同，则它们的温度 ，压强 。

如果它们的温度、压强相同，但体积不同，则它们的分子数密度 ，单位体积的气体质量 ，单位体积的分子平动动能 。

（填“相同”或“不同”）。

【由公式P
nkT =判断】
3．宏观量温度T 与气体分子的平均平动动能kt ε的关系为kt ε= ，因此，气体的
温度是 的量度。

【见选择题第1题提示，分子的平均平动动能3/2kt
kT ε=，仅与气体的温度有关】
12--4．氢分子的质量为27
3.310
kg -⨯，
如果每秒有23
10个氢分子沿着与容器器壁的法线
成45角的方向以310/m s 的速率撞击在422.010m -⨯面积上，则此氢气的压强为 （设碰撞是完全弹性的）。

【提示：根据经典力学，一个氢分子斜撞器壁发生的动量变化为2cos45m υ，每秒有23
10个氢分子
使得器壁受到的冲力为2cos45m N υ⋅，则压强为：2cos 45m N P S
υ⋅=
=3
2.3310Pa ⨯】
12-5．在7℃时，一封闭的刚性容器内空气的压强为54.010Pa ⨯，温度变化到37℃时，该容器内空气的压强为 。

【提示：由1212P P T T =知：5
1221410(27337)2737
P P T T ⨯==+=+54.4310Pa ⨯】 12-6．湖面下50m 深处（温度为4℃），有一体积为531.010m -⨯的空气泡升到湖面上，若湖面的温度为17℃，气泡升到湖面上的体积为 。

【提示：由
112212PV PV T T =知：1221
21
PT V V PT = 5355
(1.01310109.850)(27317) 1.0101.01310(2734)
-⨯+⨯⨯+=⋅⨯=⨯+53
6.1110m -⨯】 7．如果将()f υ表示为麦克斯韦速率分布函数，则：
()p v f d υυ∞
⎰
的物理意义是： ；
2
()2
m f d υυυ∞
⎰
的物理意义是 ； 速率分布函数归一化条件的数学表达式为： ； 其物理意义是： 。

【提示：
p υ速率在以上的分子数占总分子数的百分比；分子平均平动动能 ；
()1f d υυ∞=⎰
；∞速率在0
内的分子数占总分子数的百分之百】
8．同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如右图所示， 其中曲线1为 的速率分布曲线， 的最概然速率较 大（填“氢气”或“氧气”）。

若图中曲线表示同一种气体 不同温度时的速率分布曲线，温度分别为T 1和T 2且T 1<T 2；则曲线1代表温度为 的分布曲线（填T 1或T 2）。

【提示：先考虑最概然速率公式P υ=
P υ
22
O H M M >∴曲线1为氧气的
速率分布曲线；再考虑P υ
T 1<T 2，曲线1代表温度为1T 的分布曲线】
12-9．一容器内的氧气的压强为51.0110Pa ⨯，温度为37℃，则气体分子的数密度
n = ；氧气的密度ρ= ；氧气分子的平均平动动能为 ，分子间
的平均距离d
= 。

【由公式5231.01101.3810300P n kT -⨯===⨯⨯253
2.4410m -⨯；再由公式mol
M PV RT M =，有：
mol M P M V RT ρ==，∴35
3210 1.01108.31300
ρ-⨯⨯⨯==⨯31.30/kg m ；
由32kt kT ε=，有216.2110kt J ε-=⨯
；d =
==93.4510m -⨯】 10．设氮气为刚性分子组成的理想气体，其分子的平动自由度数为 ，转动自由度为 ；分子内原子间的振动自由度为 ，总的自由度i
= 。

【氮气为双原子分子，刚性分子不考虑振动自由度。

∴平动自由度数为3，转动自由度为2，振动自由度为0，总的自由度为5】
12--6．某刚性双原子分子理想气体，处于温度为T 的平衡态，则其分子的平均平动动能为 ，平均转动动能为 ，平均总能量为 ，1mol 气体的内能为 。

【见上题提示，平均平动动能32kt
kT ε=
，平均转动动能kr kT ε=，平均总能量5
2
k kT ε=，1mol 气体的内能5
2
E RT =
】 12．1mol 氮气（看做理想气体）由状态状态1( )A p V ，变化至状态2( )B p V ，，其内能的增量为 。

【由pV RT =知pV T R
=，氮气为双原子分子，内能为2i
E
RT =
，所以内能的增量为2
i E R T ∆=∆】 13．有2mol 氢气，在温度为27C 时，它的分子平动动能为 ，分子转动动能为 。

【提示：氢气为双原子分子，内能为2
i E RT ν=，包括平动动能和转动动能，所以包括平动动能为
32kt E RT ν
=，转动动能为2
2
kr E RT ν=】 14．有1mol 氧气和2mol 氮气组成混合气体，在标准状态下，氧分子的内能为 ，氮分子的内能为 ；氧气与氮气的内能之比为 。

【提示：氧气和氮气均为双原子分子，内能为2
i E RT ν=，标准状态下的温度取273K 】
12-17．温度相同的氢气和氧气，若氢气分子的平均平动动能为21
6.2110
J -⨯，那么，氧气
分子的平均平动动能为 ，温度为 ；氧气分子的最概然速率
P υ= 。

【由32kt kT ε=知氧气分子的平均平动动能也为21
6.2110J -⨯；2123
226.2110331.3810kt T k ε--⋅⨯===⋅⨯ 300K ；
最概然速率公式为P
υ=
P
υ=
2
3.9510/m s ⨯】 三、计算题 12-11．温度为0℃和100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于1eV ，气体的温度需多高？
解：平均平动动能公式为3
2kt kT ε=。

（1）当1273T K =时，2321
1133 1.3810273 5.651022kT J ε--==⨯⨯⨯=⨯；
（2）当2373T K =时，2321
2233 1.38103737.721022
kT J ε--==⨯⨯⨯=⨯；
（3）若19
31 1.610
eV J ε-==⨯时，19
3332322 1.6107.731033 1.3810
T K k ε--⨯⨯===⨯⨯⨯。

12-12．某些恒星的温度可达到约8
1.010K ⨯，这是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。

通常在此温度下恒星可视为由质子组成。

求（1）质子的平均平动动能是多少？（2）质子的方均根速率为多大？ 解：平均平动动能公式为32kt kT ε=
= （1）当81.010T K =⨯时，2381533
1.381010
2.071022
kT J ε--=
=⨯⨯⨯=⨯； （2
=
61.5810/m s ===⨯。

12-14．图中，Ⅰ、Ⅱ两条曲线分别是两种不同气体（氢
气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。

试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）两种气体所处的温度；（3）若图中Ⅰ、Ⅱ分别表示氢气在不同温度下的麦克斯韦分子速率分
布曲线，那么那条曲线的气体温度较高？
解：最概然速率公式为P υ=。

（1）由图知，曲线Ⅱ的最概然速率为22000/P m s υ=，由于温度一样，而12P P υυ<，∴12M M >，
可判明曲线Ⅰ是氧气、曲线Ⅱ是氢气，氢气的最概然速率为2()2000/P H m s υ=；
氧气的最概然速率可由比例求出：
22
()()P O P H υυ=
，
则22
()()2000/500/P O P H m m s υυ===。

（2
）通过2()P H υ=
T ：22232()2102000481228.31
H P H M T K R υ-⨯⋅===⨯。

（3
）若图中Ⅰ、Ⅱ分别表示氢气在不同温度下的速率分布曲线，由最概然速率公式
P υ=
P υ
12-16．在容积为332.010m -⨯的容器中，有内能为675 J 的刚性双原子分子的理想气体。

（1）求气体的压强；（2）若容器中分子总数为22
5.410⨯个，求分子平均平动动能及气体的温度。

解：内能公式为2
i
E RT ν=，理想气体满足方程pV RT ν=。

刚性双原子分子5i =。

（1）∴2i E pV =
，有5322675 1.351055210
E p Pa V -⨯===⨯⨯⨯； （2）由p n kT =、N n V =知，53
2223
1.3510
2.0103625.410 1.3810pV T K Nk --⨯⋅⨯=
==⨯⋅⨯； 再由32kt kT ε=
有：23213
1.38103627.49102
kt J ε--=⨯⨯⨯=⨯。

12-20．储有1mol 氧气，容积为13
m 的容器以10/m s υ=的速度运动，设容器突然停止，其中氧气的80%的机械运动动能转化为气体分子热运动动能。

求气体的温度和压强各升高
了多少。

解：1mol 氧气质量为3
3210kg -⨯，转化的气体分子热运动动能为：
由5
2k E RT ν
=有：222 1.28 6.1610558.31
k E T K R -∆⨯∆===⨯⨯； 再由PV RT ν=有：2
8.31 6.16100.511
R T
P Pa V ν-∆⨯⨯∆=
==。

12-21．有N 个质量均为m 的同种气体分子，它们的速率分布如图所示。

（1）说明曲线与横坐标所包围面积的意义；（2）由N 和0υ求a 值；
（3）求在速率0/2υ到03/2υ间隔内的分子数；（4）求分子的平均平动动能。

解：由图可知：00
00 0() 2a
N f a υυυυυυυυ
⎧<<⎪=⎨⎪<<⎩。

（1）曲线与横坐标所包围面积可以找到所有的N 个气体分子； （2）由归一化条件0
()1f d υυ∞
=⎰
，
得
20
d d a a N υυυυ
υυυ+=⎰
⎰
，即
002a a N υυ+= ，有0
23N a υ=； （3）0
000
00
3
3
22
211022
0728
a a N d a d a a υυυυυυυ
υυ
υυυυυυυ'=
+=+=⎰⎰
， 将0
23N
a υ=
代入有：712N N '=； （4）0
0022
20
011()22a a f d m d m d N N
υυυυεευυυυυυυ∞
=
=⋅+⋅⎰
⎰
⎰
002323
00
312224a m
a m d d a m N N N υυυυυυυυυ=
+
=⎰
⎰，将0
23N a υ=代入有：203136m ευ=。

12-23．导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。

设导体中共有N 个自由电子。

电子气中电子的最大速率F υ叫做费米速率。

电子的速率在υ与d υυ+之间的概率为：
式中A 为归一化常量。

（1）由归一化条件求A 。

（2）证明电子气中电子的平均动能
ε=
2313()525F F m υε=，此处F ε2
12
F m υ=叫做费米能。

解：（1）由
()1f d υυ∞
=⎰
，得
20
4d 1F
A N υπυυ=⎰
，即 3413F A N πυ=，3
34F
N
A πυ=； （2）22
3
143()24F
F N f d m d N υπυεευυυυπυ∞
=
=⨯⨯⎰
⎰。